En la entrada anterior, La geometría desde el punto de vista de Klein, hemos explorado inicialmente la geometría euclidiana. Para entender sus fundamentos parece que debemos estudiar su grupo de movimientos. Por el momento, este grupo se define más bien de manera abstracta como el conjunto de mapeos del plano en sí mismo que preserva distancias. Sin embargo, es bastante fácil pensar en ejemplos concretos de movimientos: una rotación del plano alrededor de un punto arbitrario, una traslación del plano, o una reflexión del plano respecto de alguna recta. Nuestro objetivo es entender los movimientos más generales posibles en términos igualmente vívidos.
Comenzamos declarando un hecho clave:
Un movimiento se determina de forma única por su efecto sobre cualquier triángulo (es decir, sobre cualesquiera tres puntos no colineales).
Con esto queremos decir que el conocimiento de lo que ocurre con los tres puntos nos dice lo que debe sucederle a cada punto en el plano. Para ver esto, primero consideremos la Figura 1, que muestra que cada punto 
Figura 1
Para obtener el resultado señalado arriba, miremos ahora la Figura 2. Allí se ilustra un movimiento 
Figura 2
Un gran paso hacia una clasificación es la constatación de que hay fundamentalmente dos diferentes tipos de movimientos. En términos de nuestra concepción anterior de movimiento en el espacio, la distinción es si debe o no darse vuelta una figura antes de que pueda ser colocada en la parte superior de una figura congruente. Para ver cómo se plantea esta dicotomía en términos de la nueva definición de movimiento como mapeo dada en la entrada anterior, supongamos que un movimiento envía dos puntos 
Figura 3
Se puede hacer una distinción entre 
Para ver esto, consideremos el destino del ángulo 
Hay exactamente un movimiento directo 
Para entender los movimientos podemos por lo tanto considerar dos segmentos dibujados al azar
Cada movimiento directo es una rotación, o de lo contrario (excepcionalmente) una traslación.
Tenga en cuenta que este resultado nos da un mayor conocimiento de nuestros cálculos anteriores sobre la composición de rotaciones y traslaciones: dado que la composición de dos movimientos directos es otro movimiento directo, sólo puede tratarse de una rotación o de una traslación. Por el contrario, estos cálculos nos permiten re-escribir lo anterior de una manera más ordenada (Recuerde la entrada: Trigonometría y números complejos: aliados perfectos):
Cada movimiento directo puede expresarse como una función compleja de la forma 
Demostremos ahora lo que nos quedó pendiente. Si el segmento de recta 
Figura 4
Si son opuestos, como en la Figura 5, el movimiento es una rotación de ángulo 
Figura 5
Si los segmentos no son paralelos, se extienden (si es necesario) hasta que se encuentren en 
Figura 6
Las transformaciones directas serán más importantes en el contexto del Análisis de Variable Compleja. La razón del mayor énfasis en los movimientos directos se deriva del hecho de que forman un grupo (un subgrupo del grupo completo de movimientos), mientras que los movimientos opuestos no lo hacen.
(*) Así es como se ubican los terremotos. Hay dos tipos de ondas que son emitidas por el terremoto cuando comienza: «ondas P» en rápido movimiento de compresión, y «ondas S» de movimiento más lento de corte destructivo. Así, las ondas P llegarán a una estación sísmica antes que las ondas S, y el tiempo transcurrido entre estos eventos puede ser utilizado para calcular la distancia del terremoto a esa estación. Repitiendo este cálculo en otras dos estaciones sísmicas, el temblor puede ser localizado. Leer más aquí.
Fuente bibliográfica:
- Tristan Needham (1997) Visual Complex Analysis. Oxford University Press
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