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Archive for 16 junio 2014

Como una aplicación de la teoría de variables complejas centrémonos una vez más en la ecuación cúbica en x, tal como lo hemos estado haciendo en las últimas entradas. Por simplicidad, asumiremos hasta el final de este desarrollo que los coeficientes de la cúbica son todos reales.

Sabemos ya que la cúbica general puede ser reducida a la forma x^{3}=px+q. Vimos también (La ecuación cúbica – Episodio 1) que podíamos alcanzar la fórmula de Cardano partiendo de x^{3}+px=q: considerábamos

x=u+v

donde

u^{3}=\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}-\frac{p^{3}}{27}}, uv=-\frac{p}{3}.

Una vez más, observemos que si \frac{q^{2}}{4}<\frac{p^{3}}{27} entonces esta fórmula involucra números complejos.

Por otro lado, vimos (Viète y su solución de la cúbica) que la cúbica podía ser resuelta utilizando la fórmula de Viète:

\mbox{si }27q^{2}\leq 4 p^{3}\mbox{, entonces }x=2\sqrt{\frac{p}{3}}\cos\left(\frac{1}{3}\cos^{-1}\left(\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}\right)\right).

En el momento de su descubrimiento, el método de la “trisección del ángulo” de Viète fue un gran avance, pues resolvía la cúbica (usando sólo números reales) precisamente cuando la fórmula de Cardano involucraba “imposibles”, es decir, números complejos. Por un largo tiempo el método de Viète se pensó como completamente diferente del de Cardano, y aún hoy en ocasiones es presentado de esta manera. Examinaremos ahora muy de cerca estos dos métodos y veremos que en realidad son el mismo.

Si 27q^{2}\leq 4p^{3}, entonces en la fórmula de Cardano u^{3} y v^{3} son complejos conjugados:

u^{3}=\frac{q}{2}+i\sqrt{\frac{p^{3}}{27}-\frac{q^{2}}{4}}\mbox{ y }v^{3}=\overline{u^{3}}=\frac{q}{2}-i\sqrt{\frac{p^{3}}{27}-\frac{q^{2}}{4}}.

Estos números complejos se muestran en la Figura 1. Por el Teorema de Pitágoras, ambos tienen longitud \left|u^{3}\right|=\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}, y así el ángulo que aparece en la fórmula de Viete es simplemente un ángulo de u^{3}.

Figura 1

Figura 1

Como u^{3} y v^{3} pertencen a la circunferencia de radio \frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}, sus pre-imágenes bajo la aplicación z\mapsto z^{3} pertenecerán a la circunferencia de radio \frac{\sqrt{p}}{\sqrt{3}}. Además sabemos que los tres valores de u, preimágenes de u^{3}, son los complejos conjugados de los tres valores de v, preimágenes de v^{3}.

De acuerdo al Teorema Fundamental del Álgebra, la cúbica original debería tener tres soluciones. Sin embargo, combinando cada uno de los tres valores de u con cada uno de los tres valores de v, podría parecer que la fórmula de Cardano x=u+v nos da nueve soluciones!!!

La resolución a este conflicto existencial radica en el hecho de que también hemos establecido que uv=-\frac{p}{3}. Como p es real, esto significa que u y v deben tener ángulos iguales y opuestos. En la fórmula x=u+v, cada uno de los tres valores de u debe por lo tanto ser apareado con el valor conjugado de v. Podemos ahora ver cómo la fórmula de Cardano se convierte en la fórmula de Viète:

x_{m}=u_{m}+v_{m}=u_{m}+\overline{u_{m}}=x=2\sqrt{\frac{p}{3}}\cos\left(\frac{1}{3}\cos^{-1}\left(\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}\right)\right).

Un gran cierre no creen?


Fuente bibliográfica:

  • Tristan Needham (1997) Visual Complex Analysis. Oxford University Press

 

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En las tres entradas anteriores hemos explorado las soluciones de la ecuación cúbica general y de la ecuación cúbica reducida de la mano de del Ferro, Tartaglia, Fior y Cardano.

Mientras que la fórmula de Cardano funciona en todos los casos posibles de una ecuación cúbica, incluido el caso irreducible, cabe preguntarse si existe una fórmula que produzca directamente una respuesta real para la raíz real positiva en el caso irreducible.  La respuesta es , y fue descubierta por el gran matemático francés Francoise Viète (1540-1603),  quien dio todas las raíces de la cúbica irreducible en términos de las funciones trigonométricas coseno y arco coseno (o coseno inverso). Este descubrimiento es aún más destacable cuando uno considera que Viète no era un matemático profesional, sino un abogado al servicio del Estado, bajo los reinados de Enrique III y Enrique IV. Se dedicaba a la matemática cuando podía robarle tiempo a sus tareas “más importantes”, tales como descifrar las cartas encriptadas de la corte española que fueron interceptadas durante la guerra entre Francia y España. Si bien es muy inteligente, la solución de Viète (publicada en 1615, después de su muerte) parece no ser muy conocida. Veamos su desarrollo.

François Viète

François Viète

Viète comenzó su análisis con la ecuación cúbica x^{3}=px+q, con p y q escritas como p=3a^{2} y q=a^{2} b. Es decir, comenzó con la cúbica

x^{3}=3a^{2}x+a^{2} b

con

a=\sqrt{\frac{p}{3}}; b=\frac{3q}{p}.

Luego utilizó la identidad trigonométrica

\cos^{3}(\theta)=\frac{3}{4}\cos(\theta)+\frac{1}{4}\cos(3\theta).

Recuerda que esta identidad se deduce fácilmente en el campo de los números complejos (ver Trigonometría y números complejos: aliados perfectos). El siguiente paso de Viète fue suponer que uno siempre puede hallar \theta tal que x=2a \cos(\theta). Mostraremos ahora, calculando el valor buscado de \theta, que esta suposición es cierta.

A partir de la suposición tenemos \cos(\theta)=\frac{x}{2a} y, si sustituimos en la anterior identidad trigonométrica, podemos mostrar rápidamente que x^{3}=3a^{2}x+2a^{3}\cos(3\theta). Pero esta es justamente la cúbica que estamos tratando de resolver si escribimos 2a^{3}\cos(3\theta)=a^{2} b. Es decir,

\theta=\frac{1}{3}\cos^{-1}\left(\frac{b}{2a}\right).

Remplazando este valor para \theta en x=2a \cos(\theta), llegamos inmediatamente a la solución

x=2a\cos\left(\frac{1}{3}\cos^{-1}\left(\frac{b}{2a}\right)\right)

o, en términos de p y q,

x=2\sqrt{\frac{p}{3}}\cos\left(\frac{1}{3}\cos^{-1}\left(\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}\right)\right).

Para que x sea real, el argumento de \cos^{-1} no debe ser mayor que uno, es decir, 3\sqrt{3}q\leq 2p^{3/2}. Pero fácilmente se ve que esta condición es equivalente a que \frac{q^{2}}{4}-\frac{p^{3}}{27}\leq 0, que es precisamente la condición que define el caso irreducible. Nótese que en la fórmula de Viète no aparecen cantidades imaginarias, a diferencia de lo que ocurre en la fórmula de Cardano.

La pregunta ahora es… ¿funciona la fórmula de Viète? Como prueba, recordemos la cúbica de Bombelli x^{3}=15x+4, con p=15 y q=4. La fórmula de Viète nos da

x=2\sqrt{5}\cos\left(\frac{1}{3}\cos^{-1}\left(\frac{12\sqrt{3}}{30\sqrt{15}}\right)\right).

Esta expresión de aspecto bastante aterrador puede evaluarse fácilmente con una calculadora de mano, lo que nos dará x=4. Esta raíz se encuentra tomando

\cos^{-1}(\frac{12\sqrt{3}}{30\sqrt{15}})=1.39094.

Pero un rápido dibujo de la función coseno mostrará que los ángulos 4.89225 y 7.67413 son igualmente válidos.

Gráfica de coseno

Gráfica de coseno

Evaluando x para estos dos ángulos obtendremos las otras raíces reales: -0.268 y -3.732, es decir, -2\pm\sqrt{3}. Sin embargo, el propio Viète no les prestó atención a las raíces negativas.

Para otra prueba rápida, consideremos el caso especial en que q=0. Entonces px=0, que por inspección tiene las tres raíces reales x=0 y x=\pm\sqrt{p}. Esto es, x=\sqrt{p} es la única raíz positiva. La fórmula de Viète nos da, para q=0,

x=2\sqrt{\frac{p}{3}}\cos\left(\frac{1}{3}\cos^{-1}(0)\right)=2\sqrt{\frac{p}{3}}\cos(\frac{\pi}{6})

ya que \cos^{-1}(0)=\frac{\pi}{2}. Pero (2/\sqrt{3})\cos(\frac{\pi}{6})=1 y por lo tanto la fórmula de Viète nos da x=\sqrt{p}. Y como también \cos^{-1}(0)=\frac{3\pi}{2} (y \frac{5\pi}{2}), podemos verificar fácilmente que la fórmula nos da también las raíces x=0 y x=-\sqrt{p}. Técnicamente, ésta no es una cúbica irreducible, pero la fórmula de Viète aún funciona.

Viète conocía muy bien el nivel al que operaban sus dotes analíticas. Como él mismo escribió respecto de su matemática, no era “el oro de los alquimistas, pronto a evaporarse en el humo, sino metal verdadero, excavado de las minas donde hay dragones vigilando”. Viète no era un hombre falsamente modesto. Si su solución hubiera sido hallada un siglo antes, ¿se habría preocupado Cardano por los números imaginarios que aparecen en su fórmula? ¿Habría estado motivado Bombelli para hallar la “realidad” de las expresiones complejas que aparecían en la solución formal de la cúbica irreducible? Es interesante especular sobre qué tan diferente habría sido la historia de la matemática si algún genio se hubiese anticipado a Viète. Pero no hubo tal genio, y Bombelli se llevó la gloria de haber descubierto el secreto final de la cúbica.


Fuente bibliográfica:

  • Paul J. Nahin (1998) An Imaginary Tale. Princeton University Press

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En los episodios anteriores exploramos la solución de la ecuación cúbica reducida y los pleitos que se generaban en el siglo XVI, incluida la resolución de ecuaciones cúbicas.

Vimos que del Ferro quería guardar celosamente su procedimiento para la resolución de la cúbica reducida. Del mismo modo, Tartaglia mantuvo su nuevo conocimiento respecto de la solución de la ecuación cúbica para sí, no sólo por las razones que mencionamos en el Episodio 2 sino que además quería publicar las soluciones para ambos tipos de cúbicas en un libro que pensaba escribir algún día (y que nunca escribió). Cuando las noticias de su victoria sobre Fior se difundieron, pronto llegaron a oídos de Girolamo Cardano (1501-1576). A diferencia de Fior, Cardano era un intelectual sobresaliente y un matemático extremadamente bueno.  La curiosidad intelectual de Cardano se disparó al saber que Tartaglia conocía el secreto para la cúbica reducida, y le rogó que se lo revelara. Tras varias negativas iniciales, Tartaglia finalmente cedió y le dijo a Cardano la regla, pero no su derivación, para calcular soluciones, haciéndole jurar que la mantendría en secreto.

Cardano no era un santo, pero tampoco un sinvergüenza. Casi con seguridad tuvo toda la intención de respetar su pacto de silencio, pero entonces empezó a escuchar versiones según las cuales Tartaglia no había sido el primero en resolver la cúbica reducida y finalmente no se sintió obligado a mantener el secreto. Cardano redescubrió la solución de Tartaglia por sí mismo y luego la publicó en su Ars Magna en 1545.  En este libro les dio a Tartaglia y a Del Ferro el crédito específico que merecían, pero incluso así Tartaglia se sintió defraudado y lanzó en su contra una tormenta de reclamos, acusándolo de plagio y aun de cosas peores. Pese a que él y Del Ferro tenían prioridad como los verdaderos descubridores, en forma independiente, de la solución de la cúbica reducida, a partir de la aparición del Ars Magna en adelante ésta se conoce como la “fórmula de Cardano”.

Cardano no era un ladrón intelectual (quienes plagian no reconocen el trabajo ajeno) y de hecho mostró extender la solución de la cúbica reducida a todas las cúbicas. Éste fue un logro mayor en sí mismo, y se debe por completo a Cardano. La idea es tan original como fue la primera ocurrencia de Del Ferro (en el Episodio 1) y merece que la exploremos en lo que sigue.

Cardano comenzó con la cúbica general:

x^{3}+a_{1}x^{2}+a_{2}x+a_{3}=0

y luego utilizó el cambio de variables \frac{1}{3}a_{1}. Sustituyendo esto en la cúbica general, desarrollando y agrupando los términos, obtuvo

y^{3}+\left(a_{2}-\frac{1}{3}a^{2}_{1}\right)y=-\frac{2}{27}a^{3}_{1}+\frac{1}{3}a_{2}a_{1}-a_{3}.

Es decir, obtuvo la cúbica reducida y^{3}+py=q con

p=a_{2}-\frac{1}{3}a^{2}_{1},

q=-\frac{2}{27}a^{3}_{1}+\frac{1}{3}a_{2}a_{1}-a_{3}.

La cúbica reducida obtenida así se puede resolver ahora con la fórmula de Cardano. Por lo tanto, parece que el problema de la ecuación cúbica general finalmente ha sido resuelto, habiendo hallado una solución, y todo está en orden. Pero no era así, y Cardano lo sabía. Recordemos la solución de x^3= px + q (o bien de px = q):

x=\sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}-\frac{p^{3}}{27}}}-\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}-\frac{p^{3}}{27}}}.

Si \frac{q^{2}}{4}-\frac{p^{3}}{27}<0 entonces la fórmula involucra la raíz cuadrada de un número negativo, y el mayor desafío no era el número imaginario en sí, sino algo bastante distinto… pero esa es otra historia que nos lleva a recordar El pensamiento salvaje de Bombelli.


Fuente bibliográfica:

  • Paul J. Nahin (1998) An Imaginary Tale. Princeton University Press

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