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Archive for 16/05/14

 Un tópico usual en los cursos de Variable Compleja es el análisis del efecto de aplicaciones complejas. En esta oportunidad analizaremos la aplicación que consiste de elevar un número complejo a una potencia entera positiva.

Consideremos entonces la aplicación z\mapsto w=z^{n}, donde n es un entero positivo. Escribiendo z=r e^{i\theta}, la aplicación se convierte en w=r^{n}e^{i n\theta}, es decir, el módulo se eleva a la n-ésima potencia mientras que el ángulo se multiplica por n. La Figura 1 intenta ejemplificar esta situación para n=3, mostrando el efecto de la aplicación en algunos rayos y arcos de círculos centrados en el origen.

https://googledrive.com/host/0BzMIZ3fpzrrCaW1UWk91UkVVVlk/Figura_36.png

Figura 1

Hemos visto ya que las n soluciones de z^{n}=1 son los vértices del n-ágono regular inscripto en el círculo unitario, con uno de sus vértices en 1. Esto puede entenderse más vívidamente a partir de este nuevo punto de vista. Si w=f(z)=z^{n} entonces las soluciones de z^{n}=1 son los puntos en el plano z que son mapeados por f al punto w=1 en el plano w. Imaginemos ahora una partícula en órbita alrededor del círculo unitario (en el plano w), pero con n veces la velocidad angular de la partícula original. Así, cada vez que z ejecute (1/n) de una revolución, w ejecutará una revolución completa y retornará al mismo punto imagen. Con w=1, la Figura 2 muestra esta idea para la aplicación w=f(z)=z^{3}.

Figura 2 - Clic sobre la imagen para explorar

Figura 2 – Clic sobre la imagen para explorar

Por lo tanto, las pre-imágenes de cualquier w dado en la circunferencia unitaria son las sucesivas posiciones de z cuando éste ejecuta reiteradamente (1/n) de una revolución, es decir, serán los vértices de un n-ágono regular.

De manera más general, la Figura 3 muestra cómo resolver z^{3}=c=R e^{i\phi} inscribiendo un triángulo equilátero en la circunferencia \left|z\right|=\sqrt[3]{R}. Bajo el mismo razonamiento, es claro que las soluciones de z^{n}=c son los vértices del n-ágono regular inscripto en la circunferencia \left|z\right|=\sqrt[n]{R}, con un vértice en ángulo \phi/n.

Figura 3 - Clic sobre la imagen para explorar

Figura 3 – Clic sobre la imagen para explorar

Para arribar al mismo resultado simbólicamente, notemos en primer lugar que si \phi es un valor de \mbox{arg }c, entonces el conjunto completo de posibles ángulos para c es (\phi+2m\pi), donde m es un entero arbitrario. Tomando z=r e^{i\theta},

r^{n}e^{i n\theta}=z^{n}=c=R e^{i(\phi+2m\pi)}\Rightarrow r^{n}=R\mbox{ y }n\theta=\phi+2m\pi,

de modo que las soluciones son z_{m}=\sqrt[n]{R}\ e^{i(\phi+2m\pi)/n}. Cada vez que aumentamos m en 1, z_{m} es rotado por (1/n) de una revolución (puesto que z_{m+1}=e^{2\pi i/n}z_{m}), produciendo los vértices de un n-ágono regular. Así, el conjunto completo de soluciones será obtenido si hacemos que m tome cualesquiera n valores consecutivos, digamos m=0, 1, 2, ..., (n-1).

Espero que estas ideas ayuden a interpretar geométricamente lo que significa elevar números complejos a una potencia entera positiva, y además entender qué implica hallar las raíces de la unidad.


Fuente bibliográfica:

  • Tristan Needham (1997) Visual Complex Analysis. Oxford University Press

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