Aritmética simbólica «versus» aritmética geométrica

Es usual emplear las reglas simbólicas y las reglas geométricas para operar con números complejos indistintamente, pero es hora de que justifiquemos nuestro proceder demostrando que estas reglas son efectivamente equivalentes. La equivalencia entre las reglas de la adición deberían ser familiares para aquellos que han estudiado vectores, por lo que no me detendré aquí en ellas. Por lo tanto, centremos nuestra atención en la equivalencia de las reglas de multiplicación de números complejos:

(1) Regla geométrica: El módulo de es el producto de los módulos de y , y el argumento de es la suma de los argumentos de y .

(2) Regla simbólica:

En primer lugar vamos a mostrar cómo la regla simbólica se puede derivar de la regla geométrica. Para ello vamos a reformular la regla geométrica (1) de una manera particularmente útil e importante. Sea un punto cualquiera de , y analicemos lo que ocurre con él -a dónde se mueve- cuando se lo multiplica por un número complejo fijo . Si recordamos la multiplicación de números complejos en coordenadas polares vista en «Coordenadas cartesianas y polares de números complejos«, el módulo de es magnificado o ampliado por , mientras que el ángulo o argumento de se incrementa en . Ahora imaginemos que esto le ocurre de forma simultánea a todos los puntos del plano:

Geométricamente, la multiplicación por un número complejo es una rotación del plano respecto de un ángulo , y una expansión del plano por el factor .

Merece la pena hacer algunos comentarios:

• Tanto la rotación como la expansión se centran en el origen.
• No hay ninguna diferencia si hacemos la rotación seguida por la expansión o la expansión seguida de la rotación.
• Si , entonces la «expansión» es en realidad una contracción.

La Figura 1 ilustra el efecto de tal transformación, donde las formas celestes se transforman en las formas naranjas. [En este ejemplo, .]

 

Figura 1

 

Ahora es una cuestión sencilla deducir la regla simbólica a partir de la regla geométrica. Recordemos los pasos esenciales tomados por Bombelli al derivar (2): (i) ; (ii) Los paréntesis se pueden multiplicar, es decir, si , y son números complejos, entonces . Ya hemos visto que la regla geométrica nos da (i), y la figura anterior revela ahora que (ii) también es cierto, por la sencilla razón de que las rotaciones y las dilataciones preservan paralelogramos. Por la definición geométrica de la adición, es el cuarto vértice del paralelogramo con vértices , y . Para establecer (ii), es suficiente observar simplemente que la multiplicación por gira y expande este paralelogramo en otro paralelogramo con vértices , , y . Esto completa la derivación de (2).

Recíprocamente, demostremos ahora cómo la regla geométrica se puede derivar de la regla simbólica. Comencemos considerando la transformación . De acuerdo con la regla simbólica, esto significa que . Analice el applet a continuación:

Clic sobre la imagen

Se nos revela que gira en un ángulo recto. Ahora utilicemos este hecho para interpretar la transformación , donde es un número complejo en general. Cómo se hace esto puede ser comprendido suficientemente bien con el ejemplo , donde . Véase la Figura 2.

Figura 2

La regla simbólica dice que los paréntesis se pueden multiplicar, así que nuestra transformación se puede reescribir de la siguiente manera:

Esto se visualiza en la Figura 3. Ahora podemos ver que los triángulos en las Figuras 2 y 3 son semejantes, por lo que la multiplicación por en efecto, rota el plano un ángulo , y lo expande por .

Figura 3

Por lo tanto, de ahora en más, cada vez que necesitemos sumar o multiplicar números complejos podremos elegir la manera más cómoda para hacerlo, dependiendo del contexto en el que estemos inmersos.

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Fuente bibliográfica:

• Tristan Needham (1997) Visual Complex Analysis. Oxford University Press

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Rafael Bombelli

Rafael Bombelli fue el último de los algebristas italianos del Renacimiento, y uno de los más importantes. Nació en Bolonia en 1526, en el seno de una familia cuyo padre Antonio Mazzoli, que cambió su apellido a Bombelli, se dedicaba al rentable comercio lanero.

Es posible, aunque improbable, que Bombelli estudiase en la Universidad de Bolonia. Sin embargo se sabe que el ingeniero hidráulico y arquitecto Pier Francesco Clementi, no tan famoso en el ámbito académico de la época pero si en el artístico, se ocupó de su educación. Más tarde, Bombelli trabajaría durante muchos años para Alessandro Rufini, un amigo del Papa Pablo III y futuro obispo de Melfi. En ese periodo Bombelli se dedicó al saneamiento de zonas pantanosas, a raíz de la formación que había adquirido de la mano de Clementi.

Bombelli estudió a fondo el Ars Magna de Cardano, publicada justo cuando tenía 19 años, la edad perfecta para un espíritu inquieto. A raíz de la polémica que se había generado entre Cardano, Tartaglia y del Ferro, Bombelli decidió emprender la escritura de un tratado de álgebra, mejorando la poco clara exposición de Cardano. Fue así que Bombelli planificó su L’Algebra en 5 libros, de los que terminó 3 entre 1557 y 1560.  Allí condensó de manera lógica y sistemática toda el álgebra conocida hasta la fecha, brindando gran número de ejemplos y aplicaciones a problemas prácticos. Se aprecia también una fuerte influencia de la Arithmetica de Diofanto, que Bombelli había estudiado exhaustivamente en Roma y que incluso había intentado traducir.

L’Algebra de Bombelli

En el libro II de  L’Algebra trató la resolución de ecuaciones de grado menor o igual a cuatro, considerando sólo términos positivos, lo que lo llevó a un dilema tal como el que había experimentado Cardano. En el libro III aparece la resolución de problemas prácticos empleando los métodos teóricos que había descrito en el tomo anterior, pero con un tinte considerablemente teórico poco habitual, o casi inexistente, para la época. Los dos libros restantes no se publicaron en la edición de 1572 de L’ Algebra, y a raíz de la muerte de Bombelli en 1573, posiblemente en Roma, quedaron como obras inéditas hasta 1923, año en el que se descubrió el manuscrito de la obra completa en una biblioteca de Bolonia. Los tomos IV y V contenían aplicaciones geométricas al álgebra, y del álgebra a la geometría, respectivamente, influenciadas por procedimientos geométricos de Omar Khayyam. Este descubrimiento tardío significó una gran pena en virtud de que contenía ideas importantes de Bombelli que se adelantaban a los devenires del siglo XVII.

Libro II del L’Algebra de Bombelli

Uno de los aspectos que más se destacan del L’Algebra de Bombelli es la aparición por primera vez de los números complejos en una aplicación esencial, tal como se describe en el artículo “El pensamiento salvaje de Bombelli”. Esto resultó trascendental debido a que hubo que esperar dos siglos y medio más para que Galois demostrara que la cúbica irreducible, como la analizada por Bombelli, no es soluble por radicales sin pasar por el campo complejo.

El impacto de la obra de Bombelli se hizo notar en muchos matemáticos que le sucedieron, entre los que se puede mencionar a Leibniz que estudió minuciosamente el trabajo de Bombelli y lo llenó de elogios.

Fuentes bibliográficas:

• Durán, Antonio et. al. (2000) El legado de las matemáticas: de Euclides a Newton. Los genios a través de sus libros. Universidad de Sevilla.

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COFLA – Flamenco y matemática

Interesante proyecto que vincula la música y la matemática

Aquí artículos para interiorizarse:

Díaz-Báñez J. M., G. Farigu, F. Gómez, D. Rappaport, G. T. Toussaint ,
Similaridad y evolución en la rítmica del flamenco: una incursión de la matemática computacional. La Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española, vol 8.2, 489-509, 2005.

Díaz-Báñez J. M., G. Farigu, F. Gómez, D. Rappaport, G. T. Toussaint,
El Compás Flamenco: A Phylogenetic Analysis. (Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music, and Science, Winfield, Kansas, 61-70, 2004.)

Díaz-Báñez J. M., F.J. Escobar-Borrego,
La modulación tonal en las formas musicales del Flamenco: propiedades de preferencia e hibridación armónica.  Itamar. Revista de Investigación Musical: Territorios para el Arte. ISSN 1889-1713,  261-266, 2010.

 

 

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