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La revolución en la lógica matemática y la teoría de conjuntos que tuvo lugar a principios del siglo XX tuvo muchos participantes importantes, incluido Ernst Zermelo. Su construcción axiomática de la teoría de conjuntos ha sido de gran importancia para el desarrollo de la matemática, ya que toda la matemática moderna se basa ahora en fundamentos de teoría de conjuntos. 

Ernst Zermelo nació el 27 de julio de 1871, hijo de Ferdinand Rudolf Theodor Zermelo, profesor universitario, y Maria Augusta Elisabeth Zieger. El joven Zermelo recibió su educación secundaria en Berlín, y estudió matemática, filosofía y física en escuelas de Berlín, Halle y Friburgo. Entre sus maestros tenemos a Georg Frobenius, Max Planck y Herman Schwartz. En 1894 obtuvo su doctorado en la Universidad de Berlín con una tesis sobre cálculo de variaciones. A pesar de que Zermelo obtendría fama a través de sus investigaciones sobre la teoría de conjuntos, mantuvo su interés y conocimiento sobre cálculo de variaciones a lo largo de su vida.

Después de trabajar durante varios años en hidrodinámica, Zermelo obtuvo un puesto en la Universidad de Gotinga en 1899, y se convirtió en profesor titular allí un año después de su demostración de 1904 del teorema del buen ordenamiento. Este resultado, que le valió el reconocimiento instantáneo entre los matemáticos contemporáneos, afirma que cualquier conjunto puede ser bien ordenado (es decir, uno puede construir una relación de orden que le permita comparar cualesquiera dos elementos del conjunto y determinar cuál es el primero). Este sorprendente teorema dice que cualquier conjunto se parece al conjunto de los números reales (donde el orden es el “menor que” que simbolizamos con <).

Zermelo estaba interesado en la física y tenía una habilidad especial para encontrar aplicaciones de la matemática en problemas prácticos. Por ejemplo, analizó la tensión entre competidores de ajedrez y estudió la fractura de un terrón de azúcar. En 1900 comenzó a dar conferencias sobre la teoría de conjuntos de Georg Cantor, que había digerido cuidadosamente; unos años más tarde produjo su teorema del buen ordenamiento, y en 1908 dio una segunda demostración. En el mismo año  estableció un sistema de axiomas para la teoría de conjuntos de Cantor que se usa comúnmente hoy en día. Los axiomas evitan cuidadosamente la paradoja de Russell, pero emplean el controvertido axioma de elección, que establece que cualquier unión disjunta de conjuntos no vacíos tiene un subconjunto que contiene exactamente un elemento de cada uno de los conjuntos originales. La demostrabilidad de la famosa hipótesis del continuo depende de este axioma de elección. Algunos matemáticos lo prescinden, mientras que la mayoría lo ve como intuitivo. 

En 1910, Zermelo aceptó una cátedra en Zürich, pero se retiró seis años después debido a problemas de salud. De 1916 a 1926 vivió en Black Forest, Alemania, recuperando su salud. Luego vino a la Universidad de Friburgo de Brisgovia. (Rompió la conexión con la escuela en 1935 en protesta contra el régimen nazi. Después de la Segunda Guerra Mundial fue reinstalado). Mientras tanto, los lógicos Adolf Fraenkel y Thoralf Skolem habían hecho ciertas críticas al sistema de Zermelo, señalando la debilidad del séptimo axioma del infinito. En 1929, Zermelo respondió a esta crítica con una axiomatización de la propiedad de definición, que se utiliza para definir conjuntos a través de las propiedades comunes de sus elementos.

Zermelo hizo algunas contribuciones adicionales a la teoría de conjuntos, intentando abolir la teoría de la demostración en 1935, pero ya había logrado su trabajo más importante. Murió en la Universidad de Friburgo de Brisgovia el 21 de mayo de 1953. Aunque la demostración de Zermelo del teorema del buen ordenamiento fue importante, es recordado principalmente por su formulación axiomática de la teoría de conjuntos, que todavía es muy influyente. Además de proporcionar una rigurosa base con la teoría de conjuntos a la mayoría (o la totalidad) de la matemática moderna, su trabajo inició una investigación pura sobre teoría de conjuntos. Hoy, muchos matemáticos están investigando las consecuencias de varios sistemas de axiomas, probándolos por sus fortalezas y debilidades en términos de consistencia e integridad.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

Zenón de Elea

Los matemáticos griegos clásicos rehuyeron el estudio del infinito, tanto lo infinitamente grande como lo infinitamente pequeño (lo infinitesimal). Los infinitesimales son la piedra angular del cálculo, y muchos griegos, como Arquímedes de Siracusa, dieron los primeros pasos vacilantes hacia un descubrimiento completo del cálculo. Sin embargo, la mayoría rechazó la noción de cantidades infinitamente divisibles, como un continuo, y esta reacción se debió en gran parte a las paradojas de Zenón.

Zenón de Elea nació aproximadamente en el año 490 a.C. en Elea, Italia. Él es de ascendencia griega a pesar de su nacimiento en Italia, y es considerado en la historia miembro del grupo de filósofos griegos. Existe muy poca información confiable sobre su vida, pero se dice que su padre era Telautagoras. Zenón finalmente estudió en la escuela de filosofía de Elea, donde conoció a su maestro Parménides. La escuela eleática, fundada por Parménides, enseñó el monismo, el concepto de que todo es uno. Esta filosofía influyó en Zenón para formular varias paradojas que desafiaban los conceptos de divisibilidad infinita.

Platón afirma que Zenón y Parménides viajaron a Atenas en el 450 a.C., donde se encontraron con el joven Sócrates y discutieron filosofía con él. Antes de viajar a Atenas, Zenón ya había adquirido cierta fama a través de la publicación de un libro (que no ha sobrevivido) que contenía 40 paradojas. Estas paradojas forman una disección profundamente estimulante del concepto del continuo, perturbando así las cómodas nociones de cosas comunes como el movimiento, el tiempo y el espacio. Una de las suposiciones de Zenón es la divisibilidad: si una magnitud se puede dividir en dos, entonces se puede dividir para siempre. El trabajo de Richard Dedekind luego establecería esta propiedad de continuo para los números reales. Zenón también asumió que no existe ningún objeto de magnitud cero (no lo expresó de esta manera, ya que los griegos no tenían el cero).

En la paradoja llamada “La dicotomía”, Zenón afirma que para atravesar una distancia, primero es necesario atravesar la mitad de esa distancia; pero para llegar a la mitad, primero se requiere ir un cuarto del camino. Continuando con este razonamiento indefinidamente, Zenón concluye que comenzar es imposible y que, por lo tanto, el movimiento es imposible. Esta paradoja generalmente se resuelve sumando la serie geométrica de potencias recíprocas de dos. En “La flecha”, Zenón declara que el movimiento es imposible, porque (suponiendo que la instancia actual de tiempo “ahora” es indivisible) si una flecha se mueve cierta distancia en un instante de tiempo indivisible, entonces se movió la mitad de esa distancia en la mitad del tiempo, lo que resulta en una división del instante. Esto puede resolverse permitiendo que el tiempo sea un continuo, infinitamente divisible.

La paradoja más famosa de Zenón es la de Aquiles: establece que se ejecuta una carrera entre el héroe griego Aquiles y una tortuga, donde la lenta tortuga comienza con una ventaja. Después de un tiempo, Aquiles alcanza la mitad de la distancia intermedia. Pero la tortuga ha seguido su camino; Aquiles luego corre la mitad de la distancia restante, pero nuevamente la tortuga ha avanzado más. ¡Llevando este argumento hasta el infinito, Zenón concluye que Aquiles nunca puede ponerse al día! Esto también se puede resolver configurando una serie geométrica adecuada. Sin embargo, las resoluciones de estas paradojas se basan en ciertas nociones de infinito y propiedades del continuo. La estructura matemática detrás de estos conceptos no se desarrolló hasta muchos siglos después. Sir Isaac Newton, Gottfried Leibniz y Blaise Pascal sentaron las bases modernas del cálculo. A finales del siglo XIX, Georg Cantor, Friedrich Ludwig Gottlob Frege y Bertrand Arthur William Russell realizaron trabajos más avanzados sobre el continuo, así como las propiedades básicas de los números reales, entre otros. Por lo tanto, la influencia de Zenón fue de gran alcance, ya que hizo algunas preguntas muy profundas sobre el tiempo, el espacio y el movimiento.

Zenón murió en algún momento alrededor del año 425 a.C., y una fuente cuestionable relata que fue ejecutado después de un intento fallido de eliminar a un tirano de Elea. Aunque era filósofo, las ideas de Zenón provocaron una revolución matemática milenios después, ya que sus paradojas apuntaban a la necesidad de proporcionar una base rigurosa a los conceptos intuitivos del espacio y el tiempo. Sus paradojas sobre el movimiento demostraron las dificultades de considerar la velocidad como una distancia dividida por el tiempo, ya que esta relación parece ser cero dividida por cero cuando el tiempo transcurrido de viaje se reduce a cero; solo con el descubrimiento de límites e infinitesimales en la disciplina del cálculo diferencial se resolvió este enigma. Además de proporcionar una gran cantidad de obstáculos mentales para los intelectuales posteriores, Zenón también sirvió para inhibir el crecimiento de las matemáticas griegas para abarcar el infinito; por lo tanto, fue una influencia retardadora clásica, pero milenios más tarde se convirtió en un impulso para el desarrollo matemático.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

Yativrsabha

Las matemáticas en el siglo VI en India se desarrollaron bajo la cultura Jain; Yativrsabha, que era un intelectual jainista, desarrolló las matemáticas actuales y también relacionó su trabajo con las tradiciones más antiguas.

Poco se sabe de la vida de Yativrsabha, pero vivió en el siglo VI, lo que se conoce porque se refiere a la terminación de la dinastía Gupta, que ocurrió en 551. Estudió con Arya Manksu y Nagahastin, y compiló varias obras que exponen las tradiciones jainistas. También está fechado por el hecho de que Jinabhadra Ksamasramana hace referencia al trabajo de Yativrsabha en 609; también, Yativrsabha se refiere a un trabajo de Sarvanandin en 458.

El trabajo principal de Yativrsabha, el Tiloyapannatti, contiene una descripción del universo y ciertas fórmulas matemáticas que son típicas de esta época en la India; sus matemáticas son representativas del progreso en el pensamiento matemático jainista que se había desarrollado a partir de los trabajos canónicos más antiguos. El libro describe varias unidades para medir la distancia y el tiempo, notable por su escala masiva. De hecho, el sistema de Yativrsabha ofrece un primer concepto para medir distancias infinitas. En la cosmología de Jaina, el universo era infinito en espacio y tiempo; el trabajo de Yativrsabha proporcionó un método para medir estas cantidades cada vez más grandes.

Las matemáticas de Yativrsabha son seguramente un producto de su propia cultura jainista, y esta comodidad con el infinito facilitó el desarrollo de las matemáticas transfinitas. Siglos antes de George Cantor, Yativrsabha incursionó por primera vez en el concepto de que había diversos grados de infinito, y esta jerarquía podía medirse y estudiarse. Sin embargo, ejerció poca influencia duradera en esta dirección, ya que el estudio del infinito no se reanudaría hasta los siglos XVII y XVIII en Europa.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.