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Durante gran parte de la historia, los diversos campos de la matemática se desarrollaron por separado, o al menos se consideraron áreas de estudio distintas. Sin embargo, varios matemáticos intentaron presentar una descripción matemática de los fundamentos de la lógica y construir una aritmética lógica que facilitara la resolución de argumentos filosóficos abstrusos a través de una computación verificable. El primer pensador que hizo un progreso significativo hacia estos objetivos fue George Boole, un notable inglés por sus contribuciones tanto a la lógica como a la teoría de operadores. 

George Boole nació el 2 de noviembre de 1815, en Lincoln, Inglaterra, hijo de un zapatero llamado John Boole. El interés real de este último radicaba en la matemática y el diseño de instrumentos ópticos, y su negocio en consecuencia padecía su distracción. George Boole fue educado en los rudimentos de la matemática por su padre, pero debido a la pobreza no pudo seguir la educación superior. Sin embargo, alentado por su padre, Boole avanzó en su comprensión de la matemática y pronto adquirió una familiaridad con el latín, el griego, el francés y el alemán. Aunque su habilidad con la literatura era ejemplar, su principal interés era la matemática. 

A los 15 años comenzó a enseñar en Lincoln. El Instituto de Mecánica fue fundado en 1834; publicaciones de la Royal Society circulaban a través de la sala de lectura de la escuela, de la cual John Boole se convirtió en curador, y George Boole dedicó sus momentos libres restantes a la lectura de literatura matemática. En particular, se abrió paso a través de los Principia de Sir Isaac Newton con poca ayuda, y su reputación local lo llevó a un discurso público que marcaba la presentación de un busto de Newton en el Instituto. En 1840 contribuyó regularmente al Cambridge Mathematical Journal y a la Royal Society; sus talentos fueron reconocidos más tarde por la concesión de una Medalla Real en 1844 y la elección de la confraternidad de la Royal Society en 1857. 

Los escritos científicos de Boole están compuestos por unos 50 artículos sobre diversos temas, dos libros de texto que resumen su investigación y dos volúmenes sobre lógica matemática. Los textos, sobre ecuaciones diferenciales (1859) y diferencias finitas (1860), se usaron durante décadas y muestran el agudo intelecto y el uso fluido de operadores de Boole. El material sobre ecuaciones diferenciales fue original, utilizando un operador de diferencias y desplazamiento hacia adelante para resolver ecuaciones lineales en diferencias. Los artículos de 1841 y 1843 trataban transformaciones lineales, mostrando un principio de invariancia para formas cuadráticas; la teoría de invariantes sería desarrollada rápidamente por otros matemáticos en la segunda mitad del siglo XIX. Otro trabajo abordó ecuaciones diferenciales, donde Boole hizo mucho uso del operador diferencial D. 

En 1849, Boole solicitó el puesto de profesor de matemática en el recién creado Queen’s College de Cork, y su nombramiento a pesar de la ausencia de un título universitario formal dio testimonio de sus habilidades matemáticas ampliamente reconocidas. Aunque cargado con una pesada carga de enseñanza en Cork, Boole ahora habitaba en un entorno más propicio para la investigación. Era un maestro dedicado, creyendo en la importancia de la educación, tal vez en consideración de su propia falta. En 1855 se casó con Mary Everest, la sobrina de un profesor de griego en el Queen’s College. 

Después de 1850 Boole incursionó principalmente por la teoría de la probabilidad, ya que esto estaba relacionado con su interés profundo y permanente en los fundamentos de la lógica matemática. Su uso de operadores amplió en gran medida su poder de aplicación, pero Boole fue cauteloso sobre su uso indiscriminado, y siempre tuvo cuidado de verificar las condiciones de su implementación; también hizo hincapié en la necesidad de definiciones claras. Como resultado de estas preguntas precisas, Boole se dio cuenta de que una variable que representa una cantidad no numérica, como una afirmación lógica u otro objeto matemático, no solo era matemáticamente válida sino que también era de gran utilidad en muchas empresas. 

Había surgido una disputa entre el filósofo Sir William Hamilton y el matemático Augustus De Morgan sobre si la lógica pertenecía al dominio de la filosofía o de la matemática. De Morgan, que era amigo de Boole, había hecho varias contribuciones a la lógica a través de sus leyes sobre teoría de conjuntos, pero Hamilton era escéptico de que la matemática pudiera ser de algún beneficio; Boole defendió la validez de un enfoque matemático de la lógica en Mathematical Analysis of Logic (1847), y estableció un marco axiomático para la lógica, muy parecido al fundamento de la geometría clásica. La historia probaría más tarde que Boole y De Morgan habían ganado, ya que la lógica matemática se ha convertido desde entonces en una disciplina próspera (y sorprendentemente intrincada). 

El intento de reducir la lógica a un cálculo puro había sido intentado previamente por Gottfried Leibniz; el sueño era reemplazar debates filosóficos largos y pendencieros con un sistema algebraico capaz de resolver proposiciones dudosas a través de simples cálculos. Los primeros esfuerzos se basaron en gran medida en la aritmética euclidiana como una analogía para la lógica algebraica, pero encontraron espinosas dificultades. La construcción de Boole era original y diferente, y esencialmente era un álgebra completamente nueva, diferente de la aritmética, pero válida para su propio propósito. Las ideas parecen haberse originado a partir de la familiaridad de Boole con los operadores: aplicaría un operador con una propiedad definda a un universo de elementos, y de ese modo obtendría todos los individuos o elementos con esa propiedad en particular. Por ejemplo, un operador puede definirse para seleccionar zanahorias de cualquier universo de objetos en el discurso, como el contenido de su jardín. La aplicación sucesiva de operadores a un universo, que era conmutativa, definió una multiplicación para el álgebra. A partir de este punto de partida, Boole desarrolló una noción de sustracción (que involucraba el complemento de un conjunto), suma (asociada por Boole al “o” excluyente, aunque en los tiempos modernos, al “o” inclusivo) e incluso una división. Es interesante destacar que este fue el primer álgebra idempotente conocida, que tiene la propiedad de que el cuadrado de cualquier operador es igual a sí mismo, ya que aplicar un operador dos veces seguidas equivale a aplicarlo solo una vez. Esta situación señala una desviación clara e irrevocable de la aritmética más familiar, donde los únicos elementos de juicio son el uno y el cero. 

En Investigation of the Laws of Thought, Boole aplica este cálculo a las leyes de la probabilidad. Usando el símbolo P(A) para la probabilidad de un evento A, Boole describe la multiplicación de probabilidades en términos de la probabilidad de la intersección de dos eventos independientes, la suma de probabilidades como la probabilidad de la unión mutuamente excluyente de dos eventos, y así siguiendo. Este simbolismo le permitió corregir el trabajo anterior en probabilidad. La salud de Boole comenzó a declinar en 1864, y cuando quedó atrapado bajo la lluvia camino a una clase, dio su conferencia con la ropa mojada. Este evento puede haber acelerado su muerte, que ocurrió el 8 de diciembre de 1864, en Ballintemple, Irlanda. 

Su Investigation of the Laws of Thought es sin duda el legado más importante de Boole; muchos otros ampliarían su trabajo en lógica matemática y las llamadas álgebras de Boole. Incluso el flujo de programas informáticos, que implementan variables booleanas (una cantidad que toma el valor “verdadero” o “falso”), utiliza su teoría. El diseño de los circuitos eléctricos es especialmente adecuado para el uso de un álgebra de Boole, debido al sistema binario de interruptores de encendido y apagado.

 

Un poco de humor para cerrar el artículo…

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
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Un problema pendiente de principios del siglo XIX, que más tarde resultaría en los desarrollos radicales de George Cantor, era determinar los cimientos del sistema de los números reales. No se habían comprendido aún propiedades como la divisibilidad infinita de los números reales y la densidad de los números racionales entre los irracionales, y como resultado no se entendía bien la teoría básica de las funciones, incluidos temas como la continuidad y la diferenciabilidad. Bernhard Bolzano, un activo defensor de fundamentos rigurosos para la ciencia y la matemática, hizo contribuciones significativas al conocimiento del análisis; su énfasis en la necesidad de un sistema preciso de números reales llevó a su desarrollo a manos de Richard Dedekind, y sus otras investigaciones también fueron precursoras de una aritmética de la lógica infinita y moderna. 

Bernardus Placidus Johann Nepumuk Bolzano fue el cuarto hijo de Caecilia Maurer y un comerciante de arte cívico llamado Bernhard Bolzano. Nació el 5 de octubre de 1781, en un antiguo distrito de Praga, uno de 12 niños; su padre era un inmigrante italiano con gran interés en el trabajo social que más tarde lo  llevó a establecer un orfanato. Como resultado de este ambiente, el joven Bolzano estuvo preocupado por la ética a lo largo de su vida, poseyendo una aguda sensibilidad a la injusticia. 

En 1791, Bolzano ingresó al Piarist Gymnasium. Estudió filosofía en la Universidad de Praga en 1796. Su interés por la matemática se vio estimulado por la lectura de Kästner, quien se preocupó por probar proposiciones que comúnmente se percibían como evidentes. Después de 1800, Bolzano pasó de la filosofía a la teología, aunque tenía continuas dudas sobre la verdad del cristianismo. En cambio, se volvió hacia el moralismo y se alejó de la religión sobrenatural, creyendo que la ética suprema residía en la acción que más beneficiaba a la sociedad. Sin embargo, reconcilió esta perspectiva personal con su compromiso con el catolicismo. 

El emperador de Austria había decidido establecer una cátedra de filosofía de la religión en todas las universidades, como parte del movimiento de restauración católico contra la Ilustración. Mucho del libre pensamiento se había extendido a través de Bohemia, y el emperador temía las consecuencias de tales ideas radicales en vista de la destrucción causada por la Revolución Francesa. Bolzano fue nombrado presidente de la Universidad de Praga en 1805, a pesar de sus propias simpatías ilustradas. Sus conferencias sobre religión contaban con una entusiasta audiencia, y exponía allí sus puntos de vista personales sin reservas.  

Bolzano fue respetado por sus colegas, y se convirtió en decano de la facultad de filosofía en 1818. Mientras tanto, Viena presentó una acusación contra él en 1816, ya que sus puntos de vista ilustrados lo habían hecho impopular con el gobierno conservador; fue despedido en 1819, se le prohibió publicar y se lo puso bajo supervisión policial. Bolzano tercamente se negó a arrepentirse de sus herejías, y la situación finalmente cesó en 1825 por la intercesión del líder nacionalista Dobrovsky. 

Aunque Bolzano estaba principalmente preocupado por cuestiones sociales y religiosas, ya se sentía atraído por la precisión metodológica de la matemática y la lógica. Esto condujo a algunas excelentes contribuciones al análisis matemático, aunque estos logros raramente tuvieron un reconocimiento significativo. Dos problemas no resueltos -la prueba del postulado de las paralelas de Euclides de Alejandría y la base del análisis a través de la clarificación de  los infinitesimales- reclamaron la atención de Bolzano. Su Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie de 1804 intentó describir una teoría de triángulos y paralelas a través de una teoría puramente lineal, que nunca llegó a concretarse completamente. Ignorante del trabajo de Nicolay Ivanovich Lobachevsky y János Bolyai sobre la geometría no euclidiana, Bolzano desarrolló una crítica metodológica de los Elementos de Euclides en su manuscrito “Anti-Euklid”. Por ejemplo, requirió una prueba de la afirmación de que cualquier curva cerrada divide el plano en dos porciones disjuntas; este resultado más tarde se conoció como el teorema de la curva de Jordan, probado por Camille Jordan. Parcialmente a través de las objeciones y preguntas planteadas por Bolzano, el campo de la matemática conocido como topología comenzó a existir a fines del siglo XIX. 

Su Rein analitischer Beweis de 1817 obtuvo importantes resultados relevantes para la base del análisis matemático, más tarde completados en su Theorie der Reellen Zahlen de 1832-1835. Muchos otros matemáticos, como Joseph-Louis LaGrange y Jean Le Rond d’Alembert, habían intentado liberar la matemática de la noción de infinitesimal introducida por Sir Isaac Newton y Gottfried Leibniz en el siglo XVII, pero Bolzano se encontró con el primer logro exitoso en Rein analtischer Beweis. Aquí da la definición de una función continua que todavía está en uso hoy en día, y obtiene un resultado de la propiedad de asumir valores intermedios. También introduce la noción de supremo de un conjunto de números reales que tienen una propiedad dada, un concepto que es una piedra angular en la teoría de los números reales. Bolzano también analiza el “criterio de convergencia de Cauchy”, por el cual una sucesión de funciones tiende a cierto límite si los miembros de la sucesión se acercan entre sí. 

Aunque las pruebas son incompletas, esto se debió a la inadecuación del  momento del concepto de número real. En su Functionenlehre presenta una teoría de funciones más completa, que incluye varios resultados redescubiertos más tarde por Karl Weierstrass en la segunda mitad del siglo XIX. Bolzano demostró que una función continua en un intervalo cerrado debe alcanzar un valor extremo, ahora llamado Teorema del valor extremo en cálculo; la demostración requiere el teorema de Bolzano-Weierstrass sobre los puntos de acumulación de sucesiones acotadas. Él distingue entre la continuidad y la propiedad de asumir valores intermedios como características más fuertes y más débiles, respectivamente. Desarrolla la conexión entre monotonía y continuidad, y da la construcción de la función de Bolzano, que era continua pero en ningún lugar diferenciable, significativamente anterior al propio ejemplo de Weierstrass. El Functionenlehre contenía muchos errores, incluida la falsa noción de que el límite de una sucesión de funciones continuas debe ser necesariamente continuo, y que la integración a largo plazo de una serie infinita siempre es posible. 

Su teoría de las cantidades se completó en Theorie der Reelen Zahlen, pero este manuscrito no se publicó y, por lo tanto, no pudo influir en el posterior desarrollo del análisis. Bolzano describe tales números reales como capaces de una aproximación arbitrariamente precisa por números racionales. Además, su Paradoxien des Unendlichen (Paradojas del infinito) contiene muchos intrigantes fragmentos de la teoría de conjuntos, y lleva el tema al límite de la aritmética cardinal. Bolzano observa que un conjunto infinito se puede poner en correspondencia uno a uno con un subconjunto propio, y que esto realmente caracteriza a los conjuntos infinitos. Sin embargo, él no da el siguiente paso en la definición de cardinales del infinito; Dedekind (1882) usaría más tarde esta propiedad de conjuntos infinitos para definir el infinito, y Cantor desarrollaría una clasificación de infinitos. 

Desde 1820 Bolzano trabajó en el tratado Wissenschaftslehre de 1837, que era una teoría de la ciencia basada en la lógica. Sus cuatro volúmenes trataban la prueba de la existencia de verdades abstractas, la teoría de ideas abstractas, la condición de la facultad humana del juicio, las reglas del pensamiento humano en la búsqueda de la verdad y las reglas para dividir las ciencias. Aunque este trabajo pasó desapercibido en su momento, existe una gran similitud con la lógica moderna, especialmente en las nociones de Bolzano de proposición abstracta, idea y derivabilidad. 

Desde 1823 Bolzano pasó sus veranos en la propiedad de su amigo Hoffmann en el sur de Bohemia. Luego vivió allí por más de una década. En 1842 regresó a Praga, donde continuó sus estudios matemáticos y filosóficos hasta su muerte el 18 de diciembre de 1848. Bolzano fue un importante matemático del siglo XIX, cuya búsqueda de la verdad llevó a un excelente trabajo sobre los cimientos de la recta numérica real. Su nombre se encuentra en muchas áreas del análisis, como el teorema de Bolzano-Weierstrass y la función de Bolzano; es considerado como uno de los fundadores de la teoría moderna del análisis real.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

Uno de los problemas pendientes de la geometría griega era la demostración del quinto postulado de los Elementos de Euclides (a menudo referido como el postulado de las paralelas) a partir de los otros axiomas más intuitivos. Era equivalente a la afirmación de que a través de cualquier punto separado de una línea dada, uno podía construir una línea paralela única; a partir de esta afirmación, se puede deducir que la suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a dos ángulos rectos. Muchos intentos a lo largo de los siglos para establecer rigurosamente este axioma habían fracasado, con el último y más notable intento de Farkas Bolyai. Su hijo, János Bolyai, finalmente construiría una geometría nueva y consistente, e independiente del quinto axioma. A pesar de que la prioridad de este descubrimiento se atribuye a Carl Friedrich Gauss, János Bolyai realizó su investigación ignorando esto y, a menudo, se lo acredita como cofundador de la geometría no euclidiana. 

János Bolyai nació el 15 de diciembre de 1802 en Kolozsvár, Hungría, hijo de Farkas Bolyai y Susanna von Árkos. La familia Bolyai descendía de una larga línea de aristócratas, y Farkas Bolyai había cultivado sus propiedades antes de convertirse en profesor de matemáticas, física y química en el Colegio Evangélico Reformado de Marosvásárhely. Farkas también era amigo cercano de Carl Friedrich Gauss. János Bolyai demostró un gran talento en muchas áreas, incluidas la matemática y la música, demostrando dominio del violín a una edad temprana. En 1815 comenzó a estudiar en la universidad de su padre, y en 1818 ingresó en la academia imperial de Viena en preparación para una carrera militar, contrariamente al deseo de Farkas de que estudiara en Göttingen bajo el ala de Gauss. 

El joven Bolyai se graduó en 1822, pero mientras tanto su interés en la geometría, especialmente el postulado de las paralelas, había sido despertado por la propia obsesión de su padre. De hecho, Farkas Bolyai había pasado muchos años intentando la deducción del quinto axioma, sin éxito; su correspondencia con Gauss sobre este tema condujo a su propio descubrimiento de la geometría no euclidiana, que su vergonzante conservadurismo nunca reveló. Farkas Bolyai incluso advirtió a su hijo enfáticamente en contra de involucrar su intelecto con ese problema en 1820, deseando ahorrarle muchos momentos de angustia, confusión y desesperación. Sin embargo, su impetuosa juventud continuó contemplando la pregunta. 

Después de varios años de vano trabajo, Bolyai se volcó en 1823 hacia la construcción de una geometría que no requiriera el quinto postulado, una geometría que de hecho prescindiera de ese axioma. Mientras tanto, se graduó de la academia y comenzó su primera gira en Rumania como subteniente. Más tarde visitó a su padre en 1825, presentando en su manuscrito su teoría del espacio absoluto, un espacio donde a través de un punto dado no perteneciente a una línea, muchas líneas distintas a través de él podrían construirse paralelas a la línea dada, en refutación directa del postulado de las paralelas. Farkas Bolyai no pudo aceptar esta nueva geometría, pero envió el manuscrito a Gauss. Este último respondió en 1832, asombrado de que János Bolyai hubiera replicado independientemente su propio trabajo, y reclamando su prioridad por más de tres décadas. Gauss dirigió a János Bolyai para explorar varias preguntas, como el volumen del tetraedro en el espacio absoluto, pero el joven húngaro no se sintió alentado. La afirmación de la prioridad de Gauss fue recibida en principio con aprensión, y luego con resentimiento.  

Mientras tanto, Bolyai terminó su carrera militar en Lvov en 1832; a menudo estaba enfermo con fiebre, por lo que el ejército le dio una pensión y lo destituyó del servicio. Aparentemente, se había ganado una reputación como un apuesto oficial con una predilección por los duelos. Regresó a su casa para vivir con su padre, y su manuscrito fue publicado como “Apéndice” en el Tentamen de Farkas en 1832, un tratamiento sistemático de geometría, álgebra y análisis. Sin embargo, este ensayo (así como el libro) no recibió respuesta de los matemáticos, y su desánimo sobre la situación con Gauss condujo a Bolyai a una reclusión tanto social como matemática.  

La relación entre padre e hijo también se tensó, principalmente debido a la irritación por la recepción poco entusiasta de su trabajo. János Bolyai se retiró a la pequeña propiedad familiar en Domáld, y en 1834 se casó con Rosalie von Orbán, con quien tuvo tres hijos. En 1837, ambos Bolyai´s intentaron recuperar su reputación matemática mediante la participación en una competencia de la Sociedad Jablonow. El tema versaba acerca de la construcción geométrica rigurosa de números imaginarios, que fue un tema de interés para muchos matemáticos, como Gauss, Sir William Rowan Hamilton y Augustin-Louis Cauchy. La solución de János Bolyai se parecía a la de Hamilton, pero no logró el reconocimiento deseado, lo que solo exacerbó sus tendencias melancólicas. Continuó investigando en matemática esporádicamente, con calidad variable; sus mejores resultados se refieren a la geometría absoluta, la relación entre la trigonometría absoluta y la trigonometría esférica, y el volumen del tetraedro en el espacio absoluto. Un trabajo de Nicolai Ivanovich Lobachevsky sobre el mismo tipo de geometría lo alcanzó en 1848, y actuó como un impulso para avanzar en sus esfuerzos. En sus últimos trabajos, Bolyai se preocupó más por la consistencia del espacio absoluto, y si podían surgir de su construcción contradicciones lógicas; esto no se resolverá hasta más tarde en el siglo XIX.  

Continuó trabajando hasta 1856, el año en que murió su padre, y su matrimonio con Rosalie se disolvió al mismo tiempo, aumentando su aislamiento. Bolyai también trabajó en una teoría de la salvación, haciendo hincapié en el vínculo entre la felicidad individual y universal. Murió el 27 de enero de 1860, después de una prolongada enfermedad.  

Bolyai hizo una contribución solitaria a la matemática que fue tan sobresaliente en su creatividad e importancia como para merecerle algo de fama, a pesar de su condición de inconformista. Junto con Gauss y Lobachevsky, Bolyai es considerado cofundador de la geometría no euclidiana. Estas inusuales geometrías, inicialmente despreciadas como feas e inútiles, han encontrado aceptación en el siglo XX debido a su gran relevancia para el espacio curvo de nuestro propio universo.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.