Coordenadas cartesianas y polares de números complejos

Dejando la historia por un momento, les propongo aquí recordar la terminología y notación moderna utilizada comúnmente para describir números complejos. La información se resume en la figura a continuación.

Notación y terminología

Es valioso comprender desde el principio que (según el punto de vista geométrico) un número complejo es una entidad única, indivisible -un punto en el plano. Sólo cuando elegimos describir un punto con coordenadas numéricas aparece un número complejo como compuesto. Más precisamente, nos referimos con esto a que desde este punto de vista es bidimensional, lo que significa que se necesitan dos números reales (coordenadas) para etiquetar un punto en él, pero exactamente cómo se realiza el etiquetado es una decisión propia.

Una manera de etiquetar los puntos es con coordenadas cartesianas (con para la parte real e para la parte imaginaria), el número complejo se escribe entonces como . Este es el etiquetado natural cuando hacemos la adición de dos números complejos, porque todos sabemos ya que las partes real e imaginaria de se obtienen mediante la adición de las partes real e imaginaria de los números complejos y , respectivamente.

En el caso de la multiplicación, el etiquetado cartesiano ya no parece natural, puesto que conduce a la desordenada regla que mencioné en «El pensamiento salvaje de Bombelli«. La solución es la regla geométrica más simple que describo a continuación. Pero antes conviene considerar a un punto típico mediante sus coordenadas polares, y . En lugar de   ahora podemos escribir , donde el símbolo sirve para recordarnos que es el «ángulo» o «argumento» de . [Aunque esta notación todavía es utilizada por algunos, sobre todo en el campo de la ingeniería, sólo la emplearemos brevemente aquí, y más adelante vamos a descubrir una mejor notación (la estándar en matemática), que se utilizará de ahí en más.] La regla de la multiplicación ahora toma la forma simple,

En otras palabras, multiplicar dos números complejos no nulos equivale a multiplicar entre sí sus módulos y sumar sus argumentos.

Al igual que con la etiqueta cartesiana , una etiqueta polar dada especifica un punto único, pero (a diferencia del caso cartesiano) un punto dado no tiene una única etiqueta polar. Esto es claro en cuanto notamos que cualesquiera dos ángulos que difieren en un múltiplo de corresponden a la misma dirección; así, un punto dado tiene infinitas etiquetas diferentes:

Este simple hecho sobre los ángulos será cada vez más importante a medida que avancemos.

Las coordenadas cartesianas y polares son las formas más comunes de etiquetado de los números complejos, pero no son las únicas. Próximamente nos encontraremos con otro método particularmente útil, llamado «coordenadas estereográficas».

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Fuente bibliográfica:

• Tristan Needham (1997) Visual Complex Analysis. Oxford University Press

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