13 | marzo | 2014 | Blog de Matemática y TIC's

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La fórmula de Euler – Parte 3

Posted in Análisis de Variable Compleja, Producción propia, tagged Fórmula de Euler, Función coseno, Función seno, Series de potencias on 13 marzo 2014| Leave a Comment »

Recordemos que en la Parte 1 hemos introducido la Fórmula de Euler $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ , que nos dice que $e^{i\theta}$ representa un punto en la circunferencia unitaria con argumento o ángulo $\theta$ . En la Parte 2 hemos interpretado esta fórmula considerando el movimiento de una partícula.

Para nuestro segundo acercamiento a la fórmula, comencemos reescribiendo la propiedad definitoria $\frac{d}{dx}f(x)=f(x)$ descrita en el artículo anterior en términos de series de potencias. Suponiendo que $f(x)$ puede expresarse en la forma $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots$ , un simple cálculo muestra que

$e^{x}=f(x)=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots,$

y otra inspección rápida muestra que esta serie converge para todos los valores (reales) de $x$ .

Tomando $x$ igual a un valor real $\theta$ , esta suma infinita de números reales se visualiza de manera horizontal como en la Figura 1.

Figura 1

Para entender lo que $e^{i\theta}$ significa, centremos nuestra atención ahora en la serie de potencias y hagamos $x=i\theta$ :

$e^{i\theta}=1+i\theta+\frac{(i\theta)^{2}}{2!}+\frac{(i\theta)^{3}}{3!}+\cdots.$

Como se ilustra en la Figura 2, esta serie es tan significativa como la serie para $e^{\theta}$ , pero en lugar de que todos los términos tengan la misma dirección, aquí cada término forma un ángulo recto con el anterior, produciendo un tipo de espiral.

Figura 2

La Figura 2 pone de manifiesto que la conocida convergencia de la serie para $e^{\theta}$ garantiza que la serie en espiral para $e^{i\theta}$ converge a un punto definido en $\mathbb{C}$ . Sin embargo, ciertamente no está claro que va a converger al punto en la circunferencia unitaria de ángulo $\theta$ . Para ver esto, separemos la espiral en sus partes real e imaginaria:

$e^{i\theta}=C(\theta)+iS(\theta),$

donde

$C(\theta)=1-\frac{\theta^{2}}{2!}+\frac{\theta^{4}}{4!}-\cdots$

$S(\theta)=\theta-\frac{\theta^{3}}{3!}+\frac{\theta^{5}}{5!}-\cdots$

En este punto, podríamos obtener la fórmula de Euler apelando al Teorema de Taylor, lo que demuestra que $C(\theta)$ y $S(\theta)$ son las series de potencias para $\cos\theta$ y $\sin\theta$ , respectivamente. Sin embargo, también podemos obtener el resultado mediante el siguiente argumento elemental que no requiere del teorema de Taylor.

Queremos demostrar dos cosas acerca de $e^{i\theta}=C(\theta)+iS(\theta)$ : (i) que tiene módulo unitario, y (ii) que tiene ángulo $\theta$ . Para ello, en primer lugar notemos que la diferenciación de las series de potencias $C$ y $S$ nos da

$C'=-S; S'=C,$

donde el prima denota la diferenciación respecto de $\theta$ .

Para establecer (i) observemos que, de lo anterior,

$\frac{d}{d\theta}\left|e^{i\theta}\right|^{2}=(C^{2}+S^{2})'=2(C C'+S S')=0$

lo que significa que el módulo de $e^{i\theta}$ es independiente de $\theta$ . Como $e^{i0}=1$ , se deduce que $\left|e^{i\theta}\right|=1$ para todo $\theta$ .

Para establecer (ii) hay que demostrar que $\Theta(\theta)=\theta$ , donde $\Theta(\theta)$ denota el ángulo de $e^{i\theta}$ , de modo que

$\tan\Theta(\theta)=\frac{S(\theta)}{C(\theta)}.$

Como ya sabemos que $C^{2}+S^{2}=1$ , vemos que la derivada del lado izquierdo de la ecuación anterior es

$\left[\tan\Theta(\theta)\right]'=(1+\tan^{2}\Theta)\Theta'=\left(1+\frac{S^{2}}{C^{2}}\right)\Theta'=\frac{\Theta'}{C^{2}}$

mientras que la derivada del lado derecho es

$\left[\frac{S}{C}\right]'=\frac{S'C-C'S}{C^{2}}=\frac{1}{C^{2}}$

Así,

$\frac{d\Theta}{d\theta}=\Theta'=1$

lo que implica que $\Theta(\theta)=\theta+constante$ . Tomando el ángulo de $e^{i\theta}$ como $0$ [¿habría alguna diferencia geométrica si lo tomamos como $2\pi$ ?], encontramos que $\Theta(\theta)=\theta$ .

Aunque no hace al objetivo planteado aquí, quizás resulte interesante notar que podemos concluir (sin el Teorema de Taylor) que $C(\theta)$ y $S(\theta)$ son la serie de potencias de $\cos\theta$ y $\sin\theta$ , respectivamente.

Fuente bibliográfica: