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Archive for 27 noviembre 2013

Cuatro siglos y medio han transcurrido desde que los números complejos fueron descubiertos. Cuando hablamos de número complejo no referimos a una entidad de la forma a+ib, donde a y b son números reales y, a diferencia de cualquier número ordinario, i tiene la propiedad de que i^{2}=-1. Este descubrimiento finalmente tuvo un profundo impacto en toda la matemática, pues significó la unificación de muchas cosas que antes parecían dispares, y explicó mucho de lo que antes parecía inexplicable. A pesar de este final feliz –en realidad la historia continúa desarrollándose hasta nuestros días– el progreso después del descubrimiento inicial de los números complejos fue extremadamente lento. En efecto, en relación con los avances logrados en el siglo XIX, poco se ha logrado en los primeros 250 años de vida de los números complejos.

¿Cómo es posible que los números complejos permanecieran latentes a través de las distintas épocas de desarrollo de la matemática, a pesar del paso de grandes mentes como las de Descartes, Fermat, Leibniz, e incluso el genio visionario de Newton? La respuesta parece estar en el hecho de que, lejos de ser bienvenidos, los números complejos fueron inicialmente recibidos con desconfianza, confusión, e incluso hostilidad.

El Ars Magna de Girolamo Cardano, que apareció en 1545, se toma convencionalmente como el acta de nacimiento de los números complejos. Sin embargo, en ese trabajo Cardano introdujo estos números tan sólo para calificarlos inmediatamente como “sutiles, ya que no sirven para nada”. Como veremos, los primeros cálculos sustanciales con números complejos fueron realizados por Rafael Bombelli, apareciendo en su L’Algebra de 1572. Sin embargo, aquí también nos encontramos con el innovador renegando de sus descubrimientos (al menos inicialmente), al decir que “todo el asunto parece descansar en un sofisma más que en la verdad”. Todavía en 1702, Leibniz describió a i, la raíz cuadrada de -1, como “ese anfibio entre la existencia y la no existencia”. Estos sentimientos encontraron eco en la terminología de la época. A medida que se discutían en todo, los números complejos fueron llamados “imposibles” o “imaginarios”, y este último término (por desgracia) quedó presente hasta nuestros días[1]. Incluso en 1770 la situación era aún lo suficientemente confusa como para que un matemático de la talla de Euler argumentara equivocadamente que \sqrt{-2}\sqrt{-3}=\sqrt{6}.

La raíz de todo este problema parece haber sido un bloqueo psicológico o filosófico. Cómo se podía investigar estos temas con entusiasmo o confianza si nadie sentía que sabía la respuesta a la pregunta, “¿Qué es un número complejo?”

Una respuesta satisfactoria a esta pregunta sólo se encuentra al final del siglo XVIII[2]. De forma independiente, y en rápida sucesión, Wessel, Argand, y Gauss reconocen que los números complejos pueden ser objeto de una interpretación geométrica simple, concreta, como puntos (o vectores) en el plano: la cantidad mística a+ib  debe ser vista simplemente como el punto en el plano  que tiene coordenadas cartesianas (a,b), o de forma equivalente como el vector que conecta el origen con ese punto. Cuando lo pensamos de esta manera, el plano se denota con \mathbb{C}  y se llama plano complejo[3]. Las operaciones de adición o multiplicación de dos números complejos pueden ahora ser consideradas como operaciones geométricas de los dos puntos correspondientes (o vectores) en el plano.

Las publicaciones de la interpretación geométrica de Wessel y de Argand pasaron casi inadvertidas, pero fue la reputación de Gauss (tan grande en su época como lo es ahora) la que garantizó una amplia difusión y aceptación de los números complejos como puntos en el plano. Tal vez menos importante que los detalles de esta nueva interpretación (al menos inicialmente) fue el mero hecho de que ahora existía una manera de dar sentido a estos números, constituyéndose así en legítimos objetos de investigación. En cualquier caso, las compuertas de la invención estaban a punto de abrirse.

Había costado más de dos siglos y medio llegar a un acuerdo con los números complejos, pero el desarrollo de una nueva y hermosa teoría acerca de cómo hacer cálculos con estos números (lo que ahora llamamos el análisis complejo) fue asombrosamente rápido. La mayoría de los resultados fundamentales se obtuvieron entre 1814 y 1851 de la mano de Cauchy y Riemann, entre otros –un lapso de menos de cuarenta años!

En próximas entradas exploraremos estos detalles interesantes de la “compleja” historia de la matemática.


[1] Sin embargo, por “número imaginario” ahora entendemos a un múltiplo real de i, en lugar de a un número complejo en general. Dicho sea de paso, el término “número real” se introdujo precisamente para distinguir este tipo de número de un “número imaginario”.

[2] Wallis casi dio con la respuesta en 1673.

[3] También conocido como “plano de Gauss” o “plano de Argand”.


Fuente bibliográfica:

  • Tristan Needham (1997) Visual Complex Analysis. Oxford University Press

 

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La manzana de Newton es un sitio en el que podrán encontrar actividades y material de lectura para la enseñanza de la matemática en el nivel secundario. Interesante para explorar lo que vayan anexando…

La manzana de Newton

La manzana de Newton

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Interesante la siguiente entrada del blog TITO ELIATRON DIXIT:

… En esta ocasión os voy a hablar de, probablemente, el resultado más
sorprendente que un estudiante de variable compleja se pueda encontrar:
El Teorema de Liouville. Este resultado afirma que una función entera
(es decir, analítica en todo el plano complejo -para que nos entendamos,
que se puede derivar infinitas veces y, además, las derivadas se
comportan muy bien, en el sentido que la serie de Taylor asociada es
igual a la función en todo [;\mathbb{C};]) y acotada, automáticamente ha de ser constante.

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