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Archive for 4 julio 2014

Varias funciones reales f(x) pueden ser expresadas (por ejemplo mediante el Teorema de Taylor) como una serie de potencias:

f(x)=\displaystyle\sum^{\infty}_{j=0}a_{j}x^{j}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots

donde los a_{j} son constantes reales. Por supuesto, esta serie infinita normalmente será convergente a f(x) sólo en algún intervalo de convergencia centrado en el origen -R<x<R. La pregunta es… ¿cómo determinamos el valor de R, llamado el radio de convergencia, para una determinada f(x)?

Esta pregunta tiene una respuesta muy simple si la planteamos en el contexto del campo complejo, en tanto que si nos restringimos a la recta real, como sucedía en la época en que estas series comenzaron a transitar los escritos matemáticos, la relación entre $latex R$ y f(x) se torna absolutamente misteriosa. Fue precisamente este halo de misterio lo que llevó a Cauchy, mientras investigaba la convergencia de las soluciones mediante series a la ecuación de Kepler que describe dónde se ubica un planeta en su órbita en cualquier instante, a avanzar varios pasos en el ámbito del análisis complejo.

Veamos entonces cuál era el misterio en cuestión. Consideremos las representaciones en series de potencias de las funciones

g(x)=\displaystyle\frac{1}{1-x^{2}}

y
h(x)=\displaystyle\frac{1}{1+x^{2}}

La familiar serie geométrica infinita que todos conocemos de nuestro curso de cálculo nos dice que

\displaystyle\frac{1}{1-x}=\sum^{\infty}_{j=0}x^{j}

si y sólo si -1<x<1, de modo que inmediatamente deducimos que

g(x)=\displaystyle\sum^{\infty}_{j=0}x^{2j}

y

h(x)=\displaystyle\sum^{\infty}_{j=0}(-1)^{j}x^{2j},

donde ambas series tienen el mismo intervalo de convergencia}, -1<x<1.

Resulta fácil entender el intervalo de convergencia de la serie para g(x) si miramos el gráfico de la Figura 1. La serie se torna divergente en x=\pm 1 debido a que estos puntos son singularidades de la función, es decir, son lugares donde \left|g(x)\right| se vuelve infinito.

Figura 1

Pero si miramos el gráfico de la Figura 2 correspondiente a y=\left|h(x)\right|, no pareciera haber una razón para que la serie se quiebre en x=\pm 1. Sin embargo lo hace.

Figura 2

Figura 2

Para comenzar a entender esto, desarrollemos estas funciones en series de potencias centradas en x=k, en lugar de en el origen como lo hemos hecho. Es decir, buscamos series de la forma \sum^{\infty}_{j=0}a_{j}X^{j}, con X=x-k, que no es otra cosa que una medida del desplazamiento de x a partir del centro k.

Para determinar el desarrollo de la función g(x) comencemos por generalizar el desarrollo de la serie geométrica, desarrollando ahora la función x) alrededor de k:

\displaystyle\frac{1}{a-x}=\frac{1}{a-(X+k)}=\frac{1}{(a-k)}\frac{1}{\left(1-\left(\frac{X}{a-k}\right)\right)}

de modo que

\displaystyle\frac{1}{a-x}=\sum^{\infty}_{j=0}\frac{X^{j}}{(a-k)^{j+1}},

si y sólo si \left|\frac{X}{a-k}\right|<1, o lo que es lo mismo, \left|X\right|<\left|a-k\right|.

Apliquemos ahora este resultado para obtener el desarrollo buscado de g(x). El truco es expresar el denominado como x)(1+x), descomponer la función en fracciones parciales y emplear el resultado anterior. Así,

\displaystyle\frac{1}{1-x^{2}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{1}{-1-x}\right)=\frac{1}{2}\sum^{\infty}_{j=0}\left(\frac{1}{(1-k)^{j+1}}-\frac{1}{(-1-k)^{j+1}}\right)X^{j},

válido si y sólo si \left|X\right|<\left|1-k\right| y \left|X\right|<\left|1+k\right|. Por ende, el intervalo de convergencia \left|X\right|<R está dado por

R=\min\left\{\left|1-k\right|,\left|1+k\right|\right\},

es decir, R es la distancia de k a la singularidad más cercana de la función g.

Es posible que el lector se vea tentado a estas alturas de replicar el método para determinar el desarrollo de la función h(x) alrededor de k, pero de inmediato vemos que las singularidades en este caso son números complejos (más precisamente, se trata de \pm i), de modo que automáticamente debemos intentar otra alternativa.

Dibujemos la recta real embebida en un plano, que identificaremos con el plano complejo \mathbb{C}. Notemos que con  la ayuda del Teorema de Pitágoras es fácil obtener la distancia R de k a los valores que anulan el denominador  de la función h: R=\sqrt{1+k^{2}} (Véase la Figura 3.)

Figura 3

Figura 3

El misterio comienza a desentrañarse cuando miramos la función compleja h_{1}(z)=1/(1+z^{2}), que coincide con h(x) cuando restringimos los valores de z al eje real del plano complejo. De hecho, h_{1}(z) es la única función compleja que coincide con h en la recta real (hecho que develaremos más adelante en este blog).

Mientras que la Figura 2 muestra que h_{1}(z) presenta un buen comportamiento para valores reales de z, es claro que h_{1}(z) tiene dos singularidades en el plano complejo, tal como hemos observado. Estas han sido identificadas claramente en la Figura 3. La Figura 4 intenta hacer más transparente la situación describiendo el comportamiento de la superficie modular de h_{1}(z), donde las singularidades en \pm i aparecen como “volcanes” en erupción arriba de estos puntos.

Figura 4

Figura 4

El misterio ha desaparecido por completo… en ambas funciones el radio de convergencia es la distancia a la singularidad más cercana.

Si intersectamos la superficie de la Figura 4 con un plano vertical que pase por el eje real tendremos la imagen de la Figura 2. Pero si imaginariamente comenzamos a desplazar el plano a lo largo del eje imaginario entonces llegaremos a un punto en el cual aparecerá algo similar al gráfico en la Figura 1. Esto no es ningún accidente fortuito, por el contrario, debemos notar que g(x) es la restricción al eje real de la función g_{1}(z)=1/(1-z^{2}). Como g_{1}(z)=h_{1}(iz), las funciones g_{1} y h_{1} son esencialmente las mismas: Si rotamos el plano con un ángulo igual a \pi/2 y a continuación aplicamos h_{1} obtenemos g_{1}. En particular entonces, la superficie modular de g_{1} es simplemente la superficie de la Figura 3 rotada un ángulo igual a \pi/2, por lo que los “volcanes” pasan de \pm i a ubicarse en \pm 1.

 


Fuente bibliográfica:

  • Tristan Needham (1997) Visual Complex Analysis. Oxford University Press

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