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La teoría de funciones de una variable compleja fue también decididamente reformulada. Al comienzo del siglo XIX, los números complejos eran discutidos desde un punto de vista cuasi-filosófico por varios escritores franceses, en particular por Jean-Robert Argand. Había consenso de que los números complejos debían ser considerados como pares de números reales, con reglas adecuadas para su adición y multiplicación, de modo que el par (0, 1) era una raíz cuadrada de -1. El significado subyacente de un tal par de números fue dado a través de su interpretación geométrica, ya sea como un punto en un plano o como un segmento dirigido uniendo el origen de coordenadas con el punto en cuestión. (Esta representación es a veces llamada diagrama de Argand.) En 1827, mientras revisaba un manuscrito antes de su publicación, Cauchy demostró cómo el problema de la integración de funciones de dos variables podía ser iluminado por la teoría de funciones de una sola variable compleja, la que entonces estaba en desarrollo. Pero la influencia decisiva en el crecimiento del tema vino del lado de la teoría de las funciones elípticas.

 El estudio de las funciones elípticas se originó en el siglo XVIII, cuando muchos autores estudiaban integrales de la forma

\int_0^x \frac{p(t) dt}{\sqrt{q(t)}},

donde p(t)q(t) son polinomios en t y q(t) es de grado 3 o 4 en t. Tales integrales surgen naturalmente, por ejemplo, como una expresión para la longitud de un arco de una elipse (de ahí el nombre). Estas integrales no pueden ser evaluadas de forma explícita. No definen una función que se pueda obtener de funciones racionales y trigonométricas, una dificultad que se añade a su interés. Las integrales elípticas fueron intensivamente  estudiadas desde hace muchos años por el matemático francés Adrien-Marie Legendre, que fue capaz de calcular tablas de valores de tales expresiones como funciones de su extremo superior, x. Pero el tema se transformó por completo a finales de 1820 por los descubrimientos independientes pero estrechamente superpuestos de dos jóvenes matemáticos, el noruego Niels Henrik Abel y el alemán Carl Jacobi. Estos hombres mostraron que, si se permitía que la variable x sea compleja y se  invertía el problema de modo que el objeto de estudio se convertía en

u=\int_0^x \frac{p(t) dt}{\sqrt{q(t)}},

considerado definiendo una función x de una variable u, entonces una notable nueva teoría se tornaba evidente. La nueva función, por ejemplo, poseía una propiedad que generaliza la propiedad básica de la periodicidad de las funciones trigonométricas seno y coseno: $latex \sin (x) = \sin (x + 2\pi)$. Cualquier función del tipo que se acaba de describir tiene dos períodos distintos, \omega_1 y \omega_2:

 x(u)=x(u+\omega_1)=x(u+\omega _2)

Estas nuevas funciones, las funciones elípticas, despertaron un considerable grado de interés. La analogía con las funciones trigonométricas caló muy profundo (de hecho las funciones trigonométricas resultaron ser casos especiales de las funciones elípticas), pero su mayor influencia fue en el creciente estudio general de las funciones de una variable compleja. La teoría de las funciones elípticas se convirtió en el paradigma de lo que podría ser descubierto al permitir que las variables sean complejas en lugar de reales. Sin embargo, su natural generalización de funciones definidas por integrandos más complicados, aunque arrojó resultados parciales, se resistió al análisis hasta la segunda mitad del siglo XIX.

La otra figura crucial de la época  en Francia era Joseph, barón de Fourier. Su contribución más importante se presenta en la teoría analítica del calor (1822), es decir, la teoría de la difusión del calor en cuerpos sólidos. Propuso que cualquier función podía escribirse como una suma infinita de las funciones trigonométricas seno y coseno; por ejemplo,

f(x)=a_0+a_1\sin x+a_2\sin 2x+\ldots

Expresiones de este tipo ya habían sido escritas antes, pero el tratamiento de Fourier aportaba la novedad de prestar atención a su convergencia. Él investigó la siguiente cuestión: “Dada la función f(x), ¿para qué rango de valores de x la expresión anterior suma un número finito?” Resultó que la respuesta depende de los coeficientes a_n y Fourier dio reglas para obtenerlos de la forma

a_n=\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin (nx) dx.

El trabajo de Fourier había sido enteramente correcto, haciendo posible la solución de muchos tipos de ecuaciones diferenciales y extendiendo en gran medida la teoría de la física matemática. Sin embargo, sus argumentos eran excesivamente ingenuos: después de Cauchy no estaba claro que la función f(x) \sin (n x) fuera necesariamente integrable. Cuando las ideas de Fourier fueron finalmente publicadas, se tomaron con impaciencia, pero los matemáticos más prudentes, en particular el influyente alemán Peter Gustav Lejeune Dirichlet, querían alcanzar las conclusiones de Fourier de manera más rigurosa. La metodología de Fourier fue ampliamente aceptada, pero las preguntas sobre su validez fueron ocupando a  los matemáticos durante el resto del siglo.

Dirichlet

Las ideas educativas de Gaspard Monge se oponían a las de Joseph-Louis Lagrange, quien estaba a favor de una visión más tradicional y teórica del cálculo avanzado y de la mecánica racional (la aplicación del cálculo al estudio del movimiento de sólidos y líquidos). Eventualmente ganó Lagrange, y la visión de la matemática que se presentó al mundo fue la de un tema autónomo, que también era aplicable a una amplia gama de fenómenos en virtud de su gran generalidad, una visión que ha persistido hasta nuestros días.

Durante la década de 1820 Augustin-Louis, Barón de Cauchy, dictó en la École Polytechnique los fundamentos del cálculo. Desde su invención había sido generalmente aceptado que el cálculo daba respuestas correctas, pero nadie había sido capaz de dar una explicación satisfactoria de por qué esto era así. Cauchy rechazó el enfoque algebraico de Lagrange y demostró que el supuesto básico de Lagrange acerca de que cada función tiene un desarrollo en serie de potencias es de hecho falso. Newton había sugerido una base geométrica o dinámica para el cálculo, pero esto corría el riesgo de introducir un círculo vicioso cuando el cálculo se aplicaba a problemas mecánicos o geométricos. Cauchy propone basar el cálculo en una interpretación sofisticada y difícil de la idea de dos puntos o números arbitrariamente próximos entre sí. A pesar de que a los alumnos de Cauchy no les gustaba el nuevo enfoque, y de que Cauchy recibió la orden de enseñar a los estudiantes material que en realidad pudieran entender y utilizar, sus métodos poco a poco se establecieron y refinaron para formar el núcleo del cálculo riguroso moderno, un tema que ahora se llama análisis matemático.

Tradicionalmente, el cálculo se había ocupado de los dos procesos de diferenciación e integración y de la relación recíproca que existe entre ellos. Cauchy proporcionó un nuevo fundamento haciendo hincapié en la importancia del concepto de continuidad. Demostró que, una vez que se definen los conceptos de función continua y límite, los conceptos de función diferenciable y  función integrable pueden ser definidos en términos de ellos. Por desgracia, ninguno de estos conceptos es fácil de entender, y el alto grado de precisión necesario que aporta a la matemática demostró ser difícil de apreciar. En términos generales, una función es continua en un punto de su dominio si pequeños cambios en la entrada alrededor del valor especificado producen sólo pequeños cambios en la salida.

Así, el familiar gráfico de una parábola y=x^2 es continuo alrededor del punto x=0; cuando x varía en pequeñas cantidades, también necesariamente lo hace y. Por otro lado, el gráfico de la función que toma el valor 0 cuando x es negativo o cero, y el valor 1 cuando x es positivo claramente tiene una gráfica discontinua en el punto x=0, y es de hecho discontinua de acuerdo a la definición. Si x varía de 0 por cualquier cantidad positiva pequeña, el valor de la función salta por la cantidad fija 1, que no es una cantidad arbitrariamente pequeña.

Cauchy decía que una función f(x) tiende a un valor límite 1 cuando x tiende al valor a cada vez que el valor de la diferencia f(x)-f(a) se hace arbitrariamente pequeña cuando la diferencia x-a misma se hace arbitrariamente pequeña. A continuación demostró que, si f(x) es continua en a, el valor límite de la función cuando x tendía a a era de hecho f(a). La característica fundamental de esta definición es que define lo que significa para una cantidad variable tender a algo sin hacer referencia alguna a las ideas del movimiento.

Cauchy dijo entonces que una función f(x) es diferenciable en el punto a si, cuando $latex x$ tiende a a (pero nunca lo alcanza), el valor del cociente [f(x)-f(a)]/(x-a) tiende a un valor límite, llamado la derivada de la función f(x) en a. Para definir la integral de una función f(x) entre los valores a y b, Cauchy volvió a la idea primitiva de la integral como la medida del área bajo la gráfica de la función. Él aproximó esta área con rectángulos y dijo que, si la suma de las áreas de los rectángulos tiende a un límite en cuanto su número aumenta indefinidamente y si este valor límite es el mismo sin importar cómo se obtienen los rectángulos, entonces la función es integrable. Su integral es el valor límite común. Después de haber definido la integral independientemente del cálculo diferencial, Cauchy tenía que demostrar que los procesos de integración y diferenciación son mutuamente inversos. Esto lo hizo, dando por primera vez una base rigurosa para todo el cálculo elemental de su época.

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