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Archive for 22 abril 2014

En la entrada anterior, La geometría desde el punto de vista de Klein, hemos explorado inicialmente la geometría euclidiana. Para entender sus fundamentos parece que debemos estudiar su grupo de movimientos. Por el momento, este grupo se define más bien de manera abstracta como el conjunto de mapeos del plano en sí mismo que preserva distancias. Sin embargo, es bastante fácil pensar en ejemplos concretos de movimientos: una rotación del plano alrededor de un punto arbitrario, una traslación del plano, o una reflexión del plano respecto de alguna recta. Nuestro objetivo es entender los movimientos más generales posibles en términos igualmente vívidos.

Comenzamos declarando un hecho clave:

Un movimiento se determina de forma única por su efecto sobre cualquier triángulo (es decir, sobre cualesquiera  tres puntos no colineales).

Con esto queremos decir que el conocimiento de lo que ocurre con los tres puntos nos dice lo que debe sucederle a cada punto en el plano. Para ver esto, primero consideremos la Figura 1, que muestra que cada punto P se determina de forma única a través de sus distancias a los vértices A, B, C de un triángulo (*). Las distancias a A y B producen dos círculos que (en general) se cruzan en dos puntos, P y Q. La tercera distancia (a C) permite entonces escoger a P.

Figura 1

Figura 1

Para obtener el resultado señalado arriba, miremos ahora la Figura 2. Allí se ilustra un movimiento \mathcal{M} que mapea a A, B, C en A', B', C'. Por la propia definición de movimiento, \mathcal{M} debe mapear un punto arbitrario P en un punto P' cuyas distancias a A', B', C' son iguales a las distancias originales de P a A, B, C. Por lo tanto, como se muestra, P' está determinado de forma única. Listo!!!

Figura 2

Figura 2

Un gran paso hacia una clasificación es la constatación de que hay fundamentalmente dos diferentes tipos de movimientos. En términos de nuestra concepción anterior de movimiento en el espacio, la distinción es si debe o no darse vuelta una figura antes de que pueda ser colocada en la parte superior de una figura congruente. Para ver cómo se plantea esta dicotomía en términos de la nueva definición de movimiento como mapeo dada en la entrada anterior, supongamos que un movimiento envía dos puntos A y B sobre A' y B'. Ver la Figura 3. Según lo que enunciamos al comienzo, el movimiento no se ha determinado aún: necesitamos conocer la imagen de un tercer punto cualquiera C (no alineado), como se muestra en la Figura 3. Dado que los movimientos preservan las distancias de C a A y B, sólo hay dos posibilidades para la imagen de C, digamos, C' y su reflejo \widetilde{C} respecto de la recta L que pasa por A' y B'. Así, hay precisamente dos movimientos (\mathcal{M} y \widetilde{\mathcal{M}}, por ejemplo) que mapean A y B en A' y B': \mathcal{M} que aplica C en C', y \widetilde{\mathcal{M}} que aplica C en \widetilde{C}.

Figura 3

Figura 3

Se puede hacer una distinción entre \mathcal{M} y \widetilde{\mathcal{M}} al ver cómo afectan ángulos. Todos los movimientos preservan la magnitud de los ángulos, pero vemos que \mathcal{M} también preserva el sentido del ángulo \theta, mientras que \widetilde{\mathcal{M}} lo invierte. La naturaleza fundamental de esta distinción se puede ver en el hecho de que \mathcal{M} debe, de hecho, preservar todos los ángulos, mientras que \widetilde{\mathcal{M}} debe revertir todos los ángulos.

Para ver esto, consideremos el destino del ángulo \phi en el triángulo T. Si C se mapea en C' (es decir, si el movimiento es \mathcal{M}), entonces, llevando a cabo la construcción indicada en la Figura 2, la imagen de T es T' y el ángulo se conserva. Si, por el contrario, C se mapea en \widetilde{C} (es decir, si el movimiento es \widetilde{\mathcal{M}}) entonces la imagen de T es la reflexión \widetilde{T} de T' respecto de L, y el ángulo se invierte. Los movimientos que preservan los ángulos se llaman directos, y los que invierten ángulos son llamados opuestos. Así, las rotaciones y las traslaciones son directas, mientras que las reflexiones son opuestas. Resumiendo lo que hemos encontrado,

Hay exactamente un movimiento directo \mathcal{M} (y exactamente un movimiento opuesto \widetilde{\mathcal{M}}) que mapea un segmento de recta dado AB en otro segmento de recta A'B' de igual longitud. Por otra parte, \widetilde{\mathcal{M}}=(\mathcal{M} seguida de la reflexión respecto de la recta A'B').

Para entender los movimientos podemos por lo tanto  considerar dos segmentos dibujados al azar AB y A'B' de igual longitud, y luego encontrar el movimiento directo (y el movimiento opuesto) que mapea uno en el otro. Ahora es fácil demostrar que

Cada movimiento directo es una rotación, o de lo contrario (excepcionalmente) una traslación.

Tenga en cuenta que este resultado nos da un mayor conocimiento de nuestros cálculos anteriores sobre la composición de rotaciones y traslaciones: dado que la composición de dos movimientos directos es otro movimiento directo, sólo puede tratarse de una rotación o de una traslación. Por el contrario, estos cálculos nos permiten re-escribir lo anterior de una manera más ordenada (Recuerde la entrada: Trigonometría y números complejos: aliados perfectos):

Cada movimiento directo puede expresarse como una función compleja de la forma \mathcal{M}(z)=e^{i\theta}z+v.

Demostremos ahora lo que nos quedó pendiente. Si el segmento de recta A'B' es paralelo a AB entonces los vectores \vec{AB} y \vec{A'B'} son iguales u opuestos. Si son iguales, como en la Figura 4, el movimiento es una traslación.

Figura 4

Figura 4

Si son opuestos, como en la Figura 5, el movimiento es una rotación de ángulo \pi alrededor del punto de intersección de las rectas AA' y BB'.

Figura 5

Figura 5

Si los segmentos no son paralelos, se extienden (si es necesario) hasta que se encuentren en M, y sea \theta el ángulo entre las direcciones de \vec{AB} y \vec{A'B'}. Ver la Figura 6. En primer lugar recordemos una propiedad elemental de los círculos: la cuerda AA' subtiende el mismo ángulo \theta en cada punto del arco circular AMA'. A continuación, sea O el punto de intersección de este arco con el bisector perpendicular de AA'. Ahora vemos que el movimiento directo que mapea AB en A'B' es una rotación de ángulo \theta con centro en O, pues claramente A es rotado en A', y la dirección de \vec{AB} se gira en la dirección de \vec{A'B'}. Listo!!!

Figura 6

Figura 6

Las transformaciones directas serán más importantes en el contexto del Análisis de Variable Compleja. La razón del mayor énfasis en los movimientos directos se deriva del hecho de que forman un grupo (un subgrupo del grupo completo de movimientos), mientras que los movimientos opuestos no lo hacen.

(*) Así es como se ubican los terremotos. Hay dos tipos de ondas que son emitidas por el terremoto cuando comienza: “ondas P” en rápido movimiento de compresión, y “ondas S” de movimiento más lento de corte destructivo. Así, las ondas P llegarán a una estación sísmica antes que las ondas S, y el tiempo transcurrido entre estos eventos puede ser utilizado para calcular la distancia del terremoto a esa estación. Repitiendo este cálculo en otras dos estaciones sísmicas, el temblor puede ser localizado. Leer más aquí.


Fuente bibliográfica:

  • Tristan Needham (1997) Visual Complex Analysis. Oxford University Press

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Incluso con el beneficio de una enorme retrospectiva, es difícil introducir los números complejos de  manera convincente. Históricamente, hemos visto (aquí) cómo las ecuaciones cúbicas obligaron a que aparecieran en forma algebraica, y en la discusión de los trabajos de Cotes (aquí) vimos algo de lo inevitable que se vuelve su interpretación geométrica. En próximas entradas vamos a tratar de mostrar cómo los números complejos surgen de manera natural, casi sin quererlo, a partir de una cuidadosa re-examinación de la geometría plana de Euclides. Para ello debemos primero dedicar algunas palabras preliminares.

Aunque los antiguos griegos hicieron muchos hermosos y notables descubrimientos en geometría, fue dos mil años después que Felix Klein se preguntó y respondió por primera vez a la pregunta, “¿Qué es la geometría?”

Felix Klein

Felix Klein

Vamos a restringirnos desde el principio a la geometría plana. Uno podría empezar diciendo que ésta es el estudio de las propiedades geométricas de las figuras geométricas en el plano, pero (i) qué son las “propiedades geométricas”, y (ii) qué son las “figuras geométricas'”? Nos concentraremos en (i), pasando rápidamente por encima de (ii) mediante la interpretación de “figura geométrica” como cualquier cosa que podríamos elegir dibujar en un papel plano infinitamente grande con un lápiz infinitamente fino.

En cuanto a (i), comenzamos por señalar que si dos figuras (por ejemplo, dos triángulos) tienen las mismas propiedades geométricas, entonces (desde el punto de vista de la geometría) deben ser las “mismas”, “iguales”, o, como uno suele decir, congruentes. Así, si tuviéramos una clara definición de congruencia (“igualdad geométrica”) entonces podríamos revertir esta observación y definir las propiedades geométricas como aquellas propiedades que son comunes a todas las figuras congruentes. ¿Cómo, pues, podemos saber si dos figuras son geométricamente iguales?

Consideremos los triángulos en la Figura 1, e imaginemos que son piezas de papel que se pueden recoger con la mano. Para ver si T es congruente a T', podríamos tomar T y comprobar si podemos ubicarlo sobre T'. Tenga en cuenta que es esencial que se nos permita mover a T en el espacio: con el fin de alcanzar el objetivo debemos colocar T sobre \widetilde{T} dándolo vuelta primero, pues no podemos simplemente deslizar T dentro del plano. Intentando generalizar, esto sugiere que una figura F es congruente a otra figura F' si existe un movimiento de F a través del espacio que la haga coincidir con F'. Nótese que la discusión sugiere que hay fundamentalmente dos tipos diferentes de movimientos: aquellos que implican voltear una figura sobre otra, y los que no lo hacen. Más adelante, volveremos sobre este importante punto.

Figura 1

Figura 1

Está claro que es un tanto insatisfactorio que en el intento de definir la geometría en el plano hayamos apelado a la idea de movimiento a través del espacio. Ahora rectificaremos esto. Volviendo a la Figura 1, imaginemos que T y T' se dibujan en hojas separadas, de plástico transparente. En lugar de tomar sólo el triángulo T, ahora tomamos toda la hoja en la que lo dibujamos, y luego tratamos de colocarlo en la segunda hoja a fin de que T y T' coincidan. Al final de este movimiento, cada punto A en la hoja de T se encuentra sobre un punto A' de la hoja de T', y ahora podemos definir el movimiento \mathcal{M} como el mapeo (o aplicación) A\mapsto A'=\mathcal{M}(A) del plano en sí mismo.

Sin embargo, no cualquier mapeo califica como movimiento, porque también debemos capturar la idea (anteriormente implícita) de que la hoja queda rígida mientras se mueve, por lo que las distancias entre los puntos se mantienen constantes durante el movimiento. Aquí, entonces, está nuestra definición:

Un movimiento \mathcal{M} es un mapeo del plano en sí mismo tal que la distancia entre dos puntos A y B es igual a la distancia entre su imágenes A'=\mathcal{M}(A) y B'=\mathcal{M}(B).

Tenga en cuenta que a lo que hemos llamado un movimiento a menudo se lo denomina un “movimiento rígido”, o “isometría”.

Armados con este concepto preciso de movimiento, nuestra definición final de igualdad geométrica se convierte en

 F es congruente a F', escrito como F\cong F', si existe un movimiento \mathcal{M} tal que F'=\mathcal{M}(F).

A continuación, como consecuencia de nuestra discusión anterior, una propiedad geométrica de una figura es una que no se altera por todos los posibles movimientos de la figura. Por último, en respuesta a la pregunta inicial sobre “¿Qué es la geometría?”, Klein contestaría que es el estudio de estos llamados invariantes del conjunto de movimientos.

Uno de los descubrimientos más notables del siglo pasado fue que la geometría euclidiana no es la única geometría posible. Más adelante estudiaremos dos de las llamadas geometrías no euclidianas, pero por el momento sólo nos contentaremos con explicar cómo Felix Klein fue capaz de generalizar las ideas anteriores para abarcar estas nuevas geometrías.

El objetivo en la definición dada de congruente era utilizar una familia de transformaciones para introducir un concepto de igualdad geométrica. Pero, ¿este tipo \cong de igualdad se comportará de la manera que nos gustaría y esperamos? Para responder a esta pregunta primero debemos hacer explícitas nuestras expectativas. Para no confundir esta discusión general con el concepto particular de congruencia dado arriba, vamos a denotar a la igualdad geométrica por \sim.

  1. Una figura debe ser igual a sí misma: F\sim F, para toda F.
  2. Si F es igual a F', entonces F' debe ser igual a F: F \sim F'\Rightarrow F' \sim F.
  3. Si $ F$ y F' son iguales, y F' y F'' son iguales, entonces F y F'' también deben ser iguales: F \sim F'\wedge F' \sim F''\Rightarrow F \sim F''.

Cualquier relación que satisface estas expectativas se llama una relación de equivalencia.

Ahora supongamos que retenemos la definición anterior de igualdad geométrica, pero que generalizamos la definición de “movimiento” que dimos mediante la sustitución de la familia de las transformaciones que preservan la distancia con algunos otros miembros de la familia \mathcal{G} de transformaciones. Debe quedar claro que no cualquier \mathcal{G} será compatible con nuestro objetivo de definir la igualdad geométrica. De hecho, (1), (2), y (3) implican que \mathcal{G} debe tener la siguiente estructura muy especial(*), que se ilustra en la Figura 2.

Figura 2

Figura 2

  • La familia \mathcal{G} debe contener una transformación \epsilon (llamada la identidad) que mapea cada punto en sí mismo.
  • Si \mathcal{G} contiene una transformación \mathcal{M}, entonces debe contener también una transformación \mathcal{M}^{-1} (llamada la inversa) que deshace \mathcal{M}.
  • Si \mathcal{M} y \mathcal{N} son miembros de \mathcal{G} entonces también lo es la transformación compuesta \mathcal{N}\circ\mathcal{M} (\mathcal{M} seguida por \mathcal{N}) Esta propiedad de \mathcal{G} se denomina clausura.

Así, hemos llegado, muy naturalmente, a un concepto de importancia fundamental en el conjunto de la matemática: una familia \mathcal{G} de transformaciones que satisface estos tres (**) requisitos se denomina grupo.

Vamos a ver que los movimientos definidos en la definición inicial de movimiento en efecto forman un grupo: (i) Dado que la transformación identidad preserva las distancias, es un movimiento; (ii) Siempre que exista, la inversa de un movimiento preserva las distancias y por lo tanto será un movimiento en sí. En cuanto a la existencia, (a) es ciertamente posible que cuando aplicamos un movimiento a todo el plano, entonces la imagen es todo el plano y (b) la distancia no nula entre puntos distintos es preservada por un movimiento, por lo que sus imágenes son una vez más diferentes; (iii) Si dos transformaciones no alteran las distancias, entonces la aplicación de ellas en sucesión no alterará las distancias, por lo que la composición de dos movimientos es otro movimiento.

La idea de Klein fue que primero podríamos seleccionar un grupo \mathcal{G} a voluntad, y luego definir la “geometría” correspondiente con el estudio de los invariantes de \mathcal{G}. [Klein anunció por primera vez esta idea en 1872, cuando tenía 23 años!, en la Universidad de Erlangen, y ha llegado a ser conocida como el Programa de Erlangen.] Por ejemplo, si elegimos \mathcal{G} como el grupo de movimientos, recuperamos la geometría euclidiana familiar del plano. Pero ésta está lejos de ser la única geometría del plano, como muestra la denominada geometría proyectiva de la Figura 2.

La visión de Klein de la geometría fue más amplia todavía. Nos hemos preocupado por qué geometrías son posibles cuando las figuras se dibujan en cualquier parte del plano, pero supongamos por ejemplo que sólo se nos permite dibujar dentro de algún disco D. Debe quedar claro que podemos construir “geometrías de D” exactamente de la misma manera en que construimos geometrías del plano: dado un grupo \mathcal{H} de transformaciones de D en sí mismo, la geometría correspondiente es el estudio de los invariantes de \mathcal{H}. Sin duda existen tales grupos, basta considerar el conjunto de todas las rotaciones en torno al centro de D.

El lector puede sentir que la discusión anterior es un caso crónico de generalización matemática “tan sutil como inútil”. Nada podría estar más lejos de la verdad! Más adelante veremos, muy naturalmente, cómo considerar un grupo particularmente interesante de transformaciones de un disco en sí mismo. La geometría no euclidiana resultante se llama geometría hiperbólica o lobachevskiana. Lejos de ser inútil, esta geometría ha demostrado ser una herramienta muy poderosa en diversas áreas de la matemática, y las ideas que continúa ofreciendo se encuentran a la vanguardia de la investigación contemporánea.

(*) Aquí \mathcal{G} es el grupo de proyecciones. Si hacemos un dibujo en perspectiva de las figuras en el plano, entonces el mapeo de ese plano al plano “lienzo” se llama perspectiva. Una proyección se define entonces como cualquier secuencia de perspectivas.

(**) En configuraciones más abstractas, es necesario añadir un cuarto requisito de asociatividad, es decir, \mathcal{A}\circ(\mathcal{B}\circ\mathcal{C})=(\mathcal{A}\circ\mathcal{B})\circ\mathcal{C}. Por supuesto, para las transformaciones es automáticamente cierto.


Fuente bibliográfica:

  • Tristan Needham (1997) Visual Complex Analysis. Oxford University Press

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No sólo la adición compleja se identifica con la adición vectorial, sino que ahora vamos a demostrar que las operaciones vectoriales familiares de producto escalar y producto vectorial están subsumidas por la multiplicación compleja. Dado que estas operaciones vectoriales son muy importantes en la física -fueron descubiertas por los físicos!- su conexión con la multiplicación compleja será útil tanto en la aplicación del análisis complejo al mundo físico como en el uso de la física para entender el análisis complejo.

Una convención muy habitual es escribir en negrita a aquel número complejo z = x + iy que está pensado sólo como un vector; así, con sus componentes en una columna,

\mathbf{z}=\binom{x}{y}

Dados dos vectores \textbf{a} y \textbf{b}, la Figura 1 recuerda la definición del producto escalar como la longitud de un vector por la proyección sobre ese vector del otro vector:

\textbf{a}\bullet\textbf{b}=\left|a\right|\left|b\right|\cos\theta=\textbf{b}\bullet \textbf{a},

donde \theta es el ángulo entre \textbf{a} y \textbf{b}.

Figura 1

La Figura 2 recuerda la definición del producto vectorial: \textbf{a}\times\textbf{b} es el vector perpendicular al plano de \textbf{a} y \textbf{b} cuya longitud es igual al área A del paralelogramo generado por \textbf{a} y \textbf{b}. Pero atención, hay dos direcciones (opuestas) perpendiculares a \mathbb{C}, ¿cuál deberíamos elegir?

Figura 2

Escribiendo A=\left|a\right|\left|b\right|\sin\theta, el área A tiene un signo que se le atribuye. Una forma fácil de ver este signo es pensar en el ángulo \theta desde \textbf{a} hacia \textbf{b} como perteneciente al rango de -\pi a \pi; el signo de A es entonces el mismo que el de \theta. Si A> 0, como en la Figura 2, entonces definimos \textbf{a}\times\textbf{b} apuntando hacia arriba desde el plano, y si A <0 se define de modo que apunte hacia abajo. De ello se desprende que \textbf{a}\times\textbf{b}=-(\textbf{b}\times\textbf{a}).

Esta convención en la definición de \textbf{a}\times\textbf{b} es intrínsecamente tridimensional, y por lo tanto, presenta un problema: si \textbf{a} y \textbf{b} son considerados como números complejos, \textbf{a}\times\textbf{b} no puede serlo, pues no se encuentra en el plano (complejo) de \textbf{a} y \textbf{b}. No existe este tipo de problema con el producto escalar porque \textbf{a}\bullet\textbf{b} es simplemente un número real, y esto sugiere una salida.

Dado que todos nuestros vectores pertenecerán al mismo plano, nuestros productos vectoriales tendrán todos direcciones iguales (u opuestas), por lo que la única diferencia entre un producto vectorial y otro será el valor de A. Para los propósitos de este artículo vamos por lo tanto a volver a definir el producto vectorial como el área (con signo) A del paralelogramo generado por \textbf{a} y \textbf{b}:

\textbf{a}\times\textbf{b}=\left|a\right|\left|b\right|\sin\theta=-(\textbf{b}\times\textbf{a})

La Figura 3 muestra dos números complejos a=\left|a\right|e^{i\alpha} y b=\left|b\right|e^{i\beta}; el ángulo de a a b es \theta=(\beta-\alpha). Para ver cómo sus productos escalar y vectorial están relacionados con la multiplicación compleja, consideremos el efecto de multiplicar cada punto en \mathbb{C} por \bar{a}. Esta es una rotación de -\alpha y una expansión de \left|a\right|, y si nos fijamos en la imagen bajo esta transformación del triángulo rectángulo sombreado con hipotenusa b, vemos inmediatamente que

\bar{a}b=\textbf{a}\bullet\textbf{b}+i(\textbf{a}\times\textbf{b}).

Por supuesto, también podríamos haber conseguido esto mediante el cálculo simple:

\bar{a}b=(\left|a\right|e^{-i\alpha})(\left|b\right|e^{i\beta})=\left|a\right|\left|b\right|e^{i(\beta-\alpha)}=\left|a\right|\left|b\right|e^{i\theta}=\left|a\right|\left|b\right|(\cos\theta+i\sin\theta).

Figura 3

Cuando nos referimos a los productos escalar y vectorial como “operaciones vectoriales” queremos decir que se definen geométricamente, independientemente de cualquier elección particular de los ejes de coordenadas. Sin embargo, una vez que esta elección se ha hecho, la expresión obtenida para \bar{a}b hace que sea fácil expresar estas operaciones en términos de coordenadas cartesianas. Escribiendo a = x + iy y b=x'+iy',

\bar{a}b=(x-iy)(x'+iy')=(xx'+yy')+i(xy'-yx'),

de modo que

Terminamos con un ejemplo que ilustra la importancia del signo del área (\textbf{a}\times\textbf{b}). Consideremos el problema de encontrar el área A del cuadrilátero en la Figura 4 cuyos vértices son, en sentido anti horario: a, b, c y d. Es evidente que ésta es simplemente la suma de las áreas ordinarias, sin signo, de los cuatro triángulos determinados uniendo los vértices del cuadrilátero con el origen. Por lo tanto, puesto que el área de cada triángulo es simplemente la mitad del área del paralelogramo correspondiente,

Figura 4

Figura 4

A=\frac{1}{2}\left[(\textbf{a}\times\textbf{b})+(\textbf{b}\times\textbf{c})+(\textbf{c}\times\textbf{d})+(\textbf{d}\times\textbf{a})\right]=\frac{1}{2}\mbox{Im}\left[\bar{a}b+\bar{b}c+\bar{c}d+\bar{d}a\right].

Obviamente esta fórmula puede generalizarse fácilmente a polígonos con más de cuatro lados.

Pero ¿qué ocurre si 0 está fuera del cuadrilátero? En la Figura 5, A es claramente la suma de las áreas ordinarias de tres de los triángulos, menos el área ordinaria del triángulo rayado. Puesto que el ángulo de \textbf{b} a \textbf{c} es negativo, \frac{1}{2}(\textbf{b}\times\textbf{c}) es automáticamente el negativo del área rayada, y por lo tanto A está dada por exactamente la misma fórmula que antes!

Figura 5

Figura 5

¿Puede encontrar una ubicación para 0 que haga que dos de las áreas con signo sean negativas? Compruebe que la fórmula sigue funcionando!!!


Fuente bibliográfica:

  • Tristan Needham (1997) Visual Complex Analysis. Oxford University Press

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