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Archive for 25 de febrero de 2014

Mencioné con anterioridad que si bien es común denotar a los números complejos, teniendo en cuenta sus coordenadas polares, como r\angle\theta, notación usual en ingeniería, encontraríamos una manera más propicia, al menos en el mundo matemático. Es el momento entonces de dedicarnos a ello, y viene como consecuencia del siguiente milagroso hecho:

e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta

Este resultado fue descubierto por Leonhard Euler hacia el año 1740, y se llamó obviamente la fórmula de Euler en su honor.

Leonhard Euler

Antes de intentar explicar este resultado, hablemos un poco acerca de su valor y utilidad. Como se ilustra en la Escena 1 abajo, la fórmula dice que e^{i\theta} representa un punto en la circunferencia unitaria con argumento o ángulo \theta.

Escena 1: Clic sobre la imagen para explorar

En lugar de escribir un número complejo cualquiera z=r\angle\theta, ahora podemos escribir z=r e^{i\theta}. Concretamente, lo que estamos diciendo es que para alcanzar z debemos tomar el vector unitario e^{i\theta} que apunta hacia z, y luego extenderlo por un factor igual al módulo de z, como podemos explorar en la Escena 2.

Escena 2: Clic sobre la imagen para explorar

Parte de la belleza de esta representación está dada por la regla geométrica para la multiplicación de números complejos que hemos visto en entradas anteriores y que ahora parece casi obvia:

(R e^{i\phi})(r e^{i\theta})=Rr e^{i(\phi+\theta)}.

En otras palabras, la manipulación algebraica de e^{i\theta} es análoga a la forma en que operamos con la función real e^{x}.

Para explicar la fórmula de Euler, primero debemos responder una pregunta más básica: «¿Qué quiere decir e^{i\theta}?» Sorprendentemente, muchos autores responden a esto definiendo e^{i\theta}, de la nada, como \cos\theta+i\sin\theta! Esta táctica es lógicamente irreprochable, pero también es un golpe bajo a Euler, reduciendo uno de sus mayores logros a una mera tautología. Les propongo que en las próximas dos entradas recorramos juntos dos argumentos heurísticos que nos servirán de soporte para la bella fórmula de Euler.


Fuente bibliográfica:

  • Tristan Needham (1997) Visual Complex Analysis. Oxford University Press

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