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Una serie de matemáticos del siglo XIX encontró fallas en el programa de reducción de la matemática a la aritmética y la teoría de conjuntos, como sugiere la obra de Cantor y Frege. En particular, el matemático francés Henri Poincaré (1854-1912) se opuso a las construcciones impredicativas, que construyen una entidad de cierto tipo en términos de entidades del mismo tipo o de tipo superior, es decir, construcciones y definiciones auto-referenciadas.

Henri Poincaré

Parecía que para hacer un análisis ordinario se requerían construcciones impredicativas. Russell y Whitehead intentaron infructuosamente basar la matemática en una teoría de tipo predicativo.

B. Russell y A. N. Whitehead

Pero, aunque renuentes, tuvieron que introducir un axioma adicional, el axioma de la reducibilidad, que lograba alcanzar el objetivo después de todo. Más recientemente, el lógico sueco Per Martin-Löf presentó una nueva teoría de tipo predicativo, pero nadie afirma que sea adecuada para todo el análisis clásico. Sin embargo, el matemático alemán-americano Hermann Weyl (1885-1955) y el matemático estadounidense Solomon Feferman demostraron que argumentos impredicativos como los anteriores pueden ser evitados y no son necesarios para la mayoría, o incluso para todo el análisis. Por otro lado, como lo señaló el científico italiano Giuseppe Longo (1941-), las construcciones impredicativas son extremadamente útiles en informática, es decir, para producir puntos fijos (entidades que permanecen sin cambios en un proceso dado).

Per Martin-Löf

Hermann Weyl

Solomon Feferman

La prominencia de la lógica en los fundamentos de la matemática llevó a algunas personas, llamadas logicistas, a sugerir que la matemática es una rama de la lógica. Los conceptos de pertenencia e igualdad podían ser incorporados razonablemente a la lógica, pero ¿qué pasa con los números naturales? Kronecker había sugerido que, mientras todo lo demás era hecho por el hombre, los números naturales eran dados por Dios. Los logicistas, sin embargo, creían que los números naturales eran también hechos por el hombre, en la medida en que se puede decir que las definiciones son de origen humano.

Leopold Kronecker

Russell propuso que el número 2 se definiera como el conjunto de todos los conjuntos de dos elementos, es decir, X\in 2 si y sólo si X tiene elementos distintos x e y, y cada elemento de X es x o y.

Bertrand Russell

El matemático norteamericano nacido húngaro John von Neumann (1903-1957) sugirió una definición aún más simple, a saber, que X\in 2 si y sólo si X=0 o X=1, donde 0 es el conjunto vacío y 1 es el conjunto que consiste de solo 0. Ambas definiciones requieren un axioma extra-lógico para hacerlas funcionar: el axioma del infinito, que postula la existencia de un conjunto infinito. Puesto que el conjunto infinito más simple es el conjunto de los números naturales, no se puede decir realmente que la aritmética haya sido reducida a la lógica.

John von Neumann

La mayoría de los matemáticos siguen a Peano, que prefiere introducir los números naturales directamente postulando las propiedades cruciales de 0 y la operación sucesor S, entre las cuales se encuentra el principio de inducción matemática.

Giuseppe Peano

El programa logicista podía ser salvado por una construcción del siglo XX generalmente atribuida a Church, aunque había sido anticipada por el filósofo austriaco Ludwig Wittgenstein (1889-1951). Según Church, el número 2 es el proceso de iteración; es decir, 2 es la función que a cada función f asigna su iterado 2(f)=f\circ f, donde (f\circ f)(x)=f(f(x)). Hay algunas dificultades de tipo teórico con esta construcción, pero éstas pueden ser superadas si se permite la cuantificación sobre los tipos.

Alonzo Church

Ludwig Wittgenstein

El descubrimiento en el siglo XIX de geometrías alternativas consistentes precipitó una crisis. Se demostró que la geometría euclidiana, basada en aparentemente supuestos axiomáticos más intuitivamente obvios, no se correspondía con la realidad como los matemáticos creían. Esto, junto con los audaces descubrimientos del matemático alemán Georg Cantor en la teoría de conjuntos, dejó claro que, para evitar más confusión y responder satisfactoriamente a resultados paradójicos, era necesario un fundamento nuevo y más riguroso para la matemática.

Los matemáticos del siglo XIX descubrieron que el lenguaje de la matemática podía reducirse al de la teoría de los conjuntos (desarrollada por Cantor), tratando la pertenencia \in y la igualdad =, junto con una aritmética rudimentaria que contenía al menos símbolos para cero 0 y sucesor S. Subyacentes a todo ello se encuentran los conceptos lógicos básicos: la conjunción \wedge, la disyunción \vee, la implicación \supset, la negación \neg y los cuantificadores universal \forall y existencial \exists (formalizados por el matemático alemán Friedrich Ludwig Gottlob Frege (1848-1925). La notación moderna se debe más a la influencia del lógico inglés Bertrand Arthur William Russell (1872-1970) y al matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932) que a Frege.

Friedrich Ludwig Gottlob Frege

Bertrand Arthur William Russell

Giuseppe Peano

Durante algún tiempo, los lógicos estuvieron obsesionados con un principio de parsimonia, llamado navaja de Ockham, que los justificó en la reducción del número de estos conceptos fundamentales, por ejemplo, definiendo p\supset q como \neg p\vee q o incluso como \neg(p\wedge\neg q). Si bien esta definición, aunque innecesariamente engorrosa, es legítimamente clásica, no está permitida en la lógica intuicionista. En el mismo espíritu, muchos matemáticos adoptaron la definición de Wiener-Kuratowski del par ordenado \left\langle a,b\right\rangle como \left\{\left\{a\right\},\left\{a,b\right\}\right\}, donde \left\{a\right\} es el conjunto cuyo único elemento es a.

La lógica había sido estudiada por los antiguos, en particular por Aristóteles y los filósofos estoicos. Filón de Megara (hacia 250 a.C.) había observado (o postulado) que $p\supset q$ es falso si y sólo si p es verdadero y q es falso. Sin embargo, la conexión íntima entre la lógica y la matemática tuvo que esperar la intuición de los pensadores del siglo XIX, en particular de Frege.

Frege fue capaz de explicar la mayoría de las nociones matemáticas con la ayuda de su esquema de comprensión, que afirma que para todo \phi (fórmula o enunciado) debería existir un conjunto X tal que, para todo x, x\in X si y sólo si \phi(x) es verdadera. Por otra parte, por el axioma de extensionalidad, este conjunto X está determinado únicamente por \phi(x). Un defecto en el sistema de Frege fue descubierto por Russell, quien señaló algunas contradicciones obvias que implican conjuntos que se contienen como elementos, por ejemplo, tomando \phi(x) como \neg(x\in x). Russell ilustró esto por lo que ha llegado a ser conocido como la Paradoja del Barbero: Un barbero establece que afeita a todos los que no se afeitan a sí mismos. ¿Quién afeita al barbero? Cualquier respuesta contradice la declaración del barbero. Para evitar estas contradicciones, Russell introdujo el concepto de tipos, una jerarquía (no necesariamente lineal) de elementos y conjuntos de tal manera que las definiciones siempre proceden de elementos más básicos a conjuntos más inclusivos, esperando que las auto-referencias y las definiciones circulares serían excluidas. Con este tipo de distinción, x\in X sólo si X es de un tipo superior más apropiado.

La teoría de tipos propuesta por Russell, desarrollada posteriormente en colaboración con el matemático inglés Alfred North Whitehead (1861-1947) en su monumental Principia Mathematica (1910-1913), resultó ser demasiado engorrosa para atraer a los matemáticos y lógicos, quienes lograron evitar la paradoja de Russell de otras maneras.

Alfred North Whitehead

Los matemáticos hicieron uso de la teoría de conjuntos de Neumann-Gödel-Bernays, que distingue entre conjuntos pequeños y clases grandes, mientras que los lógicos prefieren un lenguaje de primer orden esencialmente equivalente, los axiomas de Zermelo-Fraenkel, que permiten construir nuevos conjuntos sólo como subconjuntos de conjuntos dados. Cabe mencionar también el sistema del filósofo americano Willard Van Orman Quine (1908-2000), que admite un conjunto universal. (Cantor no había permitido tal conjunto “más grande”, ya que el conjunto de todos sus subconjuntos tendría que ser aún más grande.) Aunque la teoría de tipos fue simplificada en gran medida por Alonzo Church y el matemático estadounidense Leon Henkin (1921-2006), sólo comenzó a destacarse con el advenimiento de la teoría de categorías.