Calculando derivadas de orden 100 con teoría compleja

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Calculando derivadas de orden 100 con teoría compleja

31 marzo 2014 por Ana María Teresa Lucca

En entradas anteriores de este blog exploramos algunos ejemplos que muestran la importancia del análisis complejo en la geometría y en la trigonometría. Hoy haremos lo propio en el área del cálculo. Más precisamente veremos cómo resolver el problema de encontrar la derivada de orden 100 de $e^{x}\sin x$ a través de la teoría de las funciones complejas. En términos más generales, vamos a mostrar cómo los números complejos pueden usarse para encontrar la derivada $n$ -ésima de $e^{ax}\sin bx$ .

En «La fórmula de Euler – Parte 2» vimos que $e^{it}$ puede ser pensado como la ubicación en el tiempo $t$ de una partícula que viaja alrededor del círculo unitario con velocidad unitaria. De la misma manera, $e^{ibt}$ puede ser pensado como un número complejo unitario girando alrededor del origen con velocidad (angular) $b$ . Si estiramos este número complejo unitario por $e^{at}$ , entonces su punta describe el movimiento de una partícula que está alejándose en espiral del origen.

Figura 1

La relevancia de este hecho para resolver el problema inicialmente planteado es que la ubicación de la partícula en el tiempo $t$ es

$Z(t)=e^{at}e^{ibt}=e^{at}\cos bt+i e^{at}\sin bt.$

Por lo tanto la derivada de $e^{at}\sin bt$ es simplemente la componente vertical (imaginaria) de la velocidad $V$ de $Z$ .

Podríamos encontrar $V$ simplemente diferenciando las componentes de $Z$ en la expresión anterior, pero vamos a utilizar en su lugar este ejemplo para introducir un enfoque geométrico. En la Figura 2 consideramos el movimiento $M=Z(t+\delta)-Z(t)$ de la partícula entre el tiempo $t$ y $(t+\delta)$ .

Figura 2

Recordemos que $V$ se define como el límite de $(M/\delta)$ cuando $\delta$ tiende a cero. Por lo tanto $V$ y $(M/\delta)$ son casi iguales si $\delta$ es muy pequeño. Esto sugiere dos formas intuitivas de hablar: (i) diremos que « $V=(M/\delta)$ cuando $\delta$ es infinitesimal» o (ii) que « $V$ y $(M/\delta)$ son finalmente iguales» (cuando $\delta$ tiende a cero).

Más precisamente, si dos cantidades $X$ e $Y$ dependen de una tercera cantidad $\delta$ , entonces

Se sigue de los teoremas básicos sobre límites que «finalmente iguales» hereda muchas de las propiedades de la igualdad ordinaria. Por ejemplo, si $V$ y $(M/\delta)$ son finalmente iguales, también lo son $V\delta$ y $M$ .

Ahora volvamos al problema de encontrar la velocidad de la partícula moviéndose en espiral. Como se ilustra en la Figura 2, dibujamos rayos de $0$ a $Z(t)$ y $Z(t+\delta)$ , junto con arcos circulares (centrados en $0$ ) a través de esos puntos. Sean $A$ y $B$ los números complejos que conectan $Z(t)$ con los puntos de intersección de estos rayos y arcos. Si $\delta$ es infinitesimal, entonces $B$ está en ángulo recto con $A$ y $Z$ , y $M = A + B$ .

Vamos a encontrar las longitudes finales de $A$ y $B$ . Durante el intervalo de tiempo $\delta$ , el ángulo de $Z$ aumenta por $b\delta$ , por lo que los dos rayos cortan un arco de longitud $b\delta$ en el círculo unitario, y un arco de longitud $\left|Z\right|b\delta$ en el círculo a través de $Z$ . Así $\left|B\right|$ es finalmente igual a $\left|Z\right|b\delta$ . A continuación, notemos que $\left|A\right|$ es el aumento en $\left|Z(t)\right|$ que aparece en el intervalo de tiempo $\delta$ . Por lo tanto, como

$\frac{d}{dt}\left|Z(t)\right|=\frac{d}{dt}e^{at}=a\left|Z\right|,$

$\left|A\right|$ es finalmente igual a $\left|Z\right|a\delta.$

Por tanto, el triángulo sombreado en $Z$ es finalmente similar al triángulo rectángulo sombreado con hipotenusa $a + ib$ . Al girar el último triángulo por el ángulo de $Z$ , ahora debería ser capaz de ver que si $\delta$ es infinitesimal entonces

Por lo tanto todos los rayos desde el origen cortan a la espiral en el mismo ángulo [el ángulo de $(a + ib)$ ], y la velocidad de la partícula es proporcional a su distancia desde el origen.

Usando el resultado obtenido, ahora es fácil tomar otras derivadas. Por ejemplo, la aceleración de la partícula es

$\frac{d^{2}}{dt^{2}}Z=\frac{d}{dt}V=(a+ib)^{2}Z=(a+ib)V.$

Continuando de esta manera, cada nueva derivada se obtiene multiplicando la anterior por $(a + ib)$ . Escribiendo $(a + ib)=R e^{i\phi}$ , donde $R=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ y $\phi$ es el valor apropiado de $\tan^{-1}(b/a)$ , encontramos que