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Archive for 31 marzo 2014

En entradas anteriores de este blog exploramos algunos ejemplos que muestran la importancia del análisis complejo en la geometría y en la trigonometría. Hoy haremos lo propio en el área del cálculo. Más precisamente veremos cómo resolver el problema de encontrar la derivada de orden 100 de e^{x}\sin x a través de la teoría de las funciones complejas. En términos más generales, vamos a mostrar cómo los números complejos pueden usarse para encontrar la derivada n-ésima de e^{ax}\sin bx.

En “La fórmula de Euler – Parte 2” vimos que e^{it} puede ser pensado como la ubicación en el tiempo t de una partícula que viaja alrededor del círculo unitario con velocidad unitaria. De la misma manera, e^{ibt} puede ser pensado como un número complejo unitario girando alrededor del origen con velocidad (angular) b. Si estiramos este número complejo unitario por e^{at}, entonces su punta describe el movimiento de una partícula que está alejándose en espiral del origen.

Figura 1

La relevancia de este hecho para resolver el problema inicialmente planteado es que la ubicación de la partícula en el tiempo t es

Z(t)=e^{at}e^{ibt}=e^{at}\cos bt+i e^{at}\sin bt.

Por lo tanto la derivada de e^{at}\sin bt es simplemente la componente vertical (imaginaria) de la velocidad V de Z.

Podríamos encontrar V simplemente diferenciando las componentes de Z en la expresión anterior, pero vamos a utilizar en su lugar este ejemplo para introducir un enfoque geométrico. En la Figura 2 consideramos el movimiento M=Z(t+\delta)-Z(t) de la partícula entre el tiempo t y (t+\delta).

Figura 2

Recordemos que V se define como el límite de (M/\delta) cuando \delta tiende a cero. Por lo tanto V y (M/\delta) son casi iguales si \delta es muy pequeño. Esto sugiere dos formas intuitivas de hablar: (i) diremos que “V=(M/\delta) cuando \delta es infinitesimal” o (ii) que “V y (M/\delta) son finalmente iguales” (cuando \delta tiende a cero).

Más precisamente, si dos cantidades X e Y dependen de una tercera cantidad \delta, entonces

Se sigue de los teoremas básicos sobre límites que “finalmente iguales” hereda muchas de las propiedades de la igualdad ordinaria. Por ejemplo, si V y (M/\delta) son finalmente iguales, también lo son V\delta y M.

Ahora volvamos al problema de encontrar la velocidad de la partícula moviéndose en espiral. Como se ilustra en la Figura 2, dibujamos rayos de 0 a Z(t) y Z(t+\delta), junto con arcos circulares (centrados en 0) a través de esos puntos. Sean A y B los números complejos que conectan Z(t) con los puntos de intersección de estos rayos y arcos. Si \delta es infinitesimal, entonces B está en ángulo recto con A y Z, y M = A + B.

Vamos a encontrar las longitudes finales de A y B. Durante el intervalo de tiempo \delta, el ángulo de Z aumenta por b\delta, por lo que los dos rayos cortan un arco de longitud b\delta en el círculo unitario, y un arco de longitud \left|Z\right|b\delta en el círculo a través de Z. Así \left|B\right| es finalmente igual a \left|Z\right|b\delta. A continuación, notemos que \left|A\right| es el aumento en \left|Z(t)\right| que aparece en el intervalo de tiempo \delta. Por lo tanto, como

\frac{d}{dt}\left|Z(t)\right|=\frac{d}{dt}e^{at}=a\left|Z\right|,

\left|A\right| es finalmente igual a \left|Z\right|a\delta.

Por tanto, el triángulo sombreado en Z es finalmente similar al triángulo rectángulo sombreado con hipotenusa a + ib. Al girar el último triángulo por el ángulo de Z, ahora debería ser capaz de ver que si \delta es infinitesimal entonces

Por lo tanto todos los rayos desde el origen cortan a la espiral en el mismo ángulo [el ángulo de (a + ib)], y la velocidad de la partícula es proporcional a su distancia desde el origen.

Usando el resultado obtenido, ahora es fácil tomar otras derivadas. Por ejemplo, la aceleración de la partícula es

\frac{d^{2}}{dt^{2}}Z=\frac{d}{dt}V=(a+ib)^{2}Z=(a+ib)V.

Continuando de esta manera, cada nueva derivada se obtiene multiplicando la anterior por (a + ib). Escribiendo (a + ib)=R e^{i\phi}, donde R=\sqrt{a^{2}+b^{2}} y \phi es el valor apropiado de \tan^{-1}(b/a), encontramos que

\frac{d^{n}}{dt^{n}}Z=(a+ib)^{n}Z=R^{n}e^{in\phi}e^{at}e^{ibt}=R^{n}e^{at}e^{i(bt+n\phi)}.

Así,

\frac{d^{n}}{dt^{n}}[e^{at}\sin bt]=(a^{2}+b^{2})^{\frac{n}{2}}e^{at}\sin[bt+n\tan^{-1}(b/a)].


Fuente bibliográfica:

  • Tristan Needham (1997) Visual Complex Analysis. Oxford University Press

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Tener habilidad en el trabajo con números complejos se constituye en una ventaja al momento de demostrar muchas propiedades geométricas. Veamos algunos ejemplos concretos a continuación.

En la Figura 1 hemos construido cuadrados en los lados de un cuadrilátero arbitrario. Veamos lo que sugiere esta imagen: los segmentos lineales que unen los centros de cuadrados opuestos son perpendiculares y de igual longitud. Se requeriría una gran cantidad de ingenio para encontrar una demostración puramente geométrica de este resultado sorprendente, así que en vez de confiar en nuestra propia inteligencia, invoquemos la inteligencia de los números complejos!

Figura 1 – Clic sobre la imagen para escenario de exploración

Introduciendo un factor 2 por conveniencia, sean 2a, 2b, 2c, y 2d números complejos que se desplazan a lo largo de los lados del cuadrilátero. La única condición es que el cuadrilátero sea cerrado, es decir, que

a+b+c+d=0.

Como se ilustra, elegimos el origen de \mathbb{C} como el vértice donde comienza 2a. Para llegar al centro p del cuadrado construido en ese lado, vamos a lo largo de a, y luego nos desplazamos una distancia igual en ángulo recto a a. Por lo tanto, como ia rota a a respecto de un ángulo recto, p=a+ia=(1+i)a. Del mismo modo,

q=2a+(1+i)b,\quad r=2a+2b+(1+i)c,\quad s=2a+2b+2c+(1+i)d.

Los números complejos A=s-q (de q a s) y B=r-p (de p a r) están por lo tanto dados por

A = (b + 2c + d) + i(d-b)

y

B = (a + 2b + c) +i(c-a).

Queremos demostrar que A y B son perpendiculares y de igual longitud. Estas dos afirmaciones se pueden combinar en el único enunciado complejo B = iA, que dice que B es A rotado por (\pi/2). Para finalizar la demostración, tengamos en cuenta que esto es lo mismo que decir que A + iB = 0, cuya verificación se trata de un simple cálculo rutinario:

A + iB = (a + b + c + d) + i (a + b + c + d) = 0.

Como un primer paso hacia una explicación puramente geométrica del resultado de la Figura 1, consideremos la Figura 2.

Figura 2 – Clic sobre la imagen para abrir el escenario de exploración

Aquí los cuadrados se han construido en dos lados de un triángulo arbitrario y, como sugiere la imagen, los segmentos lineales de sus centros al punto medio m del lado restante son perpendiculares y de igual longitud. La Figura 1 puede ser rápidamente deducida de la Figura 2 (lo que se basa en el artículo de Finney de título Dynamic Proofs of Euclidean Theorems [1970]). Este último resultado puede, por supuesto, ser demostrado de la misma manera que arriba, pero en su lugar consideraremos un argumento puramente geométrico.

Para ello tomaremos un desvío interesante, investigando las traslaciones y las rotaciones del plano en términos de funciones complejas. En realidad, este “desvío” es mucho más importante que el rompecabezas geométrico al que aplicaremos los resultados.

Sea T_{v} una traslación del plano por v, de modo que un punto cualquiera z se mapea en T_{v}(z)=z+v. La Figura 3 muestra el efecto de la traslación en un triángulo.

Figura 3 – Clic sobre la imagen para ir al escenario de exploración

La inversa de T_{v}, escrita como T_{v}^{-1}, es la transformación que deshace el movimiento anterior; más formalmente, T_{v}^{-1} se define por T_{v}^{-1}\circ T_{v}=I=T_{v}\circ T_{v}^{-1}, donde I es la transformación “que no hace nada” (llamada identidad), es decir, que mapea cada punto en sí mismo: I(z)=z. Claramente, T_{v}^{-1}=T_{-v}.

Si aplicamos T_{v} seguida por otra traslación T_{w}, entonces el mapeo compuesto T_{w}\circ T_{v} del plano es otra traslación:

T_{w}\circ T_{v}(z)=T_{w}(z+v)=(z+v)+w=z+(w+v)=T_{w+v}(z).

Figura 4 – Clic sobre la imagen para abrir el escenario de exploración

Sea R_{a}^{\theta} una rotación del plano respecto de un ángulo \theta alrededor del punto a. Por ejemplo, R_{a}^{\phi}\circ R_{a}^{\theta}=R_{a}^{\theta+\phi}, y \left(R_{a}^{\theta}\right)^{-1}=R_{a}^{-\theta}. Como un primer paso hacia expresar rotaciones como funciones complejas, notemos que la interpretación geométrica de la multiplicación de números complejos:

“la multiplicación por un número complejo A=R\angle\phi es una rotación del plano a través de un ángulo \phi, y una expansión del plano por el factor R

dice que una rotación alrededor del origen puede ser escrita como R_{0}^{\theta}=e^{i\theta}z.

Como se muestra en la Figura 5, la rotación general R_{a}^{\theta} puede llevarse a cabo mediante la traslación de a hasta 0, seguida de una rotación de ángulo \theta alrededor de 0, y a continuación la traslación de 0 de nuevo a a:

R_{a}^{\theta}=\left(T_{a}\circ R_{0}^{\theta}\circ T_{a}^{-1}\right)(z)=e^{i\theta}(z-a)+a=e^{i\theta}z+k,

donde k=a(1-e^{i\theta}).

Figura 5 – Clic sobre la imagen para seguir el paso a paso

Por lo tanto nos encontramos con que una rotación alrededor de cualquier punto se puede expresar también como una rotación alrededor del origen seguida de una traslación: R_{a}^{\theta}=(T_{k}\circ R_{0}^{\theta}). Recíprocamente, una rotación de ángulo \alpha alrededor del origen seguida de una traslación por v siempre se puede reducir a una sola rotación:

T_{v}\circ R_{0}^{\alpha}=R_{c}^{\alpha},

donde

c=v/(1-e^{i\alpha}).

De la misma manera, se puede comprobar fácilmente que si realizamos la traslación antes que la rotación, la transformación neta puede volver a llevarse a cabo mediante una sola rotación: R_{0}^{\theta}\circ T_{v}=R_{p}^{\theta}. ¿Quién es p?

Los resultados obtenidos no son por cierto geométricamente evidentes [intente demostrarlos], y sirven para ilustrar el poder de pensar las traslaciones y las rotaciones como funciones complejas. Como un ejemplo adicional, consideremos el efecto neto de efectuar dos rotaciones alrededor de diferentes puntos. Representando las rotaciones como funciones complejas, un cálculo fácil nos dice que

\left(R_{b}^{\phi}\circ R_{a}^{\theta}\right)(z)=e^{i(\phi+\theta)}z+v,

donde

v=a e^{i\phi}(1-e^{i\theta})+b(1-e^{i\phi}).

 A menos que (\theta+\phi) sea un múltiplo de 2\pi, el párrafo anterior nos dice entonces que

R_{b}^{\phi}\circ R_{a}^{\theta}=R_{c}^{(\theta+\phi)}

donde

c=\frac{v}{1-e^{i(\theta+\phi)}}=\frac{a e^{i\phi}(1-e^{i\theta})+b(1-e^{i\phi})}{1-e^{i(\theta+\phi)}}.

 [¿Cuánto debe valer c si b = a o si \phi=0? Compruebe la fórmula.]  Este resultado se ilustra en la Figura 6.

Figura 6

Si, por otro lado, (\theta+\phi) es un múltiplo de 2\pi, entonces e^{i(\theta+\phi)}=1, y

R_{b}^{\phi}\circ R_{a}^{\theta}=T_{v},

donde

v=(1-e^{i\phi})(b-a).

Por ejemplo, tomando \theta=\phi=\pi, esto predice que R_{b}^{\pi}\circ R_{a}^{\pi}=T_{2(b-a)} es una traslación por el doble del número complejo que conecta el primer centro de rotación con el segundo. Que esto es cierto se puede deducir directamente de la Figura 7.

Figura 7

El resultado anterior de la composición de dos rotaciones implica lo siguiente:

Sea M=R_{a_{n}}^{\theta_{n}}\circ\cdots\circ R_{a_{2}}^{\theta_{2}}\circ R_{a_{1}}^{\theta_{1}} la composición de n rotaciones, y sea \Theta=\theta_{1}+\theta_{2}+\cdots+\theta_{n} la cantidad total de la rotación. En general, M=R_{c}^{\Theta} (para algún c), pero si \Theta es un múltiplo de 2\pi entonces M = Tv, para algún v.

Retornando a nuestro problema original, ahora podemos dar una elegante explicación geométrica del resultado en la Figura 2. Refiriéndonos a la Figura 6, sea M=R_{m}^{\pi}\circ R_{p}^{(\pi/2)}\circ R_{s}^{(\pi/2)}. Según el resultado ya obtenido, M es una traslación. Para averiguar qué traslación, sólo necesitamos descubrir el efecto de M en un solo punto. Claramente, M (k) = k, así que M es la traslación nula, es decir, la transformación identidad I. Así

R_{p}^{(\pi/2)}\circ R_{s}^{(\pi/2)}=\left(R_{m}^{\pi}\right)^{-1}\circ M=R_{m}^{\pi}.

Figura 8

Si definimos s'=R_{m}^{\pi}(s) entonces m es el punto medio de ss'. Pero, por otra parte,

s'=\left(R_{p}^{(\pi/2)}\circ R_{s}^{(\pi/2)}\right)(s)=R_{p}^{(\pi/2)}(s).

Por lo tanto, el triángulo sps' es isósceles y tiene un ángulo recto en p, por lo que sm y pm son perpendiculares y de igual longitud. Así hemos logrado demostrar la conclusión extraída de la Figura 2.


Fuente bibliográfica:

  • Tristan Needham (1997) Visual Complex Analysis. Oxford University Press

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Leonhard Euler nació en Basilea (Suiza) el 15 de abril de 1707 y murió en San Petersburgo (Rusia) el 18 de septiembre de 1783. Su padre Paul estudió teología en la Universidad de Basilea, donde también asistió a las clases de matemática de Jakob Bernoulli. Después de graduarse, se convirtió en un pastor protestante y se casó con la hija de un ministro, Margarete Bruckner. Leonhard fue el primero de seis hijos. La familia era muy pobre y, poco después del nacimiento de Euler, se mudó a un pueblo a las afueras de Basilea donde vivieron en una casa de dos habitaciones. Euler recibió su primera instrucción matemática en el hogar paterno. Más tarde se trasladó a Basilea para asistir a la escuela secundaria, pero allí no se enseñaba matemática, así que tomó algunas clases particulares impartidas por un estudiante universitario.

A los 13 años Euler entró en la Universidad de Basilea, que se había convertido en el centro matemático de Europa con Johann Bernoulli, el hermano menor y sucesor de Jakob.  Bernoulli aconsejó a Euler que estudiara matemática por su cuenta y se puso a disposición de él los sábados por la tarde para ayudarlo con cualquier dificultad que se le presentara. Los estudios oficiales de Euler fueron sobre filosofía y derecho. Después de recibir su título de maestría en filosofía en 1723, siguió el deseo de su padre en el departamento de teología. Sin embargo, fue viéndose cada vez más atrapado por el hechizo de la matemática y se dio cuenta que tenía que abandonar la idea de convertirse en ministro.

Había pocas oportunidades para los matemáticos en Suiza, y en 1727 Euler dejó Basilea para trasladarse a San Petersburgo. Los hijos de Johann Bernoulli, Daniel y Nicolás, habían sido designados en la nueva Academia de Ciencias allí, y convencieron a las autoridades para que encontraran un lugar para Euler. Euler ya había mostrado ser toda una promesa con un par de artículos en Acta Eruditorum y una mención honorífica en el concurso de la Academia de París en 1727, pero en San Petersburgo superó todas las expectativas, produciendo un trabajo de alta calidad a una velocidad que asombró a los matemáticos desde entonces. Los primeros años en San Petersburgo con los Bernoulli deben haber sido el sueño de cualquier joven matemático. Sin embargo, es igualmente cierto que la productividad de Euler no se vio afectada por contratiempos posteriores que surgieron en su vida, incluyendo la pérdida de la vista. Euler llenó la mitad de las páginas publicadas por la Academia de San Petersburgo desde 1729 hasta más de 50 años después de su muerte (!), y también representó la mitad de la producción de la Academia de Berlín entre 1746 y 1771.

Los primeros cambios importantes en la vida de Euler en San Petersburgo se produjeron  en 1733, cuando Daniel Bernoulli regresó a Basilea. Euler se convirtió entonces en profesor de matemática, pero también tuvo que hacerse cargo del Departamento de Geografía. En el mismo año, se casó con una compatriota, Katharina Gsell, hija de un artista que enseñaba en San Petersburgo. Tuvieron 13 hijos, 5 de los cuales llegaron a la madurez. Los trabajos de Euler en geografía incluyen la preparación de un mapa de Rusia, una tarea que forzó su vista y tal vez dio lugar a la fiebre que le destruyó la visión de su ojo derecho en 1738. La Figura abajo es un retrato de su lado bueno.

Leonhard Euler

En 1740 la situación política en San Petersburgo se había convertido en inestable y Euler se trasladó a Berlín, donde Federico el Grande había reorganizado la Academia de Berlín. Euler se convirtió en director de la sección de matemática y se instaló allí durante 25 años. Algunas de sus obras más famosas datan de este período, en particular la Introductio in analysin infinitorum (1748) y las Letters à une princesse d’Allemagne sur divers sujets de physique et de philosophie, uno de los clásicos de la ciencia popular.

Sin embargo, Euler no se sentía cómodo en Berlín. Había disputas sobre la dirección de la Academia y el cínico Federico tendía a mofarse de las pocas pretensiones de Euler. En 1762 Catalina la Grande llegó al trono de Rusia, y la Academia de San Petersburgo, con la que Euler había seguido manteniendo contacto, comenzó a atraerle nuevamente.

Leonhard Euler

Leonhard Euler

En 1766 regresó a San Petersburgo con su familia (como un plus más: su hijo mayor obtuvo la cátedra de física allí). Poco después de su llegada Euler sufrió una enfermedad que destruyó la mayor parte de su visión restante, y en 1771 quedó completamente ciego. En todo caso, la ceguera hizo que la mente de Euler alcanzara una concentración más que asombrosa. Siempre había tenido una extraordinaria memoria -por ejemplo, sabía la Eneida de Virgilio de memoria- y con la ayuda de dos de sus hijos y otros colaboradores el flujo de publicaciones continuó a un ritmo más acelerado que nunca. Euler dictó su Algebra de 1770 a su ayudante, la que se convirtió en el libro de texto de matemática más exitoso después de los Elementos de Euclides.

Una de las cualidades más admirables de Euler fue la voluntad de explicar cómo hacía sus descubrimientos. Los matemáticos del siglo XVIII guardaban menos secretos que sus antecesores de los siglos XVI y XVII, pero Euler era único en cuanto a revelar sus conjeturas preliminares, experimentos y pruebas parciales. Algunas de las más interesantes de estas exposiciones se presentan en el libro Mathematics and Plausible Reasoning: Induction and analogy in mathematics de Pólya (1954). El capítulo 6 del libro, por ejemplo, incluye una traducción del libro de memorias en el que Euler anunció el teorema del número pentagonal. Es imposible resumir aquí todas las aportaciones de Euler a la matemática. El mejor resumen disponible está en el artículo de Yushkévich acerca de Euler en el Dictionary of Scientific Biography.

Dada la trascendencia de este gran matemático, muchos han sido los tributos dedicados a Euler a lo largo de la historia. Su cara puede verse impresa en sellos postales y valores monetarios.

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Hasta el famoso buscador google ha homenajeado a Euler en el aniversario de su nacimiento con un doodle el 15 de abril de 2013

https://i2.wp.com/3d-car-shows.com/wp-content/uploads/2013/04/Leonhard-Euler1-640x270.jpg

Clic sobre la imagen para ver el doodle

Fuente bibliográfica:

  • John Stillwell (2010) Mathematics and Its History. Third Edition. Springer.

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