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Archive for 5/05/14

En “Movimientos… directo u opuesto?” hemos establecido una clasificación de los movimientos del plano. A pesar de que se expresó allí que nuestra mayor preocupación se centra en los movimientos directos, podemos obtener una visión más profunda de ellos mediante el estudio de los movimientos opuestos a partir de los cuales se construyen los movimientos directos. Este será entonces el objetivo aquí. Más precisamente,

 Cada movimiento directo es la composición de dos reflexiones.

Tenga en cuenta que la segunda frase dada al caracterizar un movimiento opuesto en “Movimientos… directo u opuesto?”:

Por otra parte, \widetilde{\mathcal{M}}=(\mathcal{M} seguida de la

reflexión respecto de la recta A'B')

implica entonces que cada movimiento opuesto es la composición de tres reflexiones. Más brevemente, cada movimiento es la composición de dos o tres reflexiones, un resultado que se conoce como el Teorema de las Tres Reflexiones.

Hemos tratado de demostrar también en la entrada anterior que el conjunto de los movimientos forma un grupo, pero no estaba claro que cada movimiento tiene una inversa. El Teorema de las Tres Reflexiones afirma esto de forma clara y explícita, pues la inversa de una sucesión de reflexiones se obtiene invirtiendo el orden en el que se realizan las reflexiones.

En lo que sigue, sea \mathcal{R}_{L} la reflexión respecto de la recta L. Por lo tanto, la reflexión respecto de L_{1} seguida por la reflexión respecto de L_{2} se escribe como \mathcal{R}_{L_{2}}\circ\mathcal{R}_{L_{1}}. Dado que “Cada movimiento directo es una rotación, o de lo contrario (excepcionalmente) una traslación”, de lo enunciado anteriormente resulta que toda rotación (y toda traslación) es de la forma \mathcal{R}_{L_{2}}\circ\mathcal{R}_{L_{1}}. Esto es una consecuencia inmediata de los siguientes hechos:

 Si L_{1} y L_{2} se intersectan en O, y el ángulo entre L_{1} y L_{2} es \phi, entonces \mathcal{R}_{L_{2}}\circ\mathcal{R}_{L_{1}} es una rotación de ángulo 2\phi alrededor de O.

y

Si L_{1} y L_{2} son paralelas, y \textbf{V} es el vector perpendicular que conecta L_{1} con L_{2}, entonces \mathcal{R}_{L_{2}}\circ\mathcal{R}_{L_{1}} es una traslación por 2\textbf{V}

Ambos resultados son bastante fáciles de demostrar directamente, pero lo que sigue quizás resulte más elegante.

En primer lugar, como \mathcal{R}_{L_{2}}\circ\mathcal{R}_{L_{1}} es un movimiento directo (porque invierte ángulos dos veces), o bien es una rotación o es una traslación. En segundo lugar, debemos tener en cuenta que las rotaciones y las traslaciones pueden ser distinguidas por sus curvas invariantes, es decir, las curvas que se mapean a sí mismas. Para una rotación alrededor de un punto O, las curvas invariantes son los círculos centrados en O, mientras que para una traslación son rectas paralelas a la traslación.

Ahora veamos la Figura 1. Claramente \mathcal{R}_{L_{2}}\circ\mathcal{R}_{L_{1}} deja invariante cualquier círculo con centro en O, por lo que es una rotación alrededor de O. Para ver que el ángulo de la rotación es 2\phi, consideremos la imagen P' de cualquier punto P en L_{1}. Listo!!!

Figura 1

Figura 1

Ahora miremos la Figura 2. Claramente \mathcal{R}_{L_{2}}\circ\mathcal{R}_{L_{1}} deja invariante cualquier recta perpendicular a L_{1} y L_{2}, por lo que es una traslación paralela a dichas rectas. Para ver que la traslación es de 2\textbf{V}, consideremos la imagen P' de cualquier punto P en L_{1}. Listo!!!

Figura 2

Figura 2

Tenga en cuenta que una rotación de ángulo \theta se puede representar como \mathcal{R}_{L_{2}}\circ\mathcal{R}_{L_{1}}, donde L_{1}, L_{2} es cualquier par de rectas que pasan a través del centro de rotación y que contienen un ángulo (\theta/2). Del mismo modo, una traslación por \textbf{T} corresponde a cualquier par de rectas paralelas separadas \textbf{T}/2. Esta circunstancia da un método muy elegante para componer rotaciones y traslaciones.

Por ejemplo, consideremos la Figura 3. Aquí una rotación alrededor de a con ángulo \theta está siendo representada como \mathcal{R}_{L_{2}}\circ\mathcal{R}_{L_{1}}, y una rotación alrededor de b de ángulo \phi se representa como \mathcal{R}_{L'_{2}}\circ\mathcal{R}_{L'_{1}}.

Figura 3

Figura 3

Para encontrar el efecto neto de rotar alrededor de a y luego alrededor de b, elegimos L_{2}=L'_{1} como la recta a través de a y b. Si \theta+\phi\neq2\pi, entonces L_{1} y L'_{2} se cortarán en algún punto c, como en la Figura 4. Por lo tanto la composición de las dos rotaciones está dada por

(\mathcal{R}_{L'_{2}}\circ\mathcal{R}_{L'_{1}}.)\circ(\mathcal{R}_{L_{2}}\circ\mathcal{R}_{L_{1}})=\mathcal{R}_{L'_{2}}\circ\mathcal{R}_{L_{1}},

que es una rotación en torno a c de ángulo (\theta+\phi)!!!

Figura 4

Figura 4

Información más detallada del Teorema de las Tres Reflexiones puede encontrarse en el libro Geometry of Surfaces de John Stillwell.


Fuente bibliográfica:

  • Tristan Needham (1997) Visual Complex Analysis. Oxford University Press

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