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Archive for 12 mayo 2014

Una función compleja f es una regla que asigna a un número complejo z un número complejo imagen w = f (z). Con el fin de investigar estas funciones es esencial que seamos capaces de visualizarlas. Existen varios métodos para hacer esto, pero por el momento nos centraremos casi exclusivamente en el método introducido en las entradas anteriores. Es decir, vamos a ver a z y a su imagen w como puntos en el plano complejo, de modo que f se convierte en una transformación del plano.

Por convención, los puntos imagen w se dibujan en una copia nueva de \mathbb{C}, llamada el plano imagen o el plano w. Esta convención se ilustra en la Figura 1, que representa la transformación que aplica z\mapsto w=f(z)=(1+i\sqrt{3})z.

Figura 1

Figura 1

Por lo general, las partes real e imaginaria de z se denotan con x e y, y las del punto imagen w se denotan con u y v, de modo que w=f(z)=u(z)+i v(z), donde u(z) y v(z) son funciones reales de z. Las formas precisas de estas funciones dependerán de si describimos z con coordenadas cartesianas o polares. Por ejemplo, escribiendo z = x + iy en el ejemplo anterior resulta

u(x+iy)=x-\sqrt{3}y

v(x+i y)=\sqrt{3}x+y

mientras que escribiendo z=r e^{i\theta} y (1+i\sqrt{3})=2 e^{i\pi/3} tenemos

u(r e^{i\theta})=2r\cos\left[\theta+\frac{\pi}{3}\right]

v(r e^{i\theta})=2r\sin\left[\theta+\frac{\pi}{3}\right].

Por supuesto, también podemos escribir el plano w en coordenadas polares de modo que w=f(z)=R e^{i\phi}, donde R(z) y \phi(z) son funciones reales de z. Considerando el ejemplo anterior tenemos

R(r e^{i\theta})=2r

\phi(r e^{i\theta})=\theta+\frac{\pi}{3}

Veremos que podremos lograr una considerable luz respecto de la performance de la función f si dibujamos su efecto sobre puntos, curvas y distintas figuras. Sin embargo, sería bueno si pudieramos simultáneamente captar el comportamiento de f para todos los valores de z. Un método para alcanzar este objetivo es representar a f a través de su campo vectorial, donde f(z) se dibuja como un vector que va desde el punto z hacia el punto f(z). Pero dejaremos esto para más adelante.

Y si graficamos como siempre?

Otros métodos para visualizar funciones se basan en la idea de grafo. En el caso de una función real f(x) de una variable real x estamos acostumbrados a la conveniencia de visualizar la conducta completa de f mediante su grafo, es decir, la curva en el plano bidimensional xy configurada por los puntos (x,f(x)). En el caso de una función compleja este acercamiento no parece posible dado que para representar el par de números complejos (z,f(z)) necesitaríamos contar con cuatro dimensiones: dos para z=x+i y y dos para f(z)=u+i v.

En realidad, la situación no es tan desesperante como parece. En primer lugar debemos notar que aunque se necesita un espacio bidimensional para dibujar el grafo de una función real f, el grafo en sí [el conjunto de puntos (x,f(x))] es tan sólo una curva unidimensional, lo que signifca que sólo se necesita un número real (digamos x) para identificar cada punto dentro de ella. De la misma manera, aunque se necesita un espacio de cuatro dimensiones para dibujar el conjunto de puntos con coordenadas (x,y,u,v)=(z,f(z)), el grafo en sí mismo es bidimensional, lo que significa que sólo se necesitan dos números reales (digamos x e y) para identificar cada punto en él. Así, intrínsecamente, el grafo de una función compleja es simplemente una superficie bidimensional (también conocida como superficie de Riemann), y es por tanto suceptible de ser visualizada en el espacio ordinario tridimensional. Este enfoque es particularmente interesante y en un futuro se espera abordarlo en este sitio.

Pero también hay otra salida…

Existe otro tipo de grafo de una función compleja que es útil en muchas ocasiones. La imagen f(z) de un punto z puede ser descrita mediante su distancia \left|f(z)\right| desde el origen, y el ángulo \mbox{arg}[f(z)] que forma con el eje real. Vamos a descartar la mitad de esta información (el ángulo) y trataremos de describir cómo el módulo \left|f(z)\right| varía con z.

Para ello, imaginemos el plano complejo z viviendo horizontalmente en el espacio, y construyamos un punto de altura \left|f(z)\right| verticalmente sobre cada punto z en el plano, produciendo así una superficie conocida como superficie modular de f. La Figura 2 ilustra la superficie modular cónica de la función f(z)=z, mientras que la Figura 3  ilustra la superficie modular paraboloide de f(z)=z^{2}.

Figura 2 - Clic sobre la imagen para explorar

Figura 2 – Clic sobre la imagen para explorar

Figura 3 - Clic sobre la imagen para explorar

Figura 3 – Clic sobre la imagen para explorar

Como vemos, existen varias alternativas para intentar comprender el comportamiento de una función compleja. Ahondaremos en ello en sucesivas entradas.


Fuente bibliográfica:

  • Tristan Needham (1997) Visual Complex Analysis. Oxford University Press

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Echemos un vistazo más de cerca al papel de la distancia en la geometría euclidiana. Supongamos que tenemos dos triángulos rectángulos T y \tilde{T} dibujados en el mismo plano, y supongamos que Jack mide T mientras Jill mide \tilde{T}. Si Jack y Jill informan que sus triángulos tienen lados de medida 3, 4 y 5, entonces se tiene la tentación de decir que se trata de los mismos  triángulos, en el sentido de que existe un movimiento \mathcal{M} tal que \tilde{T}=\mathcal{M}(T). ¡Pero espere! Supongamos que la regla de Jack está marcada en centímetros, mientras que la de Jill está marcada en pulgadas. Los dos triángulos son semejantes, pero no son congruentes. ¿Cuál es el “verdadero” triángulo de 3, 4, 5? Por supuesto que ambos lo son.

El punto es que cuando hablamos numéricamente de distancias, estamos presuponiendo una unidad de medida. Esta puede ser representada como una cierta línea-segmento  U, y cuando decimos, por ejemplo, que algún otro segmento tiene una longitud igual a 5 nos referimos a que precisamente se pueden superponer sobre él 5 copias de U. Pero en nuestro plano plano cualquier elección de U es tan buena como cualquier otra -no existe una unidad de medida absoluta, y nuestros teoremas geométricos deben reflejar ese hecho.

Meditando sobre esto, reconocemos de hecho que los teoremas euclidianos no dependen de esta elección (arbitraria) de U, porque ellos sólo se ocupan de las razones de las longitudes, que son independientes de U. Por ejemplo, Jack puede verificar que su triángulo T satisface  el Teorema de Pitágoras escribiendo

(3\mbox{ cm})^{2}+(4\mbox{ cm})^{2}=(5\mbox{ cm})^{2},

pero, dividiendo ambos miembros por (5\mbox{ cm})^{2}, esto puede ser reescrito en términos de las razones de los lados, que son números puros:

(3/5)^{2}+(4/5)^{2}=1.

Dado que los teoremas de la geometría euclidiana no se preocupan de los tamaños reales de las figuras, nuestra definición anterior de  igualdad geométrica en términos de movimientos es claramente demasiado restrictiva: dos figuras deben ser consideradas las mismas si son semejantes. Más precisamente, ahora consideramos que dos figuras son la misma si existe un mapeo semejante de una a la otra, donde

Una semejanza \mathcal{S} es un mapeo del plano en sí mismo que preserva razones de distancias.

Es fácil ver que una semejanza \mathcal{S} dada expande cada distancia por un mismo factor (no-nulo) r, que vamos a llamar la expansión de \mathcal{S}. Por tanto, podemos refinar nuestra notación incluyendo la expansión como un exponente, de modo que una semejanza general de expansión r se escribe como \mathcal{S}^{r}. Es evidente que: la transformación identidad es una semejanza, \mathcal{S}^{k}\circ\mathcal{S}^{r}=\mathcal{S}^{kr}, y (\mathcal{S}^{r})^{-1}=\mathcal{S}^{(1/r)}, por lo que es bastante claro que el conjunto de todas las semejanzas forma un grupo. Llegamos así a la definición de la geometría euclidiana que Klein dio en su discurso de Erlangen:

La geometría euclidiana es el estudio de las propiedades de las figuras geométricas que son invariantes bajo el grupo de las semejanzas.

Dado que los movimientos son sólo las semejanzas \mathcal{S}^{1} de expansión unitaria, el grupo de los movimientos es un subgrupo del grupo de semejanzas; nuestro intento anterior de definir la geometría euclidiana, por tanto, conduce a una “subgeometría” de la geometría definida en el párrafo anterior.

Un ejemplo simple de una semejanza \mathcal{S}^{r} es una dilatación central \mathcal{D}_{o}^{r}. Como se ilustra en la Figura 1, ésta deja o fijo y extiende radialmente cada segmento oA por r.

Figura 1

Figura 1

Tenga en cuenta que la inversa de una dilatación central es otra dilatación central con el mismo centro: \left(\mathcal{D}_{o}^{r}\right)^{-1}=\mathcal{D}_{o}^{(1/r)}. Si esta dilatación central es seguida por (o precedida por) una rotación \mathcal{R}_{o}^{\theta} con el mismo centro, entonces se obtiene la rotación dilatada

\mathcal{D}_{o}^{r,\theta}\equiv\mathcal{R}_{o}^{\theta}\circ\mathcal{D}_{o}^{r}=\mathcal{D}_{o}^{r}\circ\mathcal{R}_{o}^{\theta},

que se muestra en la Figura 2. Tenga en cuenta que una dilatación central puede ser vista como un caso especial de una rotación dilatada: \mathcal{D}_{o}^{r}=\mathcal{D}_{o}^{r,0}.

Figura 2

Figura 2

Esta figura debe estar haciendo sonar ruidosas campanas. Tómese o como el origen de \mathbb{C}. Recordemos que en Aritmética simbólica “versus” aritmética geométrica dijimos que

Geométricamente, la multiplicación por un número complejo A=R\angle\phi es una rotación del plano a través de un ángulo \phi, y una expansión del plano por el factor R.

lo que nos dice que \mathcal{D}_{o}^{r,\theta} corresponde a la multiplicación por r e^{i\theta}:

\mathcal{D}_{o}^{r,\theta}(z)=\left(r e^{i\theta}\right)z.

Recíprocamente, y este es el punto clave, la regla para la multiplicación compleja puede ser vista como una consecuencia del comportamiento de rotaciones dilatadas.

Concentrémonos en el conjunto de rotaciones dilatadas con un centro común fijo o, que se considerará como el origen del plano complejo. Cada \mathcal{D}_{o}^{r,\theta} está determinada de forma única por su expansión r y rotación \theta, y así puede ser representada por un vector de longitud r en ángulo \theta. Del mismo modo, \mathcal{D}_{o}^{R,\phi} se puede representar por un vector de longitud R en ángulo \phi. ¿Qué vector representará la composición de estas rotaciones dilatadas? Geométricamente, está claro que

\mathcal{D}_{o}^{R,\phi}\circ\mathcal{D}_{o}^{r,\theta}=\mathcal{D}_{o}^{r,\theta}\circ\mathcal{D}_{o}^{R,\phi}=\mathcal{D}_{o}^{Rr,\theta+\phi},

por lo que el nuevo vector se obtiene a partir de los vectores originales multiplicando sus longitudes y sumando sus ángulos -la multiplicación compleja!

En Geometría asistida por complejos hemos visto que si los números complejos son considerados como traslaciones entonces la composición conduce a la adición compleja. Ahora vemos que si en cambio los números complejos son considerados como rotaciones dilatadas entonces la composición conduce a la multiplicación compleja. Para completar nuestra “explicación” de los números complejos en términos geométricos, vamos a demostrar que estas traslaciones y rotaciones dilatadas son fundamentales para la geometría euclidiana definida como arriba.

Para comprender la semejanza general \mathcal{S}^{r} involucrada en la definición de geometría euclidiana dada notemos que si p es un punto arbitrario, \mathcal{M}\equiv\mathcal{S}^{r}\circ\mathcal{D}_{p}^{(1/r)} es un movimiento. Así, cualquier semejanza es la composición de una dilatación y un movimiento:

\mathcal{S}^{r}=\mathcal{M}\circ\mathcal{D}_{p}^{r}.

Nuestra clasificación de los movimientos en Movimientos… directo u opuesto?, por tanto, implica que las semejanzas son de dos tipos: si \mathcal{M} preserva ángulos entonces lo hará \mathcal{S}^{r} [una semejanza directa]; si \mathcal{M} invierte ángulos entonces también lo hará \mathcal{S}^{r} [una semejanza opuesta].

Del mismo modo que nos concentramos en el grupo de los movimientos directos, ahora vamos a concentrarnos en el grupo de semejanzas directas. El papel fundamental de las traslaciones y las rotaciones dilatadas en la geometría euclidiana finalmente emerge en el siguiente sorprendente teorema:

Toda semejanza directa es una rotación dilatada o (excepcionalmente) una traslación.

Para comenzar a entender esta última afirmación acerca de la semejanza directa, observemos que en Movimientos… directo u opuesto? dijimos que

Hay exactamente un movimiento directo \mathcal{M} (y exactamente un movimiento opuesto \widetilde{\mathcal{M}}) que mapea un segmento de recta dado AB en otro segmento de recta A'B' de igual longitud. Por otra parte, \widetilde{\mathcal{M}}=(\mathcal{M} seguida de la reflexión respecto de la recta A'B'

y vimos aquí que \mathcal{S}^{r}=\mathcal{M}\circ\mathcal{D}_{p}^{r}, lo que implica que una semejanza directa está determinada por la imagen A'B' de cualquier segmento de recta AB. Primero consideremos el caso excepcional en el que A'B' y AB son de igual longitud. Tenemos pues tres casos presentados en la Figura 3, todos ellos consistentes con la afirmación acerca de la semejanza directa.

Figura 3

Figura 3

Por otro lado, si A'B' y AB son paralelos, pero no de la misma longitud, entonces tenemos los dos casos que aparecen en las Figuras 4 y 5, en los cuales hemos dibujado las líneas AA' y BB' de modo que se crucen en p. Al apelar a los triángulos semejantes en estas figuras, vemos que en la Figura 4 la semejanza es \mathcal{D}_{p}^{r,0}, mientras que en la Figura 5 es \mathcal{D}_{p}^{r,\pi}, donde en ambos casos r=(pA'/pA)=(pB'/pB).

Figura 4

Figura 4

Figura 5

Figura 5

Consideremos ahora el caso general mucho más interesante donde A'B' y AB no tienen la misma longitud y tampoco son paralelos. Echemos un vistazo a la Figura 6, que ilustra esto. Aquí n es el punto de intersección de los dos segmentos (producidos de ser necesario), y \theta es el ángulo entre ellos. Para esclarecer nuestra afirmación respecto de la semejanza directa tenemos que demostrar que podemos llevar AB a A'B' con una sola rotación dilatada. Por el momento, observemos que para que AB tenga la misma dirección que A'B' bastaría girarlo \theta, por lo que la afirmación es realmente la siguiente: Existe un punto q, y un factor de expansión r, tal que \mathcal{D}_{q}^{r,\theta} lleva  A en A' y B en $latexB’$.

Figura 6

Figura 6

Consideremos la parte de la Figura 6 que se reproduce en la Figura 7. Claramente, tomando r=(nA'/nA), \mathcal{D}_{n}^{r,\theta} aplicará A en A'. Más generalmente, vemos que podemos mapear A en A' con \mathcal{D}_{q}^{r,\theta} si y sólo si AA' subtiende el ángulo \theta en $q$. Así, con el valor apropiado de r, \mathcal{D}_{q}^{r,\theta} mapea A en A' si y sólo si q se encuentra en el arco circular AnA'. La figura ilustra una de estas posiciones, q = m. Antes de regresar a la Figura 6 tenemos que notar una cosa más: mA subtiende el mismo ángulo (marcado con \bullet) en n y A'.

Figura 7

Figura 7

Volvamos a la Figura 6. Queremos \mathcal{D}_{q}^{r,\theta} para mapear A en A' y B en B'. De acuerdo con el argumento anterior, q debe estar sobre el arco circular de AnA' y en el arco circular BnB '. Así, hay sólo dos posibilidades: q = n o q = m (el otro punto de intersección de los dos arcos). Si lo pensamos bien, este es un momento de gran dramatismo. Hemos reducido las posibilidades para q a sólo dos puntos considerando sólo un ángulo; para cualquiera de estos dos puntos podemos elegir el valor de la expansión r con el fin de llevar A en A', pero, una vez que esta opción ha sido hecha, B se mapeará en B' o no! Por otra parte, se desprende de la figura que si q=n entonces B no se mapeará en B', por lo que q = m es la única posibilidad que queda.

Para que \mathcal{D}_{m}^{r,\theta} aplique simultáneamente A en A' y B en B', tenemos que tener r = (mA'/ mA) = (mB'/mB); es decir, los dos triángulos sombreados deben ser semejantes. Que de hecho son semejantes es sin duda una especie de milagro. En cuanto a los ángulos formados por n, vemos que \theta+\odot+\bullet=\pi, y el resultado se sigue inmediatamente al pensar al miembro derecho como el ángulo suma de cada uno de los dos triángulos sombreados. Esto completa la demostración de nuestra afirmación sobre semejanza directa.

El lector puede sentir que es insatisfactorio que toda semejanza directa exija rotaciones dilatadas alrededor de puntos arbitrarios, mientras que los números complejos representan rotaciones dilatadas alrededor de un punto fijo o (el origen). Esto puede ser respondido notando que las imágenes de AB bajo \mathcal{D}_{q}^{r,\theta} y \mathcal{D}_{o}^{r,\theta} serán paralelas y de igual longitud, por lo que existirá una traslación \mathcal{T}_{v} aplicando uno sobre el otro. En otras palabras, en general una rotación dilatada difiere de una rotación dilatada centrada en el origen por una mera traslación: \mathcal{D}_{q}^{r,\theta}=\mathcal{T}_{v}\circ\mathcal{D}_{o}^{r,\theta}. En resumen,

Cada semejanza directa \mathcal{S}^{r} puede expresarse como una función compleja de la forma de \mathcal{S}^{r}(z)=r e^{i\theta}z+v.


Fuente bibliográfica:

  • Tristan Needham (1997) Visual Complex Analysis. Oxford University Press

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En “Movimientos… directo u opuesto?” hemos establecido una clasificación de los movimientos del plano. A pesar de que se expresó allí que nuestra mayor preocupación se centra en los movimientos directos, podemos obtener una visión más profunda de ellos mediante el estudio de los movimientos opuestos a partir de los cuales se construyen los movimientos directos. Este será entonces el objetivo aquí. Más precisamente,

 Cada movimiento directo es la composición de dos reflexiones.

Tenga en cuenta que la segunda frase dada al caracterizar un movimiento opuesto en “Movimientos… directo u opuesto?”:

Por otra parte, \widetilde{\mathcal{M}}=(\mathcal{M} seguida de la

reflexión respecto de la recta A'B')

implica entonces que cada movimiento opuesto es la composición de tres reflexiones. Más brevemente, cada movimiento es la composición de dos o tres reflexiones, un resultado que se conoce como el Teorema de las Tres Reflexiones.

Hemos tratado de demostrar también en la entrada anterior que el conjunto de los movimientos forma un grupo, pero no estaba claro que cada movimiento tiene una inversa. El Teorema de las Tres Reflexiones afirma esto de forma clara y explícita, pues la inversa de una sucesión de reflexiones se obtiene invirtiendo el orden en el que se realizan las reflexiones.

En lo que sigue, sea \mathcal{R}_{L} la reflexión respecto de la recta L. Por lo tanto, la reflexión respecto de L_{1} seguida por la reflexión respecto de L_{2} se escribe como \mathcal{R}_{L_{2}}\circ\mathcal{R}_{L_{1}}. Dado que “Cada movimiento directo es una rotación, o de lo contrario (excepcionalmente) una traslación”, de lo enunciado anteriormente resulta que toda rotación (y toda traslación) es de la forma \mathcal{R}_{L_{2}}\circ\mathcal{R}_{L_{1}}. Esto es una consecuencia inmediata de los siguientes hechos:

 Si L_{1} y L_{2} se intersectan en O, y el ángulo entre L_{1} y L_{2} es \phi, entonces \mathcal{R}_{L_{2}}\circ\mathcal{R}_{L_{1}} es una rotación de ángulo 2\phi alrededor de O.

y

Si L_{1} y L_{2} son paralelas, y \textbf{V} es el vector perpendicular que conecta L_{1} con L_{2}, entonces \mathcal{R}_{L_{2}}\circ\mathcal{R}_{L_{1}} es una traslación por 2\textbf{V}

Ambos resultados son bastante fáciles de demostrar directamente, pero lo que sigue quizás resulte más elegante.

En primer lugar, como \mathcal{R}_{L_{2}}\circ\mathcal{R}_{L_{1}} es un movimiento directo (porque invierte ángulos dos veces), o bien es una rotación o es una traslación. En segundo lugar, debemos tener en cuenta que las rotaciones y las traslaciones pueden ser distinguidas por sus curvas invariantes, es decir, las curvas que se mapean a sí mismas. Para una rotación alrededor de un punto O, las curvas invariantes son los círculos centrados en O, mientras que para una traslación son rectas paralelas a la traslación.

Ahora veamos la Figura 1. Claramente \mathcal{R}_{L_{2}}\circ\mathcal{R}_{L_{1}} deja invariante cualquier círculo con centro en O, por lo que es una rotación alrededor de O. Para ver que el ángulo de la rotación es 2\phi, consideremos la imagen P' de cualquier punto P en L_{1}. Listo!!!

Figura 1

Figura 1

Ahora miremos la Figura 2. Claramente \mathcal{R}_{L_{2}}\circ\mathcal{R}_{L_{1}} deja invariante cualquier recta perpendicular a L_{1} y L_{2}, por lo que es una traslación paralela a dichas rectas. Para ver que la traslación es de 2\textbf{V}, consideremos la imagen P' de cualquier punto P en L_{1}. Listo!!!

Figura 2

Figura 2

Tenga en cuenta que una rotación de ángulo \theta se puede representar como \mathcal{R}_{L_{2}}\circ\mathcal{R}_{L_{1}}, donde L_{1}, L_{2} es cualquier par de rectas que pasan a través del centro de rotación y que contienen un ángulo (\theta/2). Del mismo modo, una traslación por \textbf{T} corresponde a cualquier par de rectas paralelas separadas \textbf{T}/2. Esta circunstancia da un método muy elegante para componer rotaciones y traslaciones.

Por ejemplo, consideremos la Figura 3. Aquí una rotación alrededor de a con ángulo \theta está siendo representada como \mathcal{R}_{L_{2}}\circ\mathcal{R}_{L_{1}}, y una rotación alrededor de b de ángulo \phi se representa como \mathcal{R}_{L'_{2}}\circ\mathcal{R}_{L'_{1}}.

Figura 3

Figura 3

Para encontrar el efecto neto de rotar alrededor de a y luego alrededor de b, elegimos L_{2}=L'_{1} como la recta a través de a y b. Si \theta+\phi\neq2\pi, entonces L_{1} y L'_{2} se cortarán en algún punto c, como en la Figura 4. Por lo tanto la composición de las dos rotaciones está dada por

(\mathcal{R}_{L'_{2}}\circ\mathcal{R}_{L'_{1}}.)\circ(\mathcal{R}_{L_{2}}\circ\mathcal{R}_{L_{1}})=\mathcal{R}_{L'_{2}}\circ\mathcal{R}_{L_{1}},

que es una rotación en torno a c de ángulo (\theta+\phi)!!!

Figura 4

Figura 4

Información más detallada del Teorema de las Tres Reflexiones puede encontrarse en el libro Geometry of Surfaces de John Stillwell.


Fuente bibliográfica:

  • Tristan Needham (1997) Visual Complex Analysis. Oxford University Press

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