Los árabes heredaron las obras de famosos matemáticos griegos, como Euclides de Alejandría, Apolonio de Perga y Arquímedes de Siracusa. Una vez que dominaron las ideas que contenían, varios de ellos pudieron ampliar los métodos. Ibrahim ibn Sinan fue un árabe que empleó gran originalidad en su estudio de la matemática, y representa un punto culminante en el conocimiento científico árabe.
Ibrahim ibn Sinan nació en el año 908, probablemente en Bagdad, en una familia de eruditos famosos. Su padre, Sinan ibn Thabit, era médico, astrónomo y matemático. Ibrahim llevó una vida breve, muriendo a los 38 años en Bagdad, pero logró una cantidad significativa de actividad científica. Además de su trabajo en matemática, Ibrahim examinó los movimientos aparentes del Sol, estudió la óptica de las sombras e investigó instrumentos astronómicos como el astrolabio.
En matemática propiamente dicha, las obras escritas de Ibrahim cubren tangentes de círculos y geometría en general. Su cuadratura de la parábola (determinación del área encerrada por una parábola dada) implica una expansión del método de Arquímedes. El abuelo de Ibrahim, Thabit ibn Qurra, ya había generalizado la técnica de Arquímedes, que era equivalente a sumar integrales definidas, pero su exposición fue bastante larga. Por el contrario, el análisis de Ibrahim es simple y elegante. Él descompone el área de la parábola en una colección aproximada de triángulos inscritos, y demuestra una relación elemental entre las áreas de los polígonos inscritos. Como resultado, el área deseada es cuatro tercios del primer triángulo inscrito. El genio de Ibrahim es evidente en su elegante solución a este problema.
También buscó revivir la geometría clásica, que había sido descuidada por sus contemporáneos. Ibrahim deseaba proporcionar un método práctico para resolver problemas geométricos y categorizar los problemas de acuerdo con su dificultad y método. Siguiendo la epistemología de los antiguos griegos, Ibrahim abogó por la doble importancia de la síntesis y el análisis. El trabajo de Ibrahim ibn Sinan ejerció una profunda influencia en la filosofía matemática de los posteriores matemáticos árabes.
Fuente bibliográfica:
McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
Entre el momento de René Descartes y Sir Isaac Newton, se dice que Christiaan Huygens fue el matemático más grande de Europa. Hizo contribuciones sustanciales a la mecánica, la astronomía, la medición del tiempo, la teoría de la luz y la geometría. Su trabajo demostró la eficacia de un enfoque matemático para el estudio de la naturaleza, y Huygens desarrolló muchas herramientas matemáticas sofisticadas.
Christiaan Huygens nació en La Haya, Países Bajos, el 14 de abril de 1629. Su familia era prominente y tenía una larga historia de servicio diplomático a la casa real. El padre de Christiaan, Constantijn Huygens, educó a sus dos hijos personalmente, cubriendo temas como música, idiomas antiguos, matemática y mecánica. Christiaan Huygens mostró sus considerables talentos intelectuales a una edad temprana, y tenía un don para aplicar la teoría a las construcciones reales: a los 13 años construyó un torno.
En 1645 Huygens asistió a la Universidad de Leiden, donde estudió Derecho y Matemática. Durante sus dos años allí, se familiarizó con las obras recientes de Francois Viète, Pierre de Fermat y Descartes. Huygens comenzó a investigar la mecánica de la caída de los cuerpos y comenzó una correspondencia con Marin Mersenne. Después de completar sus estudios universitarios, se matriculó en el Colegio de Orange de 1647 a 1649, donde ejerció la abogacía. Sin embargo, Huygens no siguió una carrera en la diplomacia, sino que eligió ser un científico.
Huygens vivió en su casa hasta 1666, recibiendo el apoyo financiero de su padre que le permitió centrarse en su investigación científica. Primero investigó sobre matemática, considerando cuadraturas de curvas y problemas algebraicos. Las contribuciones matemáticas de Huygens son importantes, ya que mejoró los métodos existentes y tuvo éxito en la aplicación de estos a fenómenos naturales. También desarrolló la nueva teoría de las evolutas y fue uno de los fundadores de la teoría de la probabilidad.
En 1651, Huygens produjo un manuscrito que refutaba la cuadratura del círculo de Gregory de St. Vincent. En el mismo trabajo, derivó una conexión entre la cuadratura y el centro de gravedad para círculos, elipses e hipérbolas. Su próxima publicación, en 1654, aproxima el centro de gravedad de cualquier arco de un círculo y así obtiene una cuadratura aproximada. Una técnica similar, desarrollada más de una década después, produjo un método rápido para calcular logaritmos.
Al enterarse del trabajo de probabilidad de Blaise Pascal, Huygens comenzó a estudiar problemas de juego en 1656, como la división justa de apuestas en un juego interrumpido. Inventó el concepto de expectativa matemática, que representa las ganancias a largo plazo en un juego de azar. Esta idea, expresada por Huygens en una forma primitiva, ahora es de importancia central para la teoría moderna de la probabilidad.
En 1657 Huygens relacionó la longitud del arco de la parábola con la cuadratura de la hipérbola, y utilizó esta propiedad para encontrar el área de la superficie de un paraboloide de revolución. Un año después, descubrió un teorema vital del cálculo moderno: que el cálculo del área superficial de una superficie de revolución podía reducirse a encontrar la cuadratura de la curva normal.
Su teoría de las evolutas, que se refiere a la geometría de las cuerdas que cuelgan de una superficie convexa, se desarrolló en 1659 como un componente de su investigación sobre los relojes de péndulo. Su método de evolutas determina esencialmente el radio de curvatura de una curva algebraica dada. Huygens también estudió logaritmos, comenzando en 1661, y en este sentido introdujo la función exponencial natural.
Huygens también contribuyó a otras áreas de la ciencia. Completó un manuscrito sobre hidrostática en 1650, en el cual derivó la ley de Arquímedes de Siracusa a partir de un axioma básico. En 1652 formuló las reglas de la colisión elástica y comenzó su estudio sobre óptica. Más tarde, en 1655, junto con su hermano, recurrió al pulido de lentes y la construcción de telescopios y microscopios. Construyó algunos de los mejores telescopios de su época y pudo detectar los anillos de Saturno. Huygens también observó bacterias y otros objetos microscópicos.
En 1656 Huygens inventó el reloj de péndulo como una herramienta para medir el tiempo. Se había vuelto cada vez más importante medir con precisión el tiempo, ya que esta tecnología era necesaria para la astronomía y la navegación. La invención de Huygens tuvo mucho éxito. En su investigación teórica de la oscilación del péndulo, Huygens descubrió que el período podía hacerse independiente de la amplitud si la trayectoria del péndulo fuera cicloide. Luego construyó el reloj de péndulo de forma tal que se induciría que el balanceo del péndulo tuviera una trayectoria cicloidal. Este llamado tautocronismo de la cicloide es uno de los descubrimientos más famosos de Huygens.
A continuación, Huygens comenzó a estudiar la fuerza centrífuga y el centro de oscilación en 1659, obteniendo varios resultados fundamentales. Derivó rigurosamente las leyes de descenso a lo largo de planos y curvas inclinadas y obtuvo el valor de la aceleración debida a la gravedad en la Tierra, que es de aproximadamente 9,8 metros por segundo al cuadrado. Huygens volvió a considerar caídas resistiendo distintos medios (como el aire) en 1668, y concibió la resistencia (o fricción) como proporcional a la velocidad del objeto. Huygens también investigó la teoría ondulatoria de la luz; explicó la reflexión y la refracción en 1676 mediante su concepción de la luz como una serie de ondas de choque de movimiento rápido.
Es interesante que Huygens no aceptara el concepto newtoniano de fuerza, y fue capaz de eludirlo por completo. También criticó el concepto de fuerza de Gottfried Leibniz, aunque estaba de acuerdo con el principio de la conservación en los sistemas mecánicos. En su filosofía natural, estuvo de acuerdo con Descartes, tratando de llegar a una explicación mecanicista del mundo. Una de sus obras más populares especuló sobre la existencia de vida inteligente en otros planetas, lo que Huygens pensó que era altamente probable.
Durante el período 1650-1666, Huygens conoció a muchos científicos y matemáticos franceses, y visitó París varias veces. En 1666 Huygens aceptó la membresía en la recién fundada Académie Royale des Sciences y se mudó a París, donde permaneció hasta 1681. Fue el miembro más destacado de la academia y recibió un estipendio generoso. Pasó este tiempo desarrollando un programa científico para el estudio de la naturaleza, observando los cielos y exponiendo sus teorías de la gravedad y la luz.
Huygens sufría de mala salud y varias veces se vio obligado a regresar a La Haya. En 1681 se fue de nuevo debido a una enfermedad y, debido a tensiones políticas y religiosas, no fue invitado a regresar a Francia. Huygens nunca se casó, pero pudo vivir en la propiedad familiar. En la última década de su vida, regresó a la matemática, habiéndose convencido de la fecundidad del cálculo diferencial de Leibniz. Sin embargo, el conservadurismo matemático de Huygens lo llevó a emplear sus viejos métodos geométricos, y esto de alguna manera inhibió su progreso y comprensión del cálculo. Sin embargo, Huygens pudo resolver varios problemas matemáticos planteados públicamente, como la isócrona de Leibniz, la tractriz y la catenaria.
Huygens finalmente sucumbió a su constitución enferma, y murió el 8 de julio de 1695. Fue el científico y matemático más prominente de su tiempo (al menos antes que Newton y Leibniz se volvieran más productivos), e hizo contribuciones brillantes a diversas áreas de la ciencia. Sin embargo, la renuencia de Huygens a publicar teorías insuficientemente desarrolladas limitó su influencia en el siglo XVIII; tampoco tuvo ningún alumno para que llevara a cabo su pensamiento. Su trabajo en mecánica abrió nuevas fronteras de investigación, pero su trabajo matemático extendió principalmente técnicas más antiguas en lugar de abrir nuevas perspectivas para la exploración. Sin embargo, Huygens fue un maestro en la aplicación de métodos matemáticos a problemas científicos, como lo demuestra su trabajo sobre la medición del tiempo.
Fuente bibliográfica:
McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
La topología, el estudio de la forma de los conjuntos matemáticos, se convirtió en una disciplina cada vez más popular en el siglo XX. Nuevas herramientas potentes como la homología y la teoría de anillos algebraicos se aplicaron a problemas importantes, y se avanzó mucho en el proyecto de clasificación topológica. Heinz Hopf fue un jugador clave en estos desarrollos.
Heinz Hopf nació en Breslau, Alemania, el 19 de noviembre de 1894. Estudió matemática en la universidad de su ciudad natal, pero la Primera Guerra Mundial interrumpió su carrera. Después de un largo período de servicio, Hopf pudo asistir a un curso de teoría de conjuntos en la Universidad de Breslau en 1917; quedó fascinado con el trabajo topológico de Luitzen Egbertus Jan Brouwer y realizó más estudios en Berlín. En 1925, Hopf recibió un doctorado en matemática. Más tarde recibió una beca para estudiar en la Universidad de Princeton en 1927. En 1931, Hopf fue nombrado catedrático de matemática en la Eidgenössische Technische Hochschule en Zurich, Suiza.
Aunque Hopf publicó solo un pequeño número de artículos, como Fundamentalgruppe und Zweite Bettische Gruppe (Grupos Fundamentales y segundos grupos de Betti), tuvo una influencia tremenda en el campo de la topología, debido a la amplitud y originalidad de sus ideas. Se basó en los métodos de Brouwer, desarrollando los conceptos de grado de mapeo y clase de homotopía: estas fueron herramientas matemáticas que introdujeron la teoría de grupos algebraicos como ayuda en la clasificación de variedades continuas. Hopf tenía una excelente intuición geométrica, pero sus argumentos se volvieron cada vez más algebraicos bajo la influencia de Emmy Noether.
Algunos de los trabajos más importantes de Hopf se centraron en mapeos de esferas de alta dimensión, campos vectoriales y teoremas de puntos fijos. Definió el homomorfismo inverso, que se convirtió en una poderosa herramienta en el estudio de variedades. En 1931 Hopf identificó un número infinito de relaciones entre la esfera tridimensional y la esfera bidimensional, e hizo conjeturas sobre el llamado mapa de fibra de Hopf. Después de la Segunda Guerra Mundial, las primeras investigaciones de Hopf en estas áreas se convirtieron en un próspero campo de estudio.
En el área de los campos vectoriales, Hopf estudió formas bilineales, variedades casi complejas y la homología de las variedades de grupos. Su principal herramienta en estas investigaciones fue la homología, que se refiere a las clases de “incrustaciones” de objetos simples (como triángulos y tetraedros) en una variedad dada. Otro trabajo de Hopf en la década de 1940 condujo al desarrollo del álgebra cohomológica, un nuevo y vigoroso campo de la matemática pura.
Además de todo este excelente trabajo en topología algebraica, Hopf también exploró la geometría diferencial. Por ejemplo, investigó superficies completas, la congruencia de superficies convexas, e isometrías; también escribió sobre la tangente de una curva plana cerrada. Heinz Hopf era enérgico y alegre, y daba conferencias claras y estimulantes. Con su esposa, Anja Hopf, con quien se casó en octubre de 1928, fue un generoso anfitrión para colegas y exiliados políticos. Durante la Segunda Guerra Mundial, proporcionó refugio a sus amigos alemanes en Suiza, donde estarían a salvo de la persecución nazi. Murió el 3 de junio de 1971, en Zollikon, Suiza. Obtuvo varios doctorados honorarios de instituciones como Princeton, Freiburg y Sorbonne, y fue presidente de la Unión Matemática Internacional de 1955 a 1958.
Heinz Hopf tuvo una enorme influencia en el área de la topología: desarrolló la homología convirtiéndola en una de las herramientas más utilizadas de la topología algebraica, y obtuvo varios resultados importantes, especialmente en el estudio de esferas de alta dimensión. Los orígenes de la cohomología se remontan a Hopf, al igual que el concepto de grupos de homotopías.
Fuente bibliográfica:
McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
