24 | marzo | 2014 | Blog de Matemática y TIC's

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Geometría asistida por complejos

Posted in Análisis de Variable Compleja, Producción propia, tagged Funciones complejas, Geometría, Números complejos, Rotaciones, Traslaciones on 24 marzo 2014| Leave a Comment »

Tener habilidad en el trabajo con números complejos se constituye en una ventaja al momento de demostrar muchas propiedades geométricas. Veamos algunos ejemplos concretos a continuación.

En la Figura 1 hemos construido cuadrados en los lados de un cuadrilátero arbitrario. Veamos lo que sugiere esta imagen: los segmentos lineales que unen los centros de cuadrados opuestos son perpendiculares y de igual longitud. Se requeriría una gran cantidad de ingenio para encontrar una demostración puramente geométrica de este resultado sorprendente, así que en vez de confiar en nuestra propia inteligencia, invoquemos la inteligencia de los números complejos!

Figura 1 – Clic sobre la imagen para escenario de exploración

Introduciendo un factor $2$ por conveniencia, sean $2a$ , $2b$ , $2c$ , y $2d$ números complejos que se desplazan a lo largo de los lados del cuadrilátero. La única condición es que el cuadrilátero sea cerrado, es decir, que

$a+b+c+d=0.$

Como se ilustra, elegimos el origen de $\mathbb{C}$ como el vértice donde comienza $2a$ . Para llegar al centro $p$ del cuadrado construido en ese lado, vamos a lo largo de $a$ , y luego nos desplazamos una distancia igual en ángulo recto a $a$ . Por lo tanto, como $ia$ rota a $a$ respecto de un ángulo recto, $p=a+ia=(1+i)a$ . Del mismo modo,

$q=2a+(1+i)b,\quad r=2a+2b+(1+i)c,\quad s=2a+2b+2c+(1+i)d.$

Los números complejos $A=s-q$ (de $q$ a $s$ ) y $B=r-p$ (de $p$ a $r$ ) están por lo tanto dados por

$A = (b + 2c + d) + i(d-b)$

$B = (a + 2b + c) +i(c-a).$

Queremos demostrar que $A$ y $B$ son perpendiculares y de igual longitud. Estas dos afirmaciones se pueden combinar en el único enunciado complejo $B = iA$ , que dice que $B$ es $A$ rotado por $(\pi/2)$ . Para finalizar la demostración, tengamos en cuenta que esto es lo mismo que decir que $A + iB = 0$ , cuya verificación se trata de un simple cálculo rutinario:

$A + iB = (a + b + c + d) + i (a + b + c + d) = 0.$

Como un primer paso hacia una explicación puramente geométrica del resultado de la Figura 1, consideremos la Figura 2.

Figura 2 – Clic sobre la imagen para abrir el escenario de exploración

Aquí los cuadrados se han construido en dos lados de un triángulo arbitrario y, como sugiere la imagen, los segmentos lineales de sus centros al punto medio $m$ del lado restante son perpendiculares y de igual longitud. La Figura 1 puede ser rápidamente deducida de la Figura 2 (lo que se basa en el artículo de Finney de título Dynamic Proofs of Euclidean Theorems [1970]). Este último resultado puede, por supuesto, ser demostrado de la misma manera que arriba, pero en su lugar consideraremos un argumento puramente geométrico.

Para ello tomaremos un desvío interesante, investigando las traslaciones y las rotaciones del plano en términos de funciones complejas. En realidad, este «desvío» es mucho más importante que el rompecabezas geométrico al que aplicaremos los resultados.

Sea $T_{v}$ una traslación del plano por $v$ , de modo que un punto cualquiera $z$ se mapea en $T_{v}(z)=z+v$ . La Figura 3 muestra el efecto de la traslación en un triángulo.

Figura 3 – Clic sobre la imagen para ir al escenario de exploración

La inversa de $T_{v}$ , escrita como $T_{v}^{-1}$ , es la transformación que deshace el movimiento anterior; más formalmente, $T_{v}^{-1}$ se define por $T_{v}^{-1}\circ T_{v}=I=T_{v}\circ T_{v}^{-1}$ , donde $I$ es la transformación «que no hace nada» (llamada identidad), es decir, que mapea cada punto en sí mismo: $I(z)=z$ . Claramente, $T_{v}^{-1}=T_{-v}$ .

Si aplicamos $T_{v}$ seguida por otra traslación $T_{w}$ , entonces el mapeo compuesto $T_{w}\circ T_{v}$ del plano es otra traslación:

$T_{w}\circ T_{v}(z)=T_{w}(z+v)=(z+v)+w=z+(w+v)=T_{w+v}(z).$

Figura 4 – Clic sobre la imagen para abrir el escenario de exploración

Sea $R_{a}^{\theta}$ una rotación del plano respecto de un ángulo $\theta$ alrededor del punto $a$ . Por ejemplo, $R_{a}^{\phi}\circ R_{a}^{\theta}=R_{a}^{\theta+\phi}$ , y $\left(R_{a}^{\theta}\right)^{-1}=R_{a}^{-\theta}$ . Como un primer paso hacia expresar rotaciones como funciones complejas, notemos que la interpretación geométrica de la multiplicación de números complejos:

«la multiplicación por un número complejo $A=R\angle\phi$ es una rotación del plano a través de un ángulo $\phi$ , y una expansión del plano por el factor $R$ «

dice que una rotación alrededor del origen puede ser escrita como $R_{0}^{\theta}=e^{i\theta}z$ .

Como se muestra en la Figura 5, la rotación general $R_{a}^{\theta}$ puede llevarse a cabo mediante la traslación de $a$ hasta $0$ , seguida de una rotación de ángulo $\theta$ alrededor de $0$ , y a continuación la traslación de $0$ de nuevo a $a$ :

$R_{a}^{\theta}=\left(T_{a}\circ R_{0}^{\theta}\circ T_{a}^{-1}\right)(z)=e^{i\theta}(z-a)+a=e^{i\theta}z+k,$

donde $k=a(1-e^{i\theta})$ .

Figura 5 – Clic sobre la imagen para seguir el paso a paso

Por lo tanto nos encontramos con que una rotación alrededor de cualquier punto se puede expresar también como una rotación alrededor del origen seguida de una traslación: $R_{a}^{\theta}=(T_{k}\circ R_{0}^{\theta})$ . Recíprocamente, una rotación de ángulo $\alpha$ alrededor del origen seguida de una traslación por $v$ siempre se puede reducir a una sola rotación:

$T_{v}\circ R_{0}^{\alpha}=R_{c}^{\alpha},$

donde

$c=v/(1-e^{i\alpha}).$

De la misma manera, se puede comprobar fácilmente que si realizamos la traslación antes que la rotación, la transformación neta puede volver a llevarse a cabo mediante una sola rotación: $R_{0}^{\theta}\circ T_{v}=R_{p}^{\theta}$ . ¿Quién es $p$ ?

Los resultados obtenidos no son por cierto geométricamente evidentes [intente demostrarlos], y sirven para ilustrar el poder de pensar las traslaciones y las rotaciones como funciones complejas. Como un ejemplo adicional, consideremos el efecto neto de efectuar dos rotaciones alrededor de diferentes puntos. Representando las rotaciones como funciones complejas, un cálculo fácil nos dice que

$\left(R_{b}^{\phi}\circ R_{a}^{\theta}\right)(z)=e^{i(\phi+\theta)}z+v,$

donde

$v=a e^{i\phi}(1-e^{i\theta})+b(1-e^{i\phi}).$

A menos que $(\theta+\phi)$ sea un múltiplo de $2\pi$ , el párrafo anterior nos dice entonces que

$R_{b}^{\phi}\circ R_{a}^{\theta}=R_{c}^{(\theta+\phi)}$

donde

$c=\frac{v}{1-e^{i(\theta+\phi)}}=\frac{a e^{i\phi}(1-e^{i\theta})+b(1-e^{i\phi})}{1-e^{i(\theta+\phi)}}.$

[¿Cuánto debe valer $c$ si $b = a$ o si $\phi=0$ ? Compruebe la fórmula.] Este resultado se ilustra en la Figura 6.

Figura 6

Si, por otro lado, $(\theta+\phi)$ es un múltiplo de $2\pi$ , entonces $e^{i(\theta+\phi)}=1$ , y

$R_{b}^{\phi}\circ R_{a}^{\theta}=T_{v},$

donde

$v=(1-e^{i\phi})(b-a).$

Por ejemplo, tomando $\theta=\phi=\pi$ , esto predice que $R_{b}^{\pi}\circ R_{a}^{\pi}=T_{2(b-a)}$ es una traslación por el doble del número complejo que conecta el primer centro de rotación con el segundo. Que esto es cierto se puede deducir directamente de la Figura 7.

Figura 7

El resultado anterior de la composición de dos rotaciones implica lo siguiente:

Sea $M=R_{a_{n}}^{\theta_{n}}\circ\cdots\circ R_{a_{2}}^{\theta_{2}}\circ R_{a_{1}}^{\theta_{1}}$ la composición de $n$ rotaciones, y sea $\Theta=\theta_{1}+\theta_{2}+\cdots+\theta_{n}$ la cantidad total de la rotación. En general, $M=R_{c}^{\Theta}$ (para algún $c$ ), pero si $\Theta$ es un múltiplo de $2\pi$ entonces $M = Tv$ , para algún $v$ .

Retornando a nuestro problema original, ahora podemos dar una elegante explicación geométrica del resultado en la Figura 2. Refiriéndonos a la Figura 6, sea $M=R_{m}^{\pi}\circ R_{p}^{(\pi/2)}\circ R_{s}^{(\pi/2)}$ . Según el resultado ya obtenido, $M$ es una traslación. Para averiguar qué traslación, sólo necesitamos descubrir el efecto de $M$ en un solo punto. Claramente, $M (k) = k$ , así que $M$ es la traslación nula, es decir, la transformación identidad $I$ . Así

$R_{p}^{(\pi/2)}\circ R_{s}^{(\pi/2)}=\left(R_{m}^{\pi}\right)^{-1}\circ M=R_{m}^{\pi}.$

Figura 8

Si definimos $s'=R_{m}^{\pi}(s)$ entonces $m$ es el punto medio de $ss'$ . Pero, por otra parte,

$s'=\left(R_{p}^{(\pi/2)}\circ R_{s}^{(\pi/2)}\right)(s)=R_{p}^{(\pi/2)}(s).$

Por lo tanto, el triángulo $sps'$ es isósceles y tiene un ángulo recto en $p$ , por lo que $sm$ y $pm$ son perpendiculares y de igual longitud. Así hemos logrado demostrar la conclusión extraída de la Figura 2.