02 | diciembre | 2013 | Blog de Matemática y TIC's

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El pensamiento salvaje de Bombelli

Posted in Análisis de Variable Compleja, Historia de la Matemática, tagged Ars Magna, Gerolamo Cardano, Números complejos, Rafael Bombelli on 2 diciembre 2013| 2 Comments »

En la entrada anterior comenzamos un breve paseo por el mundo «complejo». Hoy veremos que el poder y la belleza del análisis complejo surge en definitiva de las reglas de multiplicación y suma de números complejos. Estas reglas fueron descubiertas por primera vez en forma simbólica por Rafael Bombelli; debieron pasar más de dos siglos antes de que el plano complejo revelara estas operaciones en la forma geométrica que mencionamos en Comenzando una nueva historia «compleja».

Remontémonos entonces al siglo XVI con el fin de entender los orígenes algebraicos.

Muchos textos tratan de introducir los números complejos con una conveniente ficción histórica basada en la resolución de ecuaciones cuadráticas de la forma $x^{2}=mx+c$ . Dos mil años antes de Cristo, ya se sabía que estas ecuaciones podían resolverse usando un método que es equivalente a la fórmula moderna

$x=\frac{1}{2}\left[m\pm\sqrt{m^{2}+4c}\right].$

Pero ¿qué ocurre si $m^{2}+4c$ es negativo? Este fue el problema que llevó a Cardano a considerar las raíces cuadradas de números negativos. Ya señalé en la entrada anterior que Cardano no dudó en rechazar estas «soluciones» tildándolas de inútiles. No es que Cardano careciera de imaginación para llevar adelante el asunto, ni que no tuviera una razón muy convincente para no hacerlo. Recordemos que para los antiguos griegos la matemática era sinónimo de geometría, y esta concepción todavía estaba en auge en el siglo XVI. Por lo tanto una relación algebraica como la dada por la ecuación cuadrática arriba no era considerada como tal, sino que más bien era vista como un mero vehículo para la solución de un problema genuino de la geometría. En el caso de nuestra ecuación, por ejemplo, puede ser considerada como representativa del problema de encontrar los puntos de intersección de la parábola $y = x^{2}$ y la recta $y = mx + c$ .

Figura 1

En el caso de $L_{1}$ el problema tiene solución; algebraicamente, $(m^{2}+4c)> 0$ y los dos puntos de intersección están dados por la fórmula anterior. En el caso de la recta $L_{2}$ el problema claramente no tiene una solución; algebraicamente sucede que $(m^{2} + 4c) <0$ y la ausencia de soluciones se manifiesta a través de la aparición en la fórmula de números «imposibles'».

Pero no fue una ecuación de segundo grado lo que obligó a tomar en serio a los números complejos, sino una cúbica de la forma

$x^{3}=3px+2q.$

Esta ecuación representa el problema de encontrar los puntos de intersección de la curva cúbica $y = x^{3}$ y la recta $y = 3px + 2q$ . Basándose en el trabajo de del Ferro y Tartaglia, Cardano en su Ars Magna demostró que esta ecuación puede resolverse por medio de la extraordinaria fórmula:

$x=\sqrt[3]{q+\sqrt{q^{2}-p^{3}}}+\sqrt[3]{q-\sqrt{q^{2}-p^{3}}}.$

La siguiente figura muestra el caso en que consideremos la cúbica $x^{3}=6x+6$ .

Unos treinta años después que apareció esta fórmula, Bombelli reconoció que había algo extraño y paradójico en ella. En primer lugar notemos que si la recta $y=- 3px + 2q$ es tal que $p^{3}> q^{2}$ entonces la fórmula involucra números complejos. Por ejemplo, Bombelli consideró la ecuación $x^{3} = 15x + 4$ , lo que nos conduce a $x=\sqrt[3]{2+11i}+\sqrt[3]{2-11i}$ . Si volvemos a la Figura 1, esto simplemente indica que el problema geométrico no tiene solución, pero si graficamos la situación está claro que la recta $y=15x+4$ intersecta a la cúbica $y=x^{3}$ ! De hecho, a partir de la inspección del ejemplo de Bombelli se obtiene la solución $x = 4$ .

Mientras Bombelli luchaba por resolver esta paradoja, tuvo lo que él llamó un «pensamiento salvaje»‘: quizás la solución $x = 4$ podría ser recuperada de la expresión anterior si $\sqrt[3]{2+11i}=2+in$ y $\sqrt[3]{2-11i}=2-in$ . Por supuesto, para que esto funcionara, debía asumir que la suma de dos números complejos $A = a + i\tilde{a}$ y $B = b + i\tilde{b}$ obedecía la regla

$A+B=(a + i\tilde{a})+(b + i\tilde{b})=(a+b)+i(\tilde{a}+\tilde{b}).$

A continuación, para ver si había realmente un valor de $n$ para el cual $\sqrt[3]{2+11i}=2+in$ , él necesitaba calcular $(2+in)^{3}$ . Para ello supuso que podían multiplicarse los paréntesis como en el álgebra ordinaria, por lo que

$(a + i\tilde{a})(b + i\tilde{b})=ab+i(a\tilde{b}+\tilde{a}b)+i^{2}\tilde{a}\tilde{b}.$

Usando que $i^{2}=-1$ , Bombelli concluyó que el producto de dos números complejos estaría dado por

$AB=(a + i\tilde{a})(b + i\tilde{b})=(ab-\tilde{a}\tilde{b})+i(a\tilde{b}+\tilde{a}b).$

Esta regla reivindicó su «pensamiento salvaje», porque ahora era capaz de demostrar que $(2\pm i)^{3}=2\pm 11i$ .

Mientras que los propios números complejos siguieron permaneciendo bajo un manto de misterio, el trabajo de Bombelli sobre ecuaciones cúbicas estableció así la existencia de problemas perfectamente reales que requieren de la aritmética compleja para alcanzar una solución.

Al igual que su nacimiento, el desarrollo posterior de la teoría de los números complejos estuvo inseparablemente ligado a los avances en otras áreas de la matemática (y también de la física). Espero poder reflejar esto en próximas entregas.

Fuente bibliográfica: