La fórmula de Euler – Parte 2

Recordemos el hecho básico de que  coincide con su derivada, es decir,

Esta es realmente una propiedad definitoria, en el sentido que si es una función tal que y entonces . Del mismo modo, si es una constante real, entonces puede ser definida mediante la propiedad .

Para extender la acción de la función exponencial que conocemos de los cursos de cálculo, con valores reales de , a valores imaginarios, nos aferramos a la propiedad antes observada, de modo que siga siendo cierta si , por lo que pedimos que

Como puede observarse hemos cambiado la variable por la variable , y esto no es casual dado que pensaremos en ella como la variable tiempo. Estamos acostumbrados a interpretar a la derivada de una función real como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función, pero ¿cómo vamos a entender ahora a la derivada de ?

Para obtener la respuesta, imaginemos una partícula que se mueve a lo largo de una curva en .

Figura 1

El movimiento de la partícula puede ser descrito paramétricamente diciendo que en el tiempo su posición es el número complejo . Recordemos de nuestro curso de física que la velocidad es el vector -ahora considerado como un número complejo- cuya longitud y dirección están dadas por la velocidad instantánea, y la dirección instantánea de movimiento (tangente a la trayectoria), de la partícula que se mueve. La Figura 1 muestra el movimiento de la partícula entre el tiempo y , y esto debería dejar claro que

Por lo tanto, dada una función compleja de una variable real , siempre podemos visualizar a como la posición de una partícula en movimiento, y a como su velocidad.

Ahora podemos utilizar esta idea para encontrar la trayectoria en el caso particular de . Como estamos suponiendo que , esto implica que:

velocidad = V = iZ = posición rotada respecto de un ángulo recto.

Como la posición inicial de la partícula es , su velocidad inicial es , y así se mueve verticalmente hacia arriba. Una fracción de segundo más tarde, la partícula se habrá movido muy ligeramente en esta dirección, y su nueva velocidad será en ángulo recto con su nuevo vector de posición. Continuando de esta manera la construcción del movimiento, está claro que la partícula se desplazará alrededor del círculo unitario.

Figura 2

Puesto que ahora sabemos que sigue siendo igual a en todo el movimiento, se deduce que la velocidad de la partícula también sigue siendo igual a . Así, después de un tiempo , la partícula habrá recorrido una distancia alrededor del círculo unitario, por lo que el ángulo de será . Esto no es nada más que la declaración geométrica de la fórmula de Euler, que presenté en la entrada anterior.

En la próxima entrada seguiremos exprimiendo aún más los misterios detrás de esta interesante fórmula.

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Fuente bibliográfica:

• Tristan Needham (1997) Visual Complex Analysis. Oxford University Press

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