18 | marzo | 2014 | Blog de Matemática y TIC's

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Trigonometría y números complejos: aliados perfectos

Posted in Análisis de Variable Compleja, tagged Fórmula de Euler, Función coseno, Función exponencial compleja, Función seno, Multiplicación, Números complejos, Trigonometría on 18 marzo 2014| 1 Comment »

Trabajar en el mundo del análisis complejo puede no ser tan complejo como parece. Por el contrario, en muchas ocasiones simplifica mucho las cosas. Veremos aquí un ejemplo de ello.

Todas las identidades trigonométricas pueden ser vistas como resultado de la regla para la multiplicación compleja. En lo que sigue vamos a hacer uso de las siguientes abreviaturas para simplificar la notación: $C\equiv\cos\theta$ , $S\equiv\sin\theta$ , $c\equiv\cos\phi$ y $s\equiv\sin\phi$ .

Para encontrar una identidad para $\cos(\theta+\phi)$ , lo conveniente es verlo como una componente de $e^{i(\theta+\phi)}$ .

Figura 1

Como

obtenemos no sólo una identidad para $\cos(\theta+\phi)$ , sino que también es posible deducir una para $\sin(\theta+\phi)$ :

$\cos(\theta+\phi)=\cos\theta\cos\phi-\sin\theta\sin\phi$

$\sin(\theta+\phi)=\sin\theta\cos\phi+\cos\theta\sin\phi$

Esto ilustra otra característica del gran alcance de la utilización de los números complejos: toda ecuación compleja dice dos cosas a la vez.

Para encontrar al mismo tiempo las identidades para $\cos 3\theta$ y $\sin 3\theta$ , consideremos $e^{3i\theta}$ :

$\cos 3\theta+i\sin 3\theta=e^{3i\theta}=(e^{i\theta})^{3}=(C+iS)^{3}=(C^{3}-3CS^{2})+i(3C^{2}S-S^{3}).$

Como $C^{2}+S^{2}=1$ , podemos reescribir la identidad, e igualando las partes reales e imaginarias, obtener las formas familiares:

$\cos 3\theta=4\cos^{3}\theta-3\cos\theta$

$\sin 3\theta=-4\sin^{3}\theta+3\sin\theta$

De esta manera vemos cómo expresar funciones trigonométricas de múltiplos de $\theta$ en términos de potencias de funciones trigonométricas de $\theta$ , pero también podemos ir en la dirección opuesta. Por ejemplo, supongamos que deseamos contar con una identidad para $\cos^{4}\theta$ en términos de funciones trigonométricas de múltiplos de $\theta$ . Dado que $2\cos\theta=e^{i\theta}+e^{-i\theta}$ como vimos en «Seno y Coseno a partir de la Fórmula de Euler«,

Por lo tanto,

$\cos^{4}\theta=\frac{1}{8}\left(\cos 4\theta+4\cos 2\theta+3\right).$

Aunque la fórmula de Euler es muy conveniente para hacer estos cálculos, no es esencial: en realidad todo lo que estamos utilizando es la equivalencia de las formas geométricas y simbólicas de la multiplicación compleja, que vimos en «Aritmética simbólica versus aritmética geométrica«. Para subrayar este punto vamos a hacer un ejemplo sin emplear la fórmula de Euler.

Supongamos que deseamos encontrar una identidad para $\tan 3\theta$ en términos de $T=\tan \theta$ . Consideremos entonces $z=1+iT$ .

Figura 2

Dado que $\theta$ es el ángulo o argumento de $z$ , el argumento de $z^{3}$ será $3\theta$ , y así $\tan 3\theta=\mbox{Im}(z^{3})/\mbox{Re}(z^{3})$ . Como