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Archive for 9/05/14

Echemos un vistazo más de cerca al papel de la distancia en la geometría euclidiana. Supongamos que tenemos dos triángulos rectángulos T y \tilde{T} dibujados en el mismo plano, y supongamos que Jack mide T mientras Jill mide \tilde{T}. Si Jack y Jill informan que sus triángulos tienen lados de medida 3, 4 y 5, entonces se tiene la tentación de decir que se trata de los mismos  triángulos, en el sentido de que existe un movimiento \mathcal{M} tal que \tilde{T}=\mathcal{M}(T). ¡Pero espere! Supongamos que la regla de Jack está marcada en centímetros, mientras que la de Jill está marcada en pulgadas. Los dos triángulos son semejantes, pero no son congruentes. ¿Cuál es el “verdadero” triángulo de 3, 4, 5? Por supuesto que ambos lo son.

El punto es que cuando hablamos numéricamente de distancias, estamos presuponiendo una unidad de medida. Esta puede ser representada como una cierta línea-segmento  U, y cuando decimos, por ejemplo, que algún otro segmento tiene una longitud igual a 5 nos referimos a que precisamente se pueden superponer sobre él 5 copias de U. Pero en nuestro plano plano cualquier elección de U es tan buena como cualquier otra -no existe una unidad de medida absoluta, y nuestros teoremas geométricos deben reflejar ese hecho.

Meditando sobre esto, reconocemos de hecho que los teoremas euclidianos no dependen de esta elección (arbitraria) de U, porque ellos sólo se ocupan de las razones de las longitudes, que son independientes de U. Por ejemplo, Jack puede verificar que su triángulo T satisface  el Teorema de Pitágoras escribiendo

(3\mbox{ cm})^{2}+(4\mbox{ cm})^{2}=(5\mbox{ cm})^{2},

pero, dividiendo ambos miembros por (5\mbox{ cm})^{2}, esto puede ser reescrito en términos de las razones de los lados, que son números puros:

(3/5)^{2}+(4/5)^{2}=1.

Dado que los teoremas de la geometría euclidiana no se preocupan de los tamaños reales de las figuras, nuestra definición anterior de  igualdad geométrica en términos de movimientos es claramente demasiado restrictiva: dos figuras deben ser consideradas las mismas si son semejantes. Más precisamente, ahora consideramos que dos figuras son la misma si existe un mapeo semejante de una a la otra, donde

Una semejanza \mathcal{S} es un mapeo del plano en sí mismo que preserva razones de distancias.

Es fácil ver que una semejanza \mathcal{S} dada expande cada distancia por un mismo factor (no-nulo) r, que vamos a llamar la expansión de \mathcal{S}. Por tanto, podemos refinar nuestra notación incluyendo la expansión como un exponente, de modo que una semejanza general de expansión r se escribe como \mathcal{S}^{r}. Es evidente que: la transformación identidad es una semejanza, \mathcal{S}^{k}\circ\mathcal{S}^{r}=\mathcal{S}^{kr}, y (\mathcal{S}^{r})^{-1}=\mathcal{S}^{(1/r)}, por lo que es bastante claro que el conjunto de todas las semejanzas forma un grupo. Llegamos así a la definición de la geometría euclidiana que Klein dio en su discurso de Erlangen:

La geometría euclidiana es el estudio de las propiedades de las figuras geométricas que son invariantes bajo el grupo de las semejanzas.

Dado que los movimientos son sólo las semejanzas \mathcal{S}^{1} de expansión unitaria, el grupo de los movimientos es un subgrupo del grupo de semejanzas; nuestro intento anterior de definir la geometría euclidiana, por tanto, conduce a una “subgeometría” de la geometría definida en el párrafo anterior.

Un ejemplo simple de una semejanza \mathcal{S}^{r} es una dilatación central \mathcal{D}_{o}^{r}. Como se ilustra en la Figura 1, ésta deja o fijo y extiende radialmente cada segmento oA por r.

Figura 1

Figura 1

Tenga en cuenta que la inversa de una dilatación central es otra dilatación central con el mismo centro: \left(\mathcal{D}_{o}^{r}\right)^{-1}=\mathcal{D}_{o}^{(1/r)}. Si esta dilatación central es seguida por (o precedida por) una rotación \mathcal{R}_{o}^{\theta} con el mismo centro, entonces se obtiene la rotación dilatada

\mathcal{D}_{o}^{r,\theta}\equiv\mathcal{R}_{o}^{\theta}\circ\mathcal{D}_{o}^{r}=\mathcal{D}_{o}^{r}\circ\mathcal{R}_{o}^{\theta},

que se muestra en la Figura 2. Tenga en cuenta que una dilatación central puede ser vista como un caso especial de una rotación dilatada: \mathcal{D}_{o}^{r}=\mathcal{D}_{o}^{r,0}.

Figura 2

Figura 2

Esta figura debe estar haciendo sonar ruidosas campanas. Tómese o como el origen de \mathbb{C}. Recordemos que en Aritmética simbólica “versus” aritmética geométrica dijimos que

Geométricamente, la multiplicación por un número complejo A=R\angle\phi es una rotación del plano a través de un ángulo \phi, y una expansión del plano por el factor R.

lo que nos dice que \mathcal{D}_{o}^{r,\theta} corresponde a la multiplicación por r e^{i\theta}:

\mathcal{D}_{o}^{r,\theta}(z)=\left(r e^{i\theta}\right)z.

Recíprocamente, y este es el punto clave, la regla para la multiplicación compleja puede ser vista como una consecuencia del comportamiento de rotaciones dilatadas.

Concentrémonos en el conjunto de rotaciones dilatadas con un centro común fijo o, que se considerará como el origen del plano complejo. Cada \mathcal{D}_{o}^{r,\theta} está determinada de forma única por su expansión r y rotación \theta, y así puede ser representada por un vector de longitud r en ángulo \theta. Del mismo modo, \mathcal{D}_{o}^{R,\phi} se puede representar por un vector de longitud R en ángulo \phi. ¿Qué vector representará la composición de estas rotaciones dilatadas? Geométricamente, está claro que

\mathcal{D}_{o}^{R,\phi}\circ\mathcal{D}_{o}^{r,\theta}=\mathcal{D}_{o}^{r,\theta}\circ\mathcal{D}_{o}^{R,\phi}=\mathcal{D}_{o}^{Rr,\theta+\phi},

por lo que el nuevo vector se obtiene a partir de los vectores originales multiplicando sus longitudes y sumando sus ángulos -la multiplicación compleja!

En Geometría asistida por complejos hemos visto que si los números complejos son considerados como traslaciones entonces la composición conduce a la adición compleja. Ahora vemos que si en cambio los números complejos son considerados como rotaciones dilatadas entonces la composición conduce a la multiplicación compleja. Para completar nuestra “explicación” de los números complejos en términos geométricos, vamos a demostrar que estas traslaciones y rotaciones dilatadas son fundamentales para la geometría euclidiana definida como arriba.

Para comprender la semejanza general \mathcal{S}^{r} involucrada en la definición de geometría euclidiana dada notemos que si p es un punto arbitrario, \mathcal{M}\equiv\mathcal{S}^{r}\circ\mathcal{D}_{p}^{(1/r)} es un movimiento. Así, cualquier semejanza es la composición de una dilatación y un movimiento:

\mathcal{S}^{r}=\mathcal{M}\circ\mathcal{D}_{p}^{r}.

Nuestra clasificación de los movimientos en Movimientos… directo u opuesto?, por tanto, implica que las semejanzas son de dos tipos: si \mathcal{M} preserva ángulos entonces lo hará \mathcal{S}^{r} [una semejanza directa]; si \mathcal{M} invierte ángulos entonces también lo hará \mathcal{S}^{r} [una semejanza opuesta].

Del mismo modo que nos concentramos en el grupo de los movimientos directos, ahora vamos a concentrarnos en el grupo de semejanzas directas. El papel fundamental de las traslaciones y las rotaciones dilatadas en la geometría euclidiana finalmente emerge en el siguiente sorprendente teorema:

Toda semejanza directa es una rotación dilatada o (excepcionalmente) una traslación.

Para comenzar a entender esta última afirmación acerca de la semejanza directa, observemos que en Movimientos… directo u opuesto? dijimos que

Hay exactamente un movimiento directo \mathcal{M} (y exactamente un movimiento opuesto \widetilde{\mathcal{M}}) que mapea un segmento de recta dado AB en otro segmento de recta A'B' de igual longitud. Por otra parte, \widetilde{\mathcal{M}}=(\mathcal{M} seguida de la reflexión respecto de la recta A'B'

y vimos aquí que \mathcal{S}^{r}=\mathcal{M}\circ\mathcal{D}_{p}^{r}, lo que implica que una semejanza directa está determinada por la imagen A'B' de cualquier segmento de recta AB. Primero consideremos el caso excepcional en el que A'B' y AB son de igual longitud. Tenemos pues tres casos presentados en la Figura 3, todos ellos consistentes con la afirmación acerca de la semejanza directa.

Figura 3

Figura 3

Por otro lado, si A'B' y AB son paralelos, pero no de la misma longitud, entonces tenemos los dos casos que aparecen en las Figuras 4 y 5, en los cuales hemos dibujado las líneas AA' y BB' de modo que se crucen en p. Al apelar a los triángulos semejantes en estas figuras, vemos que en la Figura 4 la semejanza es \mathcal{D}_{p}^{r,0}, mientras que en la Figura 5 es \mathcal{D}_{p}^{r,\pi}, donde en ambos casos r=(pA'/pA)=(pB'/pB).

Figura 4

Figura 4

Figura 5

Figura 5

Consideremos ahora el caso general mucho más interesante donde A'B' y AB no tienen la misma longitud y tampoco son paralelos. Echemos un vistazo a la Figura 6, que ilustra esto. Aquí n es el punto de intersección de los dos segmentos (producidos de ser necesario), y \theta es el ángulo entre ellos. Para esclarecer nuestra afirmación respecto de la semejanza directa tenemos que demostrar que podemos llevar AB a A'B' con una sola rotación dilatada. Por el momento, observemos que para que AB tenga la misma dirección que A'B' bastaría girarlo \theta, por lo que la afirmación es realmente la siguiente: Existe un punto q, y un factor de expansión r, tal que \mathcal{D}_{q}^{r,\theta} lleva  A en A' y B en $latexB’$.

Figura 6

Figura 6

Consideremos la parte de la Figura 6 que se reproduce en la Figura 7. Claramente, tomando r=(nA'/nA), \mathcal{D}_{n}^{r,\theta} aplicará A en A'. Más generalmente, vemos que podemos mapear A en A' con \mathcal{D}_{q}^{r,\theta} si y sólo si AA' subtiende el ángulo \theta en $q$. Así, con el valor apropiado de r, \mathcal{D}_{q}^{r,\theta} mapea A en A' si y sólo si q se encuentra en el arco circular AnA'. La figura ilustra una de estas posiciones, q = m. Antes de regresar a la Figura 6 tenemos que notar una cosa más: mA subtiende el mismo ángulo (marcado con \bullet) en n y A'.

Figura 7

Figura 7

Volvamos a la Figura 6. Queremos \mathcal{D}_{q}^{r,\theta} para mapear A en A' y B en B'. De acuerdo con el argumento anterior, q debe estar sobre el arco circular de AnA' y en el arco circular BnB '. Así, hay sólo dos posibilidades: q = n o q = m (el otro punto de intersección de los dos arcos). Si lo pensamos bien, este es un momento de gran dramatismo. Hemos reducido las posibilidades para q a sólo dos puntos considerando sólo un ángulo; para cualquiera de estos dos puntos podemos elegir el valor de la expansión r con el fin de llevar A en A', pero, una vez que esta opción ha sido hecha, B se mapeará en B' o no! Por otra parte, se desprende de la figura que si q=n entonces B no se mapeará en B', por lo que q = m es la única posibilidad que queda.

Para que \mathcal{D}_{m}^{r,\theta} aplique simultáneamente A en A' y B en B', tenemos que tener r = (mA'/ mA) = (mB'/mB); es decir, los dos triángulos sombreados deben ser semejantes. Que de hecho son semejantes es sin duda una especie de milagro. En cuanto a los ángulos formados por n, vemos que \theta+\odot+\bullet=\pi, y el resultado se sigue inmediatamente al pensar al miembro derecho como el ángulo suma de cada uno de los dos triángulos sombreados. Esto completa la demostración de nuestra afirmación sobre semejanza directa.

El lector puede sentir que es insatisfactorio que toda semejanza directa exija rotaciones dilatadas alrededor de puntos arbitrarios, mientras que los números complejos representan rotaciones dilatadas alrededor de un punto fijo o (el origen). Esto puede ser respondido notando que las imágenes de AB bajo \mathcal{D}_{q}^{r,\theta} y \mathcal{D}_{o}^{r,\theta} serán paralelas y de igual longitud, por lo que existirá una traslación \mathcal{T}_{v} aplicando uno sobre el otro. En otras palabras, en general una rotación dilatada difiere de una rotación dilatada centrada en el origen por una mera traslación: \mathcal{D}_{q}^{r,\theta}=\mathcal{T}_{v}\circ\mathcal{D}_{o}^{r,\theta}. En resumen,

Cada semejanza directa \mathcal{S}^{r} puede expresarse como una función compleja de la forma de \mathcal{S}^{r}(z)=r e^{i\theta}z+v.


Fuente bibliográfica:

  • Tristan Needham (1997) Visual Complex Analysis. Oxford University Press

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