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Archive for 27 febrero 2014

Recordemos el hecho básico de que  e^{x} coincide con su derivada, es decir,

\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.

Esta es realmente una propiedad definitoria, en el sentido que si f(x) es una función tal que \frac{d}{dx}f(x)=f(x) y f(0)=1 entonces f(x)=e^{x}. Del mismo modo, si k es una constante real, entonces e^{kx} puede ser definida mediante la propiedad \frac{d}{dx}f(x)=k f(x).

Para extender la acción de la función exponencial e^{x} que conocemos de los cursos de cálculo, con valores reales de x, a valores imaginarios, nos aferramos a la propiedad antes observada, de modo que siga siendo cierta si k = i, por lo que pedimos que

\frac{d}{dt}e^{it}=i e^{it}.

Como puede observarse hemos cambiado la variable x por la variable t, y esto no es casual dado que pensaremos en ella como la variable tiempo. Estamos acostumbrados a interpretar a la derivada de una función real como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función, pero ¿cómo vamos a entender ahora a la derivada de e^{it}?

Para obtener la respuesta, imaginemos una partícula que se mueve a lo largo de una curva en \mathbb{C}.

Figura 1

El movimiento de la partícula puede ser descrito paramétricamente diciendo que en el tiempo t su posición es el número complejo Z(t). Recordemos de nuestro curso de física que la velocidad V(t) es el vector -ahora considerado como un número complejo- cuya longitud y dirección están dadas por la velocidad instantánea, y la dirección instantánea de movimiento (tangente a la trayectoria), de la partícula que se mueve. La Figura 1 muestra el movimiento M de la partícula entre el tiempo t y t+\delta, y esto debería dejar claro que

\frac{d}{dt}Z(t)=\lim_{\delta\rightarrow0}\frac{Z(t+\delta)-Z(t)}{\delta}=\lim_{\delta\rightarrow0}\frac{M}{\delta}=V(t).

Por lo tanto, dada una función compleja Z(t) de una variable real t, siempre podemos visualizar a Z como la posición de una partícula en movimiento, y a \frac{dZ}{dt} como su velocidad.

Ahora podemos utilizar esta idea para encontrar la trayectoria en el caso particular de Z(t)=e^{it}. Como estamos suponiendo que \frac{d}{dt}e^{it}=i e^{it}, esto implica que:

velocidad = V = iZ = posición rotada respecto de un ángulo recto.

Como la posición inicial de la partícula es Z(0)=e^{0}=1, su velocidad inicial es i, y así se mueve verticalmente hacia arriba. Una fracción de segundo más tarde, la partícula se habrá movido muy ligeramente en esta dirección, y su nueva velocidad será en ángulo recto con su nuevo vector de posición. Continuando de esta manera la construcción del movimiento, está claro que la partícula se desplazará alrededor del círculo unitario.

Figura 2

Puesto que ahora sabemos que \left|Z(t)\right| sigue siendo igual a 1 en todo el movimiento, se deduce que la velocidad de la partícula \left|V(t)\right| también sigue siendo igual a 1. Así, después de un tiempo t=\theta, la partícula habrá recorrido una distancia \theta alrededor del círculo unitario, por lo que el ángulo de Z(\theta)=e^{i\theta} será \theta. Esto no es nada más que la declaración geométrica de la fórmula de Euler, que presenté en la entrada anterior.

En la próxima entrada seguiremos exprimiendo aún más los misterios detrás de esta interesante fórmula.


Fuente bibliográfica:

  • Tristan Needham (1997) Visual Complex Analysis. Oxford University Press

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Mencioné con anterioridad que si bien es común denotar a los números complejos, teniendo en cuenta sus coordenadas polares, como r\angle\theta, notación usual en ingeniería, encontraríamos una manera más propicia, al menos en el mundo matemático. Es el momento entonces de dedicarnos a ello, y viene como consecuencia del siguiente milagroso hecho:

e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta

Este resultado fue descubierto por Leonhard Euler hacia el año 1740, y se llamó obviamente la fórmula de Euler en su honor.

Leonhard Euler

Antes de intentar explicar este resultado, hablemos un poco acerca de su valor y utilidad. Como se ilustra en la Escena 1 abajo, la fórmula dice que e^{i\theta} representa un punto en la circunferencia unitaria con argumento o ángulo \theta.

Escena 1: Clic sobre la imagen para explorar

En lugar de escribir un número complejo cualquiera z=r\angle\theta, ahora podemos escribir z=r e^{i\theta}. Concretamente, lo que estamos diciendo es que para alcanzar z debemos tomar el vector unitario e^{i\theta} que apunta hacia z, y luego extenderlo por un factor igual al módulo de z, como podemos explorar en la Escena 2.

Escena 2: Clic sobre la imagen para explorar

Parte de la belleza de esta representación está dada por la regla geométrica para la multiplicación de números complejos que hemos visto en entradas anteriores y que ahora parece casi obvia:

(R e^{i\phi})(r e^{i\theta})=Rr e^{i(\phi+\theta)}.

En otras palabras, la manipulación algebraica de e^{i\theta} es análoga a la forma en que operamos con la función real e^{x}.

Para explicar la fórmula de Euler, primero debemos responder una pregunta más básica: “¿Qué quiere decir e^{i\theta}?” Sorprendentemente, muchos autores responden a esto definiendo e^{i\theta}, de la nada, como \cos\theta+i\sin\theta! Esta táctica es lógicamente irreprochable, pero también es un golpe bajo a Euler, reduciendo uno de sus mayores logros a una mera tautología. Les propongo que en las próximas dos entradas recorramos juntos dos argumentos heurísticos que nos servirán de soporte para la bella fórmula de Euler.


Fuente bibliográfica:

  • Tristan Needham (1997) Visual Complex Analysis. Oxford University Press

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