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Archive for marzo 2014

Trabajar en el mundo del análisis complejo puede no ser tan complejo como parece. Por el contrario, en muchas ocasiones simplifica mucho las cosas. Veremos aquí un ejemplo de ello.

Todas las identidades trigonométricas pueden ser vistas como resultado de la regla para la multiplicación compleja. En lo que sigue vamos a hacer uso de las siguientes abreviaturas para simplificar la notación: C\equiv\cos\theta, S\equiv\sin\theta, c\equiv\cos\phi y s\equiv\sin\phi.

Para encontrar una identidad para \cos(\theta+\phi), lo conveniente es verlo como una componente de e^{i(\theta+\phi)}.

Figura 1

Como

obtenemos no sólo una identidad para \cos(\theta+\phi), sino que también es posible deducir una para \sin(\theta+\phi):

\cos(\theta+\phi)=\cos\theta\cos\phi-\sin\theta\sin\phi

\sin(\theta+\phi)=\sin\theta\cos\phi+\cos\theta\sin\phi

Esto ilustra otra característica del gran alcance de la utilización de los números complejos: toda ecuación compleja dice dos cosas a la vez.

Para encontrar al mismo tiempo las identidades para \cos 3\theta y \sin 3\theta, consideremos e^{3i\theta}:

\cos 3\theta+i\sin 3\theta=e^{3i\theta}=(e^{i\theta})^{3}=(C+iS)^{3}=(C^{3}-3CS^{2})+i(3C^{2}S-S^{3}).

Como C^{2}+S^{2}=1, podemos reescribir la identidad, e igualando las partes reales e imaginarias, obtener las formas familiares:

\cos 3\theta=4\cos^{3}\theta-3\cos\theta

\sin 3\theta=-4\sin^{3}\theta+3\sin\theta

De esta manera vemos cómo expresar funciones trigonométricas de múltiplos de \theta en términos de potencias de funciones trigonométricas de \theta, pero también podemos ir en la dirección opuesta. Por ejemplo, supongamos que deseamos contar con una identidad para \cos^{4}\theta en términos de funciones trigonométricas de múltiplos de \theta. Dado que 2\cos\theta=e^{i\theta}+e^{-i\theta} como vimos en «Seno y Coseno a partir de la Fórmula de Euler«,

Por lo tanto,

\cos^{4}\theta=\frac{1}{8}\left(\cos 4\theta+4\cos 2\theta+3\right).

Aunque la fórmula de Euler es muy conveniente para hacer estos cálculos, no es esencial: en realidad todo lo que estamos utilizando es la equivalencia de las formas geométricas y simbólicas de la multiplicación compleja, que vimos en «Aritmética simbólica versus aritmética geométrica«. Para subrayar este punto vamos a hacer un ejemplo sin emplear la fórmula de Euler.

Supongamos que deseamos encontrar una identidad para \tan 3\theta en términos de T=\tan \theta. Consideremos entonces z=1+iT.

Figura 2

Dado que \theta es el ángulo o argumento de z, el argumento de z^{3} será 3\theta, y así \tan 3\theta=\mbox{Im}(z^{3})/\mbox{Re}(z^{3}). Como

z^{3}=(1+iT)^{3}=(1-3T^{2})+i(3T-T^{3})

resulta que

\tan 3\theta=\frac{3T-T^{3}}{1-3T^{2}}

o bien

\tan 3\theta=\frac{3\tan\theta-\tan^{3}\theta}{1-3\tan^{2}\theta}.

Queda así ejemplificado cómo trabajar en el conjunto de los números complejos para simplificar la trigonometría en el campo real.


Fuente bibliográfica:

  • Tristan Needham (1997) Visual Complex Analysis. Oxford University Press

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A lo largo de las últimas tres entradas hemos estado recorriendo puntos de vista vinculados a la Fórmula de Euler. Sin embargo, aún nos queda un detalle no menor relacionado a ella.

Una consecuencia simple pero importante de la fórmula de Euler es que las funciones seno y coseno pueden ser construidas a partir de la función exponencial. Más precisamente, una mirada a conciencia de la Figura 1 nos revela que

e^{i\theta}+e^{-i\theta}=2\cos\theta

Figura 1

mientras que de la Figura 2 deducimos que

e^{i\theta}-e^{-i\theta}=2i\sin\theta

Figura 2

Así, obtenemos las tan conocidas fórmulas del campo complejo:

\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}

\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}

La perspectiva de ver gráficamente estos hechos nos permite ahorrarnos el sencillo pero un tanto tedioso hecho de deducirlas trabajando unos minutos algebraicamente…


Fuente bibliográfica:

  • Tristan Needham (1997) Visual Complex Analysis. Oxford University Press

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Recordemos que en la Parte 1 hemos introducido la Fórmula de Euler e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta, que nos dice que e^{i\theta} representa un punto en la circunferencia unitaria con argumento o ángulo \theta. En la Parte 2 hemos interpretado esta fórmula considerando el movimiento de una partícula.

Para nuestro segundo acercamiento a la fórmula, comencemos reescribiendo la propiedad definitoria \frac{d}{dx}f(x)=f(x) descrita en el artículo anterior en términos de series de potencias. Suponiendo que f(x) puede expresarse en la forma a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots, un simple cálculo muestra que

e^{x}=f(x)=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots,

y otra inspección rápida muestra que esta serie converge para todos los valores (reales) de x.

Tomando x igual a un valor real \theta, esta suma infinita de números reales se visualiza de manera horizontal como en la Figura 1.

Figura 1

Para entender lo que e^{i\theta} significa, centremos nuestra atención ahora en la serie de potencias y hagamos x=i\theta:

e^{i\theta}=1+i\theta+\frac{(i\theta)^{2}}{2!}+\frac{(i\theta)^{3}}{3!}+\cdots.

Como se ilustra en la Figura 2, esta serie es tan significativa como la serie para e^{\theta}, pero en lugar de que todos los términos tengan la misma dirección, aquí cada término forma un ángulo recto con el anterior, produciendo un tipo de espiral.

Figura 2

La Figura 2 pone de manifiesto que la conocida convergencia de la serie para e^{\theta} garantiza que la serie en espiral para e^{i\theta} converge a un punto definido en \mathbb{C}. Sin embargo, ciertamente no está claro que va a converger al punto en la circunferencia unitaria de ángulo \theta. Para ver esto, separemos la espiral en sus partes real e imaginaria:

e^{i\theta}=C(\theta)+iS(\theta),

donde

C(\theta)=1-\frac{\theta^{2}}{2!}+\frac{\theta^{4}}{4!}-\cdots

S(\theta)=\theta-\frac{\theta^{3}}{3!}+\frac{\theta^{5}}{5!}-\cdots

En este punto, podríamos obtener la fórmula de Euler apelando al Teorema de Taylor, lo que demuestra que C(\theta) y S(\theta) son las series de potencias para \cos\theta y \sin\theta, respectivamente. Sin embargo, también podemos obtener el resultado mediante el siguiente argumento elemental que no requiere del teorema de Taylor.

Queremos demostrar dos cosas acerca de e^{i\theta}=C(\theta)+iS(\theta): (i) que tiene módulo unitario, y (ii) que tiene ángulo \theta. Para ello, en primer lugar notemos que la diferenciación de las series de potencias C y S nos da

C'=-S; S'=C,

donde el prima denota la diferenciación respecto de \theta.

Para establecer (i) observemos que, de lo anterior,

\frac{d}{d\theta}\left|e^{i\theta}\right|^{2}=(C^{2}+S^{2})'=2(C C'+S S')=0

lo que significa que el módulo de e^{i\theta} es independiente de \theta. Como e^{i0}=1, se deduce que \left|e^{i\theta}\right|=1 para todo \theta.

Para establecer (ii) hay que demostrar que \Theta(\theta)=\theta, donde \Theta(\theta) denota el ángulo de e^{i\theta}, de modo que

\tan\Theta(\theta)=\frac{S(\theta)}{C(\theta)}.

Como ya sabemos que C^{2}+S^{2}=1, vemos que la derivada del lado izquierdo de la ecuación anterior es

\left[\tan\Theta(\theta)\right]'=(1+\tan^{2}\Theta)\Theta'=\left(1+\frac{S^{2}}{C^{2}}\right)\Theta'=\frac{\Theta'}{C^{2}}

mientras que la derivada del lado derecho es

\left[\frac{S}{C}\right]'=\frac{S'C-C'S}{C^{2}}=\frac{1}{C^{2}}

Así,

\frac{d\Theta}{d\theta}=\Theta'=1

lo que implica que \Theta(\theta)=\theta+constante. Tomando el ángulo de e^{i\theta} como 0 [¿habría alguna diferencia geométrica si lo tomamos como 2\pi?], encontramos que \Theta(\theta)=\theta.

Aunque no hace al objetivo planteado aquí, quizás resulte interesante notar que podemos concluir (sin el Teorema de Taylor) que C(\theta) y S(\theta) son la serie de potencias de \cos\theta y \sin\theta, respectivamente.


Fuente bibliográfica:

  • Tristan Needham (1997) Visual Complex Analysis. Oxford University Press

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