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Archive for 13 13-03:00 marzo 13-03:00 2014

Recordemos que en la Parte 1 hemos introducido la Fórmula de Euler e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta, que nos dice que e^{i\theta} representa un punto en la circunferencia unitaria con argumento o ángulo \theta. En la Parte 2 hemos interpretado esta fórmula considerando el movimiento de una partícula.

Para nuestro segundo acercamiento a la fórmula, comencemos reescribiendo la propiedad definitoria \frac{d}{dx}f(x)=f(x) descrita en el artículo anterior en términos de series de potencias. Suponiendo que f(x) puede expresarse en la forma a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots, un simple cálculo muestra que

e^{x}=f(x)=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots,

y otra inspección rápida muestra que esta serie converge para todos los valores (reales) de x.

Tomando x igual a un valor real \theta, esta suma infinita de números reales se visualiza de manera horizontal como en la Figura 1.

Figura 1

Para entender lo que e^{i\theta} significa, centremos nuestra atención ahora en la serie de potencias y hagamos x=i\theta:

e^{i\theta}=1+i\theta+\frac{(i\theta)^{2}}{2!}+\frac{(i\theta)^{3}}{3!}+\cdots.

Como se ilustra en la Figura 2, esta serie es tan significativa como la serie para e^{\theta}, pero en lugar de que todos los términos tengan la misma dirección, aquí cada término forma un ángulo recto con el anterior, produciendo un tipo de espiral.

Figura 2

La Figura 2 pone de manifiesto que la conocida convergencia de la serie para e^{\theta} garantiza que la serie en espiral para e^{i\theta} converge a un punto definido en \mathbb{C}. Sin embargo, ciertamente no está claro que va a converger al punto en la circunferencia unitaria de ángulo \theta. Para ver esto, separemos la espiral en sus partes real e imaginaria:

e^{i\theta}=C(\theta)+iS(\theta),

donde

C(\theta)=1-\frac{\theta^{2}}{2!}+\frac{\theta^{4}}{4!}-\cdots

S(\theta)=\theta-\frac{\theta^{3}}{3!}+\frac{\theta^{5}}{5!}-\cdots

En este punto, podríamos obtener la fórmula de Euler apelando al Teorema de Taylor, lo que demuestra que C(\theta) y S(\theta) son las series de potencias para \cos\theta y \sin\theta, respectivamente. Sin embargo, también podemos obtener el resultado mediante el siguiente argumento elemental que no requiere del teorema de Taylor.

Queremos demostrar dos cosas acerca de e^{i\theta}=C(\theta)+iS(\theta): (i) que tiene módulo unitario, y (ii) que tiene ángulo \theta. Para ello, en primer lugar notemos que la diferenciación de las series de potencias C y S nos da

C'=-S; S'=C,

donde el prima denota la diferenciación respecto de \theta.

Para establecer (i) observemos que, de lo anterior,

\frac{d}{d\theta}\left|e^{i\theta}\right|^{2}=(C^{2}+S^{2})'=2(C C'+S S')=0

lo que significa que el módulo de e^{i\theta} es independiente de \theta. Como e^{i0}=1, se deduce que \left|e^{i\theta}\right|=1 para todo \theta.

Para establecer (ii) hay que demostrar que \Theta(\theta)=\theta, donde \Theta(\theta) denota el ángulo de e^{i\theta}, de modo que

\tan\Theta(\theta)=\frac{S(\theta)}{C(\theta)}.

Como ya sabemos que C^{2}+S^{2}=1, vemos que la derivada del lado izquierdo de la ecuación anterior es

\left[\tan\Theta(\theta)\right]'=(1+\tan^{2}\Theta)\Theta'=\left(1+\frac{S^{2}}{C^{2}}\right)\Theta'=\frac{\Theta'}{C^{2}}

mientras que la derivada del lado derecho es

\left[\frac{S}{C}\right]'=\frac{S'C-C'S}{C^{2}}=\frac{1}{C^{2}}

Así,

\frac{d\Theta}{d\theta}=\Theta'=1

lo que implica que \Theta(\theta)=\theta+constante. Tomando el ángulo de e^{i\theta} como 0 [¿habría alguna diferencia geométrica si lo tomamos como 2\pi?], encontramos que \Theta(\theta)=\theta.

Aunque no hace al objetivo planteado aquí, quizás resulte interesante notar que podemos concluir (sin el Teorema de Taylor) que C(\theta) y S(\theta) son la serie de potencias de \cos\theta y \sin\theta, respectivamente.


Fuente bibliográfica:

  • Tristan Needham (1997) Visual Complex Analysis. Oxford University Press

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