11 | abril | 2014 | Blog de Matemática y TIC's

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Operaciones vectoriales y números complejos

Posted in Análisis de Variable Compleja, Producción propia, tagged Cálculo de áreas, Números complejos, Producto escalar, Producto vectorial on 11 abril 2014| Leave a Comment »

No sólo la adición compleja se identifica con la adición vectorial, sino que ahora vamos a demostrar que las operaciones vectoriales familiares de producto escalar y producto vectorial están subsumidas por la multiplicación compleja. Dado que estas operaciones vectoriales son muy importantes en la física -fueron descubiertas por los físicos!- su conexión con la multiplicación compleja será útil tanto en la aplicación del análisis complejo al mundo físico como en el uso de la física para entender el análisis complejo.

Una convención muy habitual es escribir en negrita a aquel número complejo $z = x + iy$ que está pensado sólo como un vector; así, con sus componentes en una columna,

$\mathbf{z}=\binom{x}{y}$

Dados dos vectores $\textbf{a}$ y $\textbf{b}$ , la Figura 1 recuerda la definición del producto escalar como la longitud de un vector por la proyección sobre ese vector del otro vector:

$\textbf{a}\bullet\textbf{b}=\left|a\right|\left|b\right|\cos\theta=\textbf{b}\bullet \textbf{a},$

donde $\theta$ es el ángulo entre $\textbf{a}$ y $\textbf{b}$ .

Figura 1

La Figura 2 recuerda la definición del producto vectorial: $\textbf{a}\times\textbf{b}$ es el vector perpendicular al plano de $\textbf{a}$ y $\textbf{b}$ cuya longitud es igual al área $A$ del paralelogramo generado por $\textbf{a}$ y $\textbf{b}$ . Pero atención, hay dos direcciones (opuestas) perpendiculares a $\mathbb{C}$ , ¿cuál deberíamos elegir?

Figura 2

Escribiendo $A=\left|a\right|\left|b\right|\sin\theta$ , el área $A$ tiene un signo que se le atribuye. Una forma fácil de ver este signo es pensar en el ángulo $\theta$ desde $\textbf{a}$ hacia $\textbf{b}$ como perteneciente al rango de $-\pi$ a $\pi$ ; el signo de $A$ es entonces el mismo que el de $\theta$ . Si $A> 0$ , como en la Figura 2, entonces definimos $\textbf{a}\times\textbf{b}$ apuntando hacia arriba desde el plano, y si $A <0$ se define de modo que apunte hacia abajo. De ello se desprende que $\textbf{a}\times\textbf{b}=-(\textbf{b}\times\textbf{a})$ .

Esta convención en la definición de $\textbf{a}\times\textbf{b}$ es intrínsecamente tridimensional, y por lo tanto, presenta un problema: si $\textbf{a}$ y $\textbf{b}$ son considerados como números complejos, $\textbf{a}\times\textbf{b}$ no puede serlo, pues no se encuentra en el plano (complejo) de $\textbf{a}$ y $\textbf{b}$ . No existe este tipo de problema con el producto escalar porque $\textbf{a}\bullet\textbf{b}$ es simplemente un número real, y esto sugiere una salida.

Dado que todos nuestros vectores pertenecerán al mismo plano, nuestros productos vectoriales tendrán todos direcciones iguales (u opuestas), por lo que la única diferencia entre un producto vectorial y otro será el valor de $A$ . Para los propósitos de este artículo vamos por lo tanto a volver a definir el producto vectorial como el área (con signo) $A$ del paralelogramo generado por $\textbf{a}$ y $\textbf{b}$ :

$\textbf{a}\times\textbf{b}=\left|a\right|\left|b\right|\sin\theta=-(\textbf{b}\times\textbf{a})$

La Figura 3 muestra dos números complejos $a=\left|a\right|e^{i\alpha}$ y $b=\left|b\right|e^{i\beta}$ ; el ángulo de $a$ a $b$ es $\theta=(\beta-\alpha)$ . Para ver cómo sus productos escalar y vectorial están relacionados con la multiplicación compleja, consideremos el efecto de multiplicar cada punto en $\mathbb{C}$ por $\bar{a}$ . Esta es una rotación de $-\alpha$ y una expansión de $\left|a\right|$ , y si nos fijamos en la imagen bajo esta transformación del triángulo rectángulo sombreado con hipotenusa $b$ , vemos inmediatamente que

$\bar{a}b=\textbf{a}\bullet\textbf{b}+i(\textbf{a}\times\textbf{b}).$

Por supuesto, también podríamos haber conseguido esto mediante el cálculo simple:

$\bar{a}b=(\left|a\right|e^{-i\alpha})(\left|b\right|e^{i\beta})=\left|a\right|\left|b\right|e^{i(\beta-\alpha)}=\left|a\right|\left|b\right|e^{i\theta}=\left|a\right|\left|b\right|(\cos\theta+i\sin\theta).$

Figura 3

Cuando nos referimos a los productos escalar y vectorial como «operaciones vectoriales» queremos decir que se definen geométricamente, independientemente de cualquier elección particular de los ejes de coordenadas. Sin embargo, una vez que esta elección se ha hecho, la expresión obtenida para $\bar{a}b$ hace que sea fácil expresar estas operaciones en términos de coordenadas cartesianas. Escribiendo $a = x + iy$ y $b=x'+iy'$ ,

$\bar{a}b=(x-iy)(x'+iy')=(xx'+yy')+i(xy'-yx'),$

de modo que

Terminamos con un ejemplo que ilustra la importancia del signo del área $(\textbf{a}\times\textbf{b})$ . Consideremos el problema de encontrar el área $A$ del cuadrilátero en la Figura 4 cuyos vértices son, en sentido anti horario: $a$ , $b$ , $c$ y $d$ . Es evidente que ésta es simplemente la suma de las áreas ordinarias, sin signo, de los cuatro triángulos determinados uniendo los vértices del cuadrilátero con el origen. Por lo tanto, puesto que el área de cada triángulo es simplemente la mitad del área del paralelogramo correspondiente,

Figura 4

$A=\frac{1}{2}\left[(\textbf{a}\times\textbf{b})+(\textbf{b}\times\textbf{c})+(\textbf{c}\times\textbf{d})+(\textbf{d}\times\textbf{a})\right]=\frac{1}{2}\mbox{Im}\left[\bar{a}b+\bar{b}c+\bar{c}d+\bar{d}a\right].$

Obviamente esta fórmula puede generalizarse fácilmente a polígonos con más de cuatro lados.

Pero ¿qué ocurre si $0$ está fuera del cuadrilátero? En la Figura 5, $A$ es claramente la suma de las áreas ordinarias de tres de los triángulos, menos el área ordinaria del triángulo rayado. Puesto que el ángulo de $\textbf{b}$ a $\textbf{c}$ es negativo, $\frac{1}{2}(\textbf{b}\times\textbf{c})$ es automáticamente el negativo del área rayada, y por lo tanto $A$ está dada por exactamente la misma fórmula que antes!