Viète y su solución de la cúbica

En las tres entradas anteriores hemos explorado las soluciones de la ecuación cúbica general y de la ecuación cúbica reducida de la mano de del Ferro, Tartaglia, Fior y Cardano.

Mientras que la fórmula de Cardano funciona en todos los casos posibles de una ecuación cúbica, incluido el caso irreducible, cabe preguntarse si existe una fórmula que produzca directamente una respuesta real para la raíz real positiva en el caso irreducible.  La respuesta es sí, y fue descubierta por el gran matemático francés Francoise Viète (1540-1603),  quien dio todas las raíces de la cúbica irreducible en términos de las funciones trigonométricas coseno y arco coseno (o coseno inverso). Este descubrimiento es aún más destacable cuando uno considera que Viète no era un matemático profesional, sino un abogado al servicio del Estado, bajo los reinados de Enrique III y Enrique IV. Se dedicaba a la matemática cuando podía robarle tiempo a sus tareas «más importantes», tales como descifrar las cartas encriptadas de la corte española que fueron interceptadas durante la guerra entre Francia y España. Si bien es muy inteligente, la solución de Viète (publicada en 1615, después de su muerte) parece no ser muy conocida. Veamos su desarrollo.

François Viète

Viète comenzó su análisis con la ecuación cúbica , con y escritas como y . Es decir, comenzó con la cúbica

con

Luego utilizó la identidad trigonométrica

Recuerda que esta identidad se deduce fácilmente en el campo de los números complejos (ver Trigonometría y números complejos: aliados perfectos). El siguiente paso de Viète fue suponer que uno siempre puede hallar tal que . Mostraremos ahora, calculando el valor buscado de , que esta suposición es cierta.

A partir de la suposición tenemos y, si sustituimos en la anterior identidad trigonométrica, podemos mostrar rápidamente que . Pero esta es justamente la cúbica que estamos tratando de resolver si escribimos . Es decir,

Remplazando este valor para en , llegamos inmediatamente a la solución

o, en términos de y ,

Para que sea real, el argumento de no debe ser mayor que uno, es decir, . Pero fácilmente se ve que esta condición es equivalente a que , que es precisamente la condición que define el caso irreducible. Nótese que en la fórmula de Viète no aparecen cantidades imaginarias, a diferencia de lo que ocurre en la fórmula de Cardano.

La pregunta ahora es… ¿funciona la fórmula de Viète? Como prueba, recordemos la cúbica de Bombelli , con y . La fórmula de Viète nos da

Esta expresión de aspecto bastante aterrador puede evaluarse fácilmente con una calculadora de mano, lo que nos dará . Esta raíz se encuentra tomando

.

Pero un rápido dibujo de la función coseno mostrará que los ángulos y son igualmente válidos.

Gráfica de coseno

Evaluando para estos dos ángulos obtendremos las otras raíces reales: y , es decir, . Sin embargo, el propio Viète no les prestó atención a las raíces negativas.

Para otra prueba rápida, consideremos el caso especial en que . Entonces , que por inspección tiene las tres raíces reales y . Esto es, es la única raíz positiva. La fórmula de Viète nos da, para ,

ya que . Pero y por lo tanto la fórmula de Viète nos da . Y como también (y ), podemos verificar fácilmente que la fórmula nos da también las raíces y . Técnicamente, ésta no es una cúbica irreducible, pero la fórmula de Viète aún funciona.

Viète conocía muy bien el nivel al que operaban sus dotes analíticas. Como él mismo escribió respecto de su matemática, no era «el oro de los alquimistas, pronto a evaporarse en el humo, sino metal verdadero, excavado de las minas donde hay dragones vigilando». Viète no era un hombre falsamente modesto. Si su solución hubiera sido hallada un siglo antes, ¿se habría preocupado Cardano por los números imaginarios que aparecen en su fórmula? ¿Habría estado motivado Bombelli para hallar la «realidad» de las expresiones complejas que aparecían en la solución formal de la cúbica irreducible? Es interesante especular sobre qué tan diferente habría sido la historia de la matemática si algún genio se hubiese anticipado a Viète. Pero no hubo tal genio, y Bombelli se llevó la gloria de haber descubierto el secreto final de la cúbica.

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Fuente bibliográfica:

• Paul J. Nahin (1998) An Imaginary Tale. Princeton University Press

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