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Archive for 22 22-03:00 abril 22-03:00 2014

En la entrada anterior, La geometría desde el punto de vista de Klein, hemos explorado inicialmente la geometría euclidiana. Para entender sus fundamentos parece que debemos estudiar su grupo de movimientos. Por el momento, este grupo se define más bien de manera abstracta como el conjunto de mapeos del plano en sí mismo que preserva distancias. Sin embargo, es bastante fácil pensar en ejemplos concretos de movimientos: una rotación del plano alrededor de un punto arbitrario, una traslación del plano, o una reflexión del plano respecto de alguna recta. Nuestro objetivo es entender los movimientos más generales posibles en términos igualmente vívidos.

Comenzamos declarando un hecho clave:

Un movimiento se determina de forma única por su efecto sobre cualquier triángulo (es decir, sobre cualesquiera  tres puntos no colineales).

Con esto queremos decir que el conocimiento de lo que ocurre con los tres puntos nos dice lo que debe sucederle a cada punto en el plano. Para ver esto, primero consideremos la Figura 1, que muestra que cada punto P se determina de forma única a través de sus distancias a los vértices A, B, C de un triángulo (*). Las distancias a A y B producen dos círculos que (en general) se cruzan en dos puntos, P y Q. La tercera distancia (a C) permite entonces escoger a P.

Figura 1

Figura 1

Para obtener el resultado señalado arriba, miremos ahora la Figura 2. Allí se ilustra un movimiento \mathcal{M} que mapea a A, B, C en A', B', C'. Por la propia definición de movimiento, \mathcal{M} debe mapear un punto arbitrario P en un punto P' cuyas distancias a A', B', C' son iguales a las distancias originales de P a A, B, C. Por lo tanto, como se muestra, P' está determinado de forma única. Listo!!!

Figura 2

Figura 2

Un gran paso hacia una clasificación es la constatación de que hay fundamentalmente dos diferentes tipos de movimientos. En términos de nuestra concepción anterior de movimiento en el espacio, la distinción es si debe o no darse vuelta una figura antes de que pueda ser colocada en la parte superior de una figura congruente. Para ver cómo se plantea esta dicotomía en términos de la nueva definición de movimiento como mapeo dada en la entrada anterior, supongamos que un movimiento envía dos puntos A y B sobre A' y B'. Ver la Figura 3. Según lo que enunciamos al comienzo, el movimiento no se ha determinado aún: necesitamos conocer la imagen de un tercer punto cualquiera C (no alineado), como se muestra en la Figura 3. Dado que los movimientos preservan las distancias de C a A y B, sólo hay dos posibilidades para la imagen de C, digamos, C' y su reflejo \widetilde{C} respecto de la recta L que pasa por A' y B'. Así, hay precisamente dos movimientos (\mathcal{M} y \widetilde{\mathcal{M}}, por ejemplo) que mapean A y B en A' y B': \mathcal{M} que aplica C en C', y \widetilde{\mathcal{M}} que aplica C en \widetilde{C}.

Figura 3

Figura 3

Se puede hacer una distinción entre \mathcal{M} y \widetilde{\mathcal{M}} al ver cómo afectan ángulos. Todos los movimientos preservan la magnitud de los ángulos, pero vemos que \mathcal{M} también preserva el sentido del ángulo \theta, mientras que \widetilde{\mathcal{M}} lo invierte. La naturaleza fundamental de esta distinción se puede ver en el hecho de que \mathcal{M} debe, de hecho, preservar todos los ángulos, mientras que \widetilde{\mathcal{M}} debe revertir todos los ángulos.

Para ver esto, consideremos el destino del ángulo \phi en el triángulo T. Si C se mapea en C' (es decir, si el movimiento es \mathcal{M}), entonces, llevando a cabo la construcción indicada en la Figura 2, la imagen de T es T' y el ángulo se conserva. Si, por el contrario, C se mapea en \widetilde{C} (es decir, si el movimiento es \widetilde{\mathcal{M}}) entonces la imagen de T es la reflexión \widetilde{T} de T' respecto de L, y el ángulo se invierte. Los movimientos que preservan los ángulos se llaman directos, y los que invierten ángulos son llamados opuestos. Así, las rotaciones y las traslaciones son directas, mientras que las reflexiones son opuestas. Resumiendo lo que hemos encontrado,

Hay exactamente un movimiento directo \mathcal{M} (y exactamente un movimiento opuesto \widetilde{\mathcal{M}}) que mapea un segmento de recta dado AB en otro segmento de recta A'B' de igual longitud. Por otra parte, \widetilde{\mathcal{M}}=(\mathcal{M} seguida de la reflexión respecto de la recta A'B').

Para entender los movimientos podemos por lo tanto  considerar dos segmentos dibujados al azar AB y A'B' de igual longitud, y luego encontrar el movimiento directo (y el movimiento opuesto) que mapea uno en el otro. Ahora es fácil demostrar que

Cada movimiento directo es una rotación, o de lo contrario (excepcionalmente) una traslación.

Tenga en cuenta que este resultado nos da un mayor conocimiento de nuestros cálculos anteriores sobre la composición de rotaciones y traslaciones: dado que la composición de dos movimientos directos es otro movimiento directo, sólo puede tratarse de una rotación o de una traslación. Por el contrario, estos cálculos nos permiten re-escribir lo anterior de una manera más ordenada (Recuerde la entrada: Trigonometría y números complejos: aliados perfectos):

Cada movimiento directo puede expresarse como una función compleja de la forma \mathcal{M}(z)=e^{i\theta}z+v.

Demostremos ahora lo que nos quedó pendiente. Si el segmento de recta A'B' es paralelo a AB entonces los vectores \vec{AB} y \vec{A'B'} son iguales u opuestos. Si son iguales, como en la Figura 4, el movimiento es una traslación.

Figura 4

Figura 4

Si son opuestos, como en la Figura 5, el movimiento es una rotación de ángulo \pi alrededor del punto de intersección de las rectas AA' y BB'.

Figura 5

Figura 5

Si los segmentos no son paralelos, se extienden (si es necesario) hasta que se encuentren en M, y sea \theta el ángulo entre las direcciones de \vec{AB} y \vec{A'B'}. Ver la Figura 6. En primer lugar recordemos una propiedad elemental de los círculos: la cuerda AA' subtiende el mismo ángulo \theta en cada punto del arco circular AMA'. A continuación, sea O el punto de intersección de este arco con el bisector perpendicular de AA'. Ahora vemos que el movimiento directo que mapea AB en A'B' es una rotación de ángulo \theta con centro en O, pues claramente A es rotado en A', y la dirección de \vec{AB} se gira en la dirección de \vec{A'B'}. Listo!!!

Figura 6

Figura 6

Las transformaciones directas serán más importantes en el contexto del Análisis de Variable Compleja. La razón del mayor énfasis en los movimientos directos se deriva del hecho de que forman un grupo (un subgrupo del grupo completo de movimientos), mientras que los movimientos opuestos no lo hacen.

(*) Así es como se ubican los terremotos. Hay dos tipos de ondas que son emitidas por el terremoto cuando comienza: «ondas P» en rápido movimiento de compresión, y «ondas S» de movimiento más lento de corte destructivo. Así, las ondas P llegarán a una estación sísmica antes que las ondas S, y el tiempo transcurrido entre estos eventos puede ser utilizado para calcular la distancia del terremoto a esa estación. Repitiendo este cálculo en otras dos estaciones sísmicas, el temblor puede ser localizado. Leer más aquí.


Fuente bibliográfica:

  • Tristan Needham (1997) Visual Complex Analysis. Oxford University Press

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