03 | abril | 2014 | Blog de Matemática y TIC's

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Un nuevo enfoque en la factorización

Posted in Análisis de Variable Compleja, Producción propia, tagged Evaluación de integrales reales, Números complejos, Raíces de la unidad, Raíces de polinomios, Roger Cotes, Teorema de Factorización de Descartes, Teorema de Pitágoras, Teorema Fundamental del Álgebra on 3 abril 2014| 1 Comment »

En el último año de su vida (1716) Roger Cotes hizo un descubrimiento notable que le permitió (en principio) evaluar la familia de integrales,

$\int\frac{dx}{x^{n}-1},$

donde $n=1,2,3,\ldots$ . Para ver la conexión de esto con el álgebra, consideremos el caso $n = 2$ . Las observaciones claves son que el denominador $(x^{2} - 1)$ puede ser expresado como $(x - 1) (x + 1)$ , y que el integrando puede entonces separarse en fracciones parciales:

$\int\frac{dx}{x^{2}-1}=\frac{1}{2}\int\left[\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right]dx=\frac{1}{2}\ln\left[\frac{x-1}{x+1}\right].$

Como veremos, para valores más altos de $n$ no se puede factorizar completamente $(x^{n}-1)$ en factores lineales sin el empleo de números complejos. Sin embargo, Cotes era consciente de que si podía separar a $(x^{n}-1)$ en factores lineales y cuadráticos reales, entonces sería capaz de calcular la integral. Aquí, por «cuadrática real» entendemos a una cuadrática cuyos coeficientes son todos números reales.

Por ejemplo, $(x^{4}-1)$ puede ser expresado como $(x-1)(x+1)(x^{2}+1)$ , conduciendo a la expresión en suma de fracciones parciales:

$\frac{1}{x^{4}-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{Cx}{x^{2}+1}+\frac{D}{x^{2}+1},$

y por lo tanto a una integral que se puede evaluar en términos de $\ln$ y $\tan^{-1}$ . De modo más general, incluso si la factorización implica cuadráticas más complicadas que $x^{2}+1$ , es fácil demostrar que sólo $\ln$ y $\tan^{-1}$ son necesarios para evaluar las integrales resultantes.

Con el fin de situar el trabajo de Cotes para $(x^{n}-1)$ en un contexto más amplio, vamos a investigar la conexión general entre las raíces de un polinomio y su factorización. Esta conexión puede explicarse considerando las series geométricas

$G_{m-1}=c^{m-1}+c^{m-2}z+c^{m-3}z^{2}+\cdots+c z^{m-2}+z^{m-1},$

en las que $c$ y $z$ son complejos. Al igual que en el álgebra real, esta serie puede sumarse notando que $z G_{m-1}$ y $c G_{m-1}$ contienen casi los mismos términos. Restando estas dos expresiones obtenemos

$(z-c) G_{m-1}=z^{m}-c^{m},$

y así

$G_{m-1}=\frac{z^{m}-c^{m}}{z-c}.$

Si pensamos a $c$ como fijo y a $z$ como una variable, entonces $(z^{m}-c^{m})$ es un polinomio de grado $m$ en $z$ , y $z = c$ es una raíz de él. El resultado anterior dice que este polinomio de grado $m$ puede ser expresado como el producto del término lineal $(z - c)$ y el polinomio $G_{m-1}$ de grado $m-1$ .

En 1637 Descartes publicó una generalización importante de este resultado. Sea $P_{n}(z)$ un polinomio general de grado $n$ :

$P_{n}(z)=z^{n}+A z^{n-1}+\cdots+D z+E,$

donde los coeficientes $A,\ldots,E$ pueden ser complejos. De la expresión obtenida arriba para $(z-c) G_{m-1}$ resulta que

$P_{n}(z)-P_{n}(c)=(z-c)\left[G_{n-1}+A G_{n-2}+\cdots+D\right],$

y así obtenemos el Teorema de Factorización de Descartes que vincula la existencia de raíces con la factorización:

Si $c$ es una solución de $P_{n}(z)=0$ entonces $P_{n}(z)=(z-c)P_{n-1}(z)$ , donde $P_{n-1}$ es de grado $(n - 1)$ .

Si pudiéramos a su vez encontrar una raíz $c'$ de $P_{n-1}$ , entonces el mismo razonamiento daría $P_{n}(z) = (z - c) (z - c') P_{n-2}(z)$ . Continuando de esta manera, el Teorema de Descartes mantiene así la promesa de expresar a $P_{n}$ en precisamente $n$ factores lineales:

$P_{n}(z)=(z-c_{1})(z-c_{2})\cdots(z-c_{n}).$

Si no reconocemos la existencia de raíces complejas (como ocurría en el siglo XVIII), entonces esta factorización será posible en algunos casos (por ejemplo, $z^{2} - 1$ ), e imposible en otros (por ejemplo, $z^{2} + 1$ ). Pero, en espléndido contraste con esto, si se admite números complejos entonces se puede demostrar que $P_{n}$ siempre tiene $n$ raíces en $\mathbb{C}$ , y la factorización antes citada siempre es posible. Esto se conoce como el Teorema Fundamental del Álgebra.

Cada factor $(z-c_{k})$ en la expresión anterior representa a un número complejo que relaciona la raíz $c_{k}$ con el punto variable $z$ . La Figura 1 muestra esto para un polinomio cúbico general. Escribiendo cada uno de estos números complejos en la forma $R_{k}e^{i\phi_{k}}$ , la expresión anterior para $P_{n}(z)$ se convierte en

$P_{n}(z)=R_{1}R_{2}\cdots R_{n} e^{i(\phi_{1}+\phi_{2}+\cdots+\phi_{n})}.$

Figura 1

Aunque el Teorema Fundamental del Álgebra no estaba disponible para Cotes, vamos a ver cómo garantiza que él iba a tener éxito en su búsqueda de descomponer $x^{n}+1$ en factores lineales y cuadráticos reales. El polinomio de Cotes tiene coeficientes reales, y, muy en general, podemos demostrar que

Si un polinomio tiene coeficientes reales entonces sus raíces complejas aparecen en pares complejos conjugados, y éste se puede factorizar en factores lineales y cuadráticos reales.

Pues si los coeficientes $A, ..., E$ de $P_{n}(z)$ son reales, entonces $P_{n} (c) = 0$ implica que $P_{n} (\bar{c}) = 0$ , y la expresión de $P_{n}(z)$ como producto de factores lineales contiene a

$(z-c)(z-\bar{c})=z^{2}-(c+\bar{c})z+c\bar{c}=z^{2}-2\mbox{Re}(c)z+\left|c\right|^{2},$

que es una cuadrática real.

Ahora vamos a discutir cómo Cotes fue capaz de factorizar $x^{n}-1$ en factores lineales y cuadráticos reales apelando a la geometría del $n$ -ágono regular. [Un « $n$ -ágono» es un polígono de $n$ lados.] Para apreciar lo que sigue debemos ponernos en los zapatos del siglo XVIII y olvidarnos todo lo que hemos visto sobre el Teorema Fundamental del Álgebra, incluso debemos olvidarnos de los números complejos y del plano complejo!

Para los primeros valores de $n$ , las factorizaciones deseadas de $U_{n}(x)=x^{n}-1$ no son demasiado difíciles de encontrar:

$U_{2}(x)=(x-1)(x+1),$
$U_{3}(x)=(x-1)(x^{2}+x+1),$
$U_{4}(x)=(x-1)(x+1)(x^{2}+1),$
$U_{5}(x)=(x-1)\left(x^{2}+\left[\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]x+1\right)\left(x^{2}+\left[\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right]x+1\right),$

pero el patrón general parece difícil de alcanzar.

Para encontrar un patrón, vamos a tratar de visualizar el caso más simple, para $n=1$ . Véase la Figura 2. Sean $O$ un punto fijo, y $P$ un punto variable en una recta en el plano (que no estamos pensando como $\mathbb{C}$ ), y sea $x$ la distancia $OP$ . Si ahora trazamos un círculo de radio uno centrado en $O$ , y denotamos con $C_{1}$ y $C_{2}$ a sus puntos de intersección con la recta, entonces es claro que (Aquí, y en lo que sigue, supondremos por conveniencia que $x> 1$ , de modo que $U_{n}(x)$ es positivo) $U_{2}(x)=P C_{1}\cdot P C_{2}$ .

Figura 2

Para entender en este espíritu a los factores cuadráticos, vamos a saltarnos $U_{3}(x)$ para pasar a la cuadrática más simple en $U_{4}(x)$ . Esta factorización de $U_{4}(x)$ es la mejor que podríamos hacer sin números complejos, pero idealmente deberíamos haber descompuesto $U_{4}(x)$ en cuatro factores lineales. Esto sugiere que reescribamos la expresión para $U_{4}(x)$ como

$U_{4}(x)=(x-1)(x+1)\sqrt{x^{2}+1}\sqrt{x^{2}+1},$

donde los últimos dos «factores» son análogos a los factores lineales originales. Si hemos de interpretar esta expresión (por analogía con el caso anterior) como el producto de las distancias de $P$ a cuatro puntos fijos, entonces los puntos correspondientes a los últimos dos «factores» deben estar fuera de la recta. Más precisamente, el Teorema de Pitágoras nos dice que un punto cuya distancia a $P$ es $\sqrt{x^{2}+1^{2}}$ debe estar a distancia uno de $O$ en una dirección perpendicular a la recta $OP$ . Refiriéndose a la Figura 3, ahora podemos ver que $U_{4}(x)=P C_{1}\cdot P C_{2}\cdot P C_{3}\cdot P C_{4}$ , donde $C_{1}C_{2}C_{3}C_{4}$ es el cuadrado inscripto en el círculo.

Figura 3

Puesto que hemos factorizado $U_{4}(x)$ con el $4$ -ágono regular (el cuadrado), tal vez podamos factorizar $U_{3}(x)$ con el $3$ -ágono regular (el triángulo equilátero). Véase la Figura 4. Aplicando el Teorema de Pitágoras a esta figura,

$P C_{1}\cdot P C_{2}\cdot P C_{3}=(x-1)\left(\left[x+\frac{1}{2}\right]^{2}+\left[\frac{\sqrt{3}}{2}\right]^{2}\right)$

es decir,

$P C_{1}\cdot P C_{2}\cdot P C_{3}=(x-1)(x^{2}+x+1),$

que es de hecho la factorización deseada de $U_{3}(x)$ !

Figura 4

Una generalización plausible para $U_{n}$ es la siguiente:

Si $C_{1}C_{2}C_{3}\ldots C_{n}$ es un $n$ -ágono regular inscripto en un círculo de radio uno centrado en $O$ y $P$ es el punto en $O C_{1}$ a una distancia $x$ de $O$ , entonces $U_{n}(x)=P C_{1}\cdot P C_{2}\cdots P C_{n}$ .

Este es el resultado de Cotes. Desafortunadamente, lo afirmó sin demostración, y no dejó ninguna pista en cuanto a cómo lo descubrió. Por lo tanto, sólo podemos especular que pudo haber sido guiado por un argumento como el que suministramos aquí.

Puesto que los vértices del $n$ -ágono regular siempre vendrán en pares simétricos que son equidistantes de $P$ , los ejemplos en las Figuras 3 y 4 ponen de manifiesto que el resultado de Cotes es de hecho equivalente a factorizar $U_{n}(x)$ en factores lineales y cuadráticos reales.

Recobrando nuestra amnesia fingida respecto de los números complejos y su interpretación geométrica, el resultado de Cotes se vuelve fácil de entender y de demostrar. Tomando a $O$ como el origen del plano complejo, y a $C_{1}$ como $1$ , los vértices del $n$ -ágono de Cotes están dados por $C_{k+1}=e^{ik(2\pi/n)}$ . Véase la Figura 5, que muestra el caso $n = 12$ . Puesto que $(C_{k+1})^{n}=e^{ik2\pi}=1$ , pronto todo está muy claro: los vértices del $n$ -ágono regular son las $n$ raíces complejas de $U_{n}(z)=z^{n}-1$ . Debido a que las soluciones de $z^{n}-1=0$ se pueden escribir formalmente como $z=\sqrt[n]{1}$ , los vértices de los $n$ -ágonos se conocen como las raíces $n$ -ésimas de la unidad.

Figura 5

Por el Teorema de Factorización de Descartes, la factorización completa de $(z^{n}-1)$ es por lo tanto

$z^{n}-1=U_{n}(z)=(z-C_{1})(z-C_{2})\cdots(z-C_{n}),$

con cada par de raíces conjugadas que producen un factor cuadrático real

$\left(z-e^{ik(2\pi/n)}\right)\left(z-e^{-ik(2\pi/n)}\right)=z^{2}-2z\cos\left[\frac{2k\pi}{n}\right]+1.$

Cada uno de los factores $(z-C_{k})=R_{k}e^{i\phi_{k}}$ puede ser visto (Ver la Figura 1) como un número complejo que conecta un vértice del $n$ -ágono con $z$ . Por lo tanto, si $P$ es un punto arbitrario en el plano (no simplemente un punto en el eje real), entonces se obtiene la siguiente forma generalizada del resultado de Cotes:

$U_{n}(P)=\left[P C_{1}\cdot P C_{2}\cdots P C_{n}\right]e^{i\Phi},$

donde $\Phi=(\phi_{1}+\phi_{2}+\cdots+\phi_{n})$ . Si $P$ pasa a ser un número real (de nuevo lo suponemos mayor que $1$ ) entonces $\Phi=0$ , y recuperamos el resultado de Cotes.