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Archive for 26 mayo 2014

En la entrada anterior hemos explorado la solución de la ecuación cúbica reducida propuesta por del Ferro.

La historia de la cúbica ahora toma un escabroso camino. Como era la tradición en esos días, del Ferro mantuvo en secreto su solución. Lo hizo porque, a diferencia de los matemáticos académicos de hoy que disfrutan de difundir sus logros en revistas especializadas, páginas web y hasta redes sociales, del Ferro y sus colegas eran más como hombres de negocios que trabajan de forma independiente. Se ganaban su sustento desafiándose unos a otros en concursos públicos de resolución de problemas, y el ganador se llevaba todo el dinero del premio, desde luego la “gloria” del triunfo, y con suerte el apoyo y admiración de algunos ricos mecenas. Las posibilidades de ganar uno de estos concursos se veían favorecidas por el conocimiento de cómo resolver problemas que otros no podían, por lo que el secreto era el estilo de la época.

El propio del Ferro casi llevó a su tumba el secreto de cómo resolver cúbicas reducidas, contándoselo como máximo a sólo un pequeño número de amigos cercanos. En su lecho de muerte, se lo dijo una vez más a su discípulo Antonio María Fior. Para Fior, que no era particularmente un buen matemático, este conocimiento era un arma formidable y así, en 1535, desafió a un matemático mucho más conocido e infinitamente más capaz, Niccolo Fontana. Fontana había captado la atención de Fior a raíz de unas declaraciones en las que afirmaba ser capaz de  resolver las cúbicas de la forma x^{3}+px^{2}=q. Fior pensó que Fontana estaba alardeando, y que en realidad no tenía ninguna solución de este tipo, por lo que lo vio como la víctima perfecta, lista para su desplume en un concurso público.

Fontana, más conocido hoy en día como Tartaglia (“el tartamudo”) debido a un defecto del habla causado por una terrible herida de espada en la mandíbula que recibió de un soldado invasor francés cuando tenía doce años, sospechaba que Fior había recibido el secreto de la cúbica reducida de del Ferro. Ante el temor por tales cúbicas y su falta de conocimiento sobre cómo resolverlas, Tartaglia se lanzó con un tremendo esfuerzo en la solución de la cúbica reducida, logrando por sí mismo descubrir la solución de del Ferro para la cúbica x^{3}=px+q. El descubrimiento de Tartaglia, combinado con su habilidad para realmente resolver x^{3}+px^{2}=q (él no había estado alardeando), le permitió finalmente derrotar a Fior. Cada uno propuso al otro treinta problemas: mientras que Fior no pudo resolver ninguno de los de Tartaglia, éste resolvió todos los de Fior.

En la próxima entrada exploraremos la solución de la cúbica general.


Fuente bibliográfica:

  • Paul J. Nahin (1998) An Imaginary Tale. Princeton University Press

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Al final de su libro de 1494, Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalita, que resumía todo el conocimiento de la época sobre aritmética, álgebra (incluidas las ecuaciones cuadráticas) y trigonometría, el fraile franciscano  Luca Pacioli hizo una atrevida afirmación. Aseguró que la solución de la ecuación cúbica era tan imposible en el estado actual de la ciencia como la cuadratura del círculo. Este último problema había estado dando vueltas en la matemática desde la época del matemático griego Hipócrates. La cuadratura del círculo -la construcción utilizando solamente regla y compás de un cuadrado de área igual a la de un círculo dado- había demostrado ser muy difícil, y cuando Pacioli escribió su libro, el problema permanecía sin solución. No fue hasta 1882 que se demostró que realmente la cuadratura del círculo era un problema imposible de resolver, pero veamos qué ocurrió con la solución de la cúbica.

Bastaron tan solo diez años para echar por tierra la afirmación de Pacioli, pues el matemático Scipione del Ferro descubrió cómo resolver la llamada cúbica reducida, un caso de la cúbica general en el que no está presente el término de segundo grado. Veamos entonces qué hizo Del Ferro.

La ecuación cúbica general contiene todas las potencias de la incógnita, es decir, es de la forma

x^{3}+a_{1}x^{2}+a_{2}x+a_{3}=0

donde sin pérdida de generalidad tomamos el coeficiente del término de tercer grado como si fuera igual a 1. En el caso contrario, podríamos dividir toda la ecuación por ese coeficiente, lo que es posible dado que estamos suponiéndolo no nulo.

La cúbica resuelta por Del Ferro, por otro lado, tenía la siguiente forma general

x^{3}+px=q,

donde p y q son no negativos. Cabe recordar que los matemáticos del siglo XVI, incluyendo a Del Ferro, evitaban los coeficientes negativos en sus ecuaciones. Si bien a simple vista parece un sinsentido resolver esta ecuación con el claro objetivo de posteriormente resolver la cúbica general, con el descubrimiento de un ingenioso truco que veremos más adelante, la solución de Del Ferro es general.

De alguna manera Del Ferro se encontró con que la solución de la cúbica reducida podía escribirse como la suma de dos términos, es decir, pudo expresar la incógnita x como x=u+v. Sustituyendo esto en la cúbica reducida, desarrollando y agrupando términos resulta que

u^{3}+v^{3}+(3uv+p)(u+v)=q.

Del Ferro, en un momento de inspiración inexplicable, se dio cuenta de que esta única ecuación, que se ve bastante enmarañada, podía reescribirse mediante dos expresiones individualmente menos complicadas:

3uv+p=0

que implica

u^{3}+v^{3}=q

Resolviendo la primera ecuación para v en términos de p y u, y sustituyendo en la segunda ecuación, obtenemos

u^{6}-qu^{3}-\frac{p^{3}}{27}=0.

A estas alturas el lector pensará que hemos retrocedido varios casilleros en nuestro objetivo, pero en realidad no es así. Si bien la ecuación es de sexto grado, también es cuadrática en u^{3}. Por lo tanto, usando la fórmula para resolver cuadráticas, bien conocida desde los tiempos de los babilonios, tenemos

u^{3}=\frac{q}{2}\pm\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}.

Utilizando sólo la raíz positiva,

u=\sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}.

Ahora, como v^{3}=q-u^{3}, entonces

v=\sqrt[3]{\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}.

Así, una solución de la cúbica reducida x^{3}+px=q es la siguiente temeraria expresión:

x=\sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}.

Alternativamente, y como \sqrt[3]{-1}=-1, en el segundo término de esta expresión se puede sacar un factor -1 de la raíz para producir la fórmula equivalente

x=\sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}-\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}.

Como Del Ferro asumió que p y q eran positivos, es inmediatamente obvio que estas dos expresiones equivalentes para x siempre darán un resultado real. De hecho, si bien sabemos que hay tres soluciones o raíces para cualquier cúbica, no es difícil demostrar que siempre hay exactamente una raíz real positiva y por lo tanto dos raíces complejas de la cúbica de Del Ferro. Veámoslo en más detalle.

Consideremos la función

f(x)=x^{3}+px-q.

El problema de Del Ferro equivale a hallar las raíces de f(x)=0. Ahora, si se calcula la derivada f'(x) de f(x) y recordando que la derivada es la pendiente de la curva f(x), entonces obtendremos

f'(x)=3x^{2}+p,

que siempre es no negativa, pues hemos asumido que p es no negativo. Así, f(x) siempre tiene una pendiente no negativa y por lo tanto nunca decrece cuando x crece. Como f(0)=-q, que nunca es positivo (porque suponemos que q es no negativo), entonces la gráfica de f(x) debe parecerse a la de la Figura 1.

Figura 1

Figura 1

Como vemos la curva cruza el eje x sólo una vez, con lo cual existe una solución real, y el cruce es tal que la raíz nunca es negativa (es cero sólo si q=0).

Del Ferro y sus colegas matemáticos dieron por alcanzado el objetivo, pues sólo estaban al acecho de una raíz real de la cúbica reducida, siempre considerando a p y q no negativos!

En los tiempos actuales podríamos avanzar un poco más. Una vez que tenemos la raíz real de la cúbica de Del Ferro, la búsqueda de las dos raíces complejas no es difícil. Supongamos que denotamos a la raíz real de la ecuación de Del Ferro mediante r_{1}. Entonces podemos factorizar la cúbica como

x(r_{1}+r_{2})+r_{2}r_{3}).

Para hallar las dos raíces adicionales, $latexr_{2}$ y r_{3}, basta entonces aplicar la fórmula cuadrática a

x^{2}-x(r_{1}+r_{2})+r_{2}r_{3}=0.

Sin embargo, como veremos, esta no fue la historia.


Fuente bibliográfica:

  • Paul J. Nahin (1998) An Imaginary Tale. Princeton University Press

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 Un tópico usual en los cursos de Variable Compleja es el análisis del efecto de aplicaciones complejas. En esta oportunidad analizaremos la aplicación que consiste de elevar un número complejo a una potencia entera positiva.

Consideremos entonces la aplicación z\mapsto w=z^{n}, donde n es un entero positivo. Escribiendo z=r e^{i\theta}, la aplicación se convierte en w=r^{n}e^{i n\theta}, es decir, el módulo se eleva a la n-ésima potencia mientras que el ángulo se multiplica por n. La Figura 1 intenta ejemplificar esta situación para n=3, mostrando el efecto de la aplicación en algunos rayos y arcos de círculos centrados en el origen.

https://googledrive.com/host/0BzMIZ3fpzrrCaW1UWk91UkVVVlk/Figura_36.png

Figura 1

Hemos visto ya que las n soluciones de z^{n}=1 son los vértices del n-ágono regular inscripto en el círculo unitario, con uno de sus vértices en 1. Esto puede entenderse más vívidamente a partir de este nuevo punto de vista. Si w=f(z)=z^{n} entonces las soluciones de z^{n}=1 son los puntos en el plano z que son mapeados por f al punto w=1 en el plano w. Imaginemos ahora una partícula en órbita alrededor del círculo unitario (en el plano w), pero con n veces la velocidad angular de la partícula original. Así, cada vez que z ejecute (1/n) de una revolución, w ejecutará una revolución completa y retornará al mismo punto imagen. Con w=1, la Figura 2 muestra esta idea para la aplicación w=f(z)=z^{3}.

Figura 2 - Clic sobre la imagen para explorar

Figura 2 – Clic sobre la imagen para explorar

Por lo tanto, las pre-imágenes de cualquier w dado en la circunferencia unitaria son las sucesivas posiciones de z cuando éste ejecuta reiteradamente (1/n) de una revolución, es decir, serán los vértices de un n-ágono regular.

De manera más general, la Figura 3 muestra cómo resolver z^{3}=c=R e^{i\phi} inscribiendo un triángulo equilátero en la circunferencia \left|z\right|=\sqrt[3]{R}. Bajo el mismo razonamiento, es claro que las soluciones de z^{n}=c son los vértices del n-ágono regular inscripto en la circunferencia \left|z\right|=\sqrt[n]{R}, con un vértice en ángulo \phi/n.

Figura 3 - Clic sobre la imagen para explorar

Figura 3 – Clic sobre la imagen para explorar

Para arribar al mismo resultado simbólicamente, notemos en primer lugar que si \phi es un valor de \mbox{arg }c, entonces el conjunto completo de posibles ángulos para c es (\phi+2m\pi), donde m es un entero arbitrario. Tomando z=r e^{i\theta},

r^{n}e^{i n\theta}=z^{n}=c=R e^{i(\phi+2m\pi)}\Rightarrow r^{n}=R\mbox{ y }n\theta=\phi+2m\pi,

de modo que las soluciones son z_{m}=\sqrt[n]{R}\ e^{i(\phi+2m\pi)/n}. Cada vez que aumentamos m en 1, z_{m} es rotado por (1/n) de una revolución (puesto que z_{m+1}=e^{2\pi i/n}z_{m}), produciendo los vértices de un n-ágono regular. Así, el conjunto completo de soluciones será obtenido si hacemos que m tome cualesquiera n valores consecutivos, digamos m=0, 1, 2, ..., (n-1).

Espero que estas ideas ayuden a interpretar geométricamente lo que significa elevar números complejos a una potencia entera positiva, y además entender qué implica hallar las raíces de la unidad.


Fuente bibliográfica:

  • Tristan Needham (1997) Visual Complex Analysis. Oxford University Press

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