Feeds:
Entradas
Comentarios

En 1859 murió Dirichlet y Riemann se convirtió en profesor titular, pero ya estaba enfermo de tuberculosis, y en 1862 su salud se quebrantó. Murió en 1866. Sin embargo, su obra ejerció una creciente influencia sobre sus sucesores. Su trabajo sobre series trigonométricas, por ejemplo, condujo a una investigación más profunda de la cuestión de cuándo una función es integrable. La atención se concentró en la naturaleza de los conjuntos de puntos en los que las funciones y sus integrales (cuando éstas existían) tenían propiedades inesperadas. Las conclusiones que surgieron fueron al principio oscuras, pero quedó claro que algunas propiedades de los conjuntos de puntos eran importantes en la teoría de la integración, mientras que otras no. (Estas otras propiedades resultaron ser una parte vital del tema emergente de la topología.) Las propiedades de los conjuntos de puntos que importan en la integración tienen que ver con el tamaño del conjunto. Si uno puede cambiar los valores de una función en un conjunto de puntos sin cambiar su integral, se dice que el conjunto es de tamaño despreciable. La idea ingenua es que la integración es una generalización del proceso de conteo: conjuntos insignificantes no necesitan ser contados. El matemático francés Henri-Léon Lebesgue logró sistematizar esta ingenua idea en una nueva teoría sobre el tamaño de los conjuntos, que incluía la integración como un caso especial. En esta teoría, llamada teoría de la medida, hay conjuntos que pueden medirse, o bien tienen una medida positiva o son insignificantes (tienen medida cero), y hay conjuntos que no pueden medirse en absoluto.

El primer éxito de la teoría de Lebesgue fue que, a diferencia de la integral de Cauchy-Riemann, obedecía la regla de que si una sucesión de funciones f_{n}(x) tiende adecuadamente a una función f(x), entonces la sucesión de integrales \int f_{n}(x)\ dx tiende a la integral \int f(x)\ dx. Esto la ha convertido en la teoría natural de la integral cuando se trata de preguntas sobre series trigonométricas. Otra ventaja es que es muy general. Por ejemplo, en la teoría de la probabilidad es deseable estimar la probabilidad de ciertos resultados de un experimento. Mediante la imposición de una medida en el espacio de todos los resultados posibles, el matemático ruso Andrey Kolmogorov fue el primero en poner la teoría de la probabilidad en un riguroso fundamento matemático.

Otro ejemplo es proporcionado por un notable resultado descubierto por el matemático americano del siglo XX, Norbert Wiener: en el conjunto de todas las funciones continuas en un intervalo, el conjunto de funciones diferenciables tiene medida cero. En términos probabilísticos, por lo tanto, la probabilidad de que una función tomada al azar sea diferenciable tiene probabilidad cero. En términos físicos, esto significa que, por ejemplo, una partícula moviéndose bajo movimiento browniano casi con seguridad se está moviendo en un camino no-diferenciable. Este descubrimiento aclaró las ideas fundamentales de Albert Einstein sobre el movimiento browniano (exhibido por el movimiento continuo de partículas de polvo en un fluido bajo el bombardeo constante de las moléculas circundantes). La esperanza de los físicos es que la teoría de la electrodinámica cuántica de Richard Feynman cederá a un tratamiento similar a la teoría de la medida, porque tiene el aspecto perturbador de una teoría que no se ha hecho rigurosamente matemática, sino que coincide excelentemente con la observación.

Wiener

Wiener

Feynman

Feynman

Otro escenario para las ideas de Lebesgue fue el de la teoría de los grupos de Lie. El matemático húngaro Alfréd Haar mostró cómo definir el concepto de medida para que las funciones definidas en los grupos de Lie pudieran ser integradas. Esto se convirtió en una parte crucial de la manera de Hermann Weyl de representar un grupo de Lie actuando linealmente en el espacio de todas las funciones (adecuadas) en el grupo (por razones técnicas, significa que el cuadrado de la función es integrable con respecto a una medida de Haar en el grupo).

Alfréd Haar

Alfréd Haar

Hermann Weyl

Hermann Weyl

 

Riemann

Cuando Gauss murió en 1855, su puesto en Göttingen fue ocupado por Peter Gustav Lejeune Dirichlet. Un matemático que encontró en la presencia de Dirichlet un estímulo a la investigación fue Bernhard Riemann, y sus pocas cortas contribuciones a la matemática estuvieron entre las más influyentes del siglo. El primer trabajo de Riemann, su tesis doctoral (1851) sobre teoría de funciones complejas, proporcionó las bases para un tratamiento geométrico de las funciones de una variable compleja. Su principal resultado garantizaba la existencia de una amplia clase de funciones complejas que satisfacían sólo modestos requisitos generales y así dejaba claro que se podía esperar que las funciones complejas aparecieran ampliamente en la matemática. Más importante aún, Riemann logró este resultado uniendo  la teoría de funciones complejas con la teoría de las funciones armónicas y con la teoría del potencial. Las teorías de funciones complejas y armónicas eran ahora inseparables.

Riemann escribió entonces sobre la teoría de las series de Fourier y su integrabilidad. Su trabajo estaba directamente en la tradición que iba desde Cauchy y Fourier hasta Dirichlet, y marcó un paso considerable en la precisión con que se puede definir el concepto de integral. En 1854 abordó un tema que tanto interesaba a Gauss, las hipótesis que descansaban en la base de la geometría.

El estudio de la geometría siempre ha sido una de las preocupaciones centrales de los matemáticos. Era el lenguaje, y el tema principal, de la matemática griega; era el pilar de la educación elemental en el tema, y tenía un llamamiento visual obvio. Parece fácil de aplicar, porque uno puede proceder de una base de conceptos ingenuamente inteligibles. De acuerdo con las tendencias generales del siglo, sin embargo, fueron sólo los conceptos ingenuos los que Riemann eligió afinar. Lo que él propuso como base de la geometría era mucho más radical y fundamental que cualquier cosa que hubiera pasado antes.

Riemann tomó su inspiración del descubrimiento de Gauss de que la curvatura de una superficie es intrínseca, y argumentó que por lo tanto debemos ignorar el espacio euclidiano y tratar cada superficie por sí misma. Una propiedad geométrica, argumentó, era una que era intrínseca a la superficie. Para hacer geometría, bastaba tener un conjunto de puntos y una forma de medir longitudes a lo largo de curvas en la superficie. Para ello, las formas tradicionales de aplicar el cálculo al estudio de las curvas podrían ser suficientes. Pero Riemann no se detuvo en las superficies. Propuso que los geómetras estudien espacios de cualquier dimensión con este espíritu -incluso, dijo, espacios de dimensión infinita.

De este punto de vista se derivaron varias consecuencias profundas. Destronó la geometría euclidiana, que ahora se convertía en una de muchas geometrías. Permitió que la geometría de Bolyai y Lobachevsky fuera reconocida como la geometría de una superficie de curvatura negativa constante, resolviendo así dudas sobre la consistencia lógica de su trabajo. Destacó la importancia de los conceptos intrínsecos en la geometría. Ayudó a abrir el camino al estudio de espacios de muchas dimensiones. Por último, pero no menos importante, el trabajo de Riemann aseguró que cualquier investigación de naturaleza geométrica del espacio físico tuviera que ser en parte empírica. Ya no se podía decir que el espacio físico es euclidiano porque no existe sólo la geometría de Euclides. Esta comprensión finalmente destruyó cualquier esperanza de que las preguntas sobre el mundo pudieran ser contestadas por un razonamiento a priori.

 En 1857 Riemann publicó varios artículos que aplicaban sus métodos muy generales al estudio de funciones complejas en varias partes de la matemática. Uno de estos trabajos resolvió el problema sobresaliente de extender la teoría de las funciones elípticas a la integración de cualquier función algebraica. Inició la teoría de funciones complejas de varias variables y mostró cómo las ideas topológicas de Riemann eran esenciales en el estudio de funciones complejas. (En las conferencias posteriores Riemann mostró cómo el caso especial de la teoría de las funciones elípticas podría considerarse como el estudio de funciones complejas en un toro.)

En otro artículo Riemann trató la cuestión de cuántos números primos son menores que cualquier número dado x. La respuesta es una función de x, y Gauss había conjeturado sobre la base de una extensa evidencia numérica de que esta función era aproximadamente x /\ln(x). Esto resultó ser cierto, pero no fue probado hasta 1896, cuando tanto Charles-Jean de la Vallée Poussin de Bélgica como Jacques-Salomon Hadamard de Francia lo demostraron independientemente. Es notable que una pregunta sobre enteros llevó a una discusión de funciones de una variable compleja, pero conexiones similares habían sido hechas previamente por Dirichlet. Riemann tomó la expresión

\prod\left ( 1-p^{-s} \right )^{-1}=\sum n^{-s}

introducida por Euler el siglo anterior, donde el producto infinito se toma sobre todos los números primos p y la suma sobre todos los números enteros n, y lo trata como una función de s. La suma infinita tiene sentido cada vez que s es real y mayor que 1. Riemann procedió a estudiar esta función cuando s es complejo (ahora llamada la función zeta de Riemann), y no sólo ayudó a aclarar la cuestión de la distribución de los números primos sino también llevó a varias otras observaciones que los matemáticos posteriores encontrarían de interés excepcional. Una observación ha seguido eludiendo las pruebas y sigue siendo una de las mayores conjeturas en matemática: la afirmación de que los ceros no reales de la función zeta son números complejos cuya parte real es siempre igual a 1/2.

Tal vez fue este deseo de comprensión conceptual lo que hizo a Gauss reacio a publicar, el hecho de que más y más “dudara de la verdad de la geometría”, como él decía. Pues si hubiera una geometría lógicamente consistente que difiere de la de Euclides sólo porque hace un supuesto diferente sobre el comportamiento de las líneas paralelas, también podría aplicarse al espacio físico, y así la verdad de la geometría (euclidiana) ya no se podría asegurar a priori, como había pensado Kant.

Las investigaciones de Gauss sobre la nueva geometría llegaron más lejos de lo que cualquier otra persona pudiera lograr, pero él no las publicó. El honor de ser los primeros en proclamar la existencia de una nueva geometría pertenece a otros dos  matemáticos, que lo hicieron a finales de la década de 1820: Nicolay Ivanovich Lobachevsky en Rusia y János Bolyai en Hungría. Debido a que las similitudes en el trabajo de estos dos hombres son muy superiores a las diferencias, es conveniente describir su trabajo simultáneamente.

Lobachevsky

Lobachevsky

János Bolyai

János Bolyai

Los dos hombres hicieron una suposición sobre líneas paralelas que difería de la de Euclides y procedieron a extraer sus consecuencias. Esta forma de trabajar no puede garantizar la consistencia de los hallazgos de uno u otro, por lo que, en sentido estricto, no pudieron demostrar la existencia de una nueva geometría de esta manera. Ambos describieron un espacio tridimensional diferente del espacio euclidiano apoyando sus hallazgos en el idioma de la trigonometría. Las fórmulas que obtuvieron fueron análogos exactos de las fórmulas que describen a triángulos dibujados en la superficie de una esfera, con las funciones trigonométricas habituales sustituidas por las de la trigonometría hiperbólica. Las funciones coseno hiperbólico, escrito cosh, y seno hiperbólico,  escrito sinh, se definen como sigue:

\cosh x = (e^x + e^{-x}) / 2

\sinh x = (e^x - e^{-x}) / 2

Se llaman hiperbólicas debido a su uso en la descripción de la hipérbola. Sus nombres se derivan de la evidente analogía con las funciones trigonométricas, que Euler demostró satisfacen estas ecuaciones:

\cos  x=(e^{ix}+e^{-ix})/2

\sin x=(e^{ix}-e^{-ix})/2i

Los dos hombres observaron que se había convertido en una cuestión empírica determinar la naturaleza del espacio; Lobachevsky, incluso llegó tan lejos como para llevar a cabo observaciones astronómicas, aunque éstas no fueron concluyentes.

El trabajo de Bolyai y Lobachevsky fue mal recibido. Gauss respaldó lo que habían hecho, pero con tal discreción que la mayoría de los matemáticos no averiguaron su verdadera opinión sobre el tema hasta que murió. El principal obstáculo que enfrentó cada uno fue sin duda la naturaleza impactante de su descubrimiento. Era más fácil, y en consonancia con 2.000 años de tradición, continuar creyendo que la geometría euclidiana era correcta, y que Bolyai y Lobachevsky había ido a alguna parte por mal camino, al igual que muchos un investigador delante de ellos.

El giro hacia la aceptación se produjo en la década de 1860, después de que Bolyai y Lobachevsky habían muerto. El matemático italiano Eugenio Beltrami decidió investigar el trabajo de Lobachevsky para ubicarlo, si eraposible, en el contexto de la geometría diferencial como había sido redefinida por Gauss. Por lo tanto, se movió independientemente en la dirección ya tomada por Bernhard Riemann. Beltrami investigó la superficie de curvatura negativa constante y encontró que en una superficie tal los triángulos obedecen las fórmulas de la trigonometría hiperbólica que Lobachevsky había descubierto apropiadas a su forma de geometría no euclidiana. Por lo tanto, Beltrami dio la primera descripción rigurosa de una geometría distinta de la de Euclides. La perspectiva  de Beltrami sobre la superficie de curvatura negativa constante era ingeniosa. Dijo que era una superficie abstracta que podía describirse mediante la elaboración de mapas, tanto como se podía describir una esfera por medio de las páginas de un atlas geográfico. No afirmaba haber construido la superficie incrustada en el espacio euclidiano bidimensional; David Hilbert más tarde mostró que no se podía hacer.