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Un misterio detrás de las series reales de potencias

Posted in Análisis de Variable Compleja, Producción propia, tagged Números complejos, Números reales, Radio de convergencia, Serie geométrica, Series de potencias on 4 julio 2014| Leave a Comment »

Varias funciones reales $f(x)$ pueden ser expresadas (por ejemplo mediante el Teorema de Taylor) como una serie de potencias:

$f(x)=\displaystyle\sum^{\infty}_{j=0}a_{j}x^{j}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots$

donde los $a_{j}$ son constantes reales. Por supuesto, esta serie infinita normalmente será convergente a $f(x)$ sólo en algún intervalo de convergencia centrado en el origen $-R<x<R$ . La pregunta es… ¿cómo determinamos el valor de $R$ , llamado el radio de convergencia, para una determinada $f(x)$ ?

Esta pregunta tiene una respuesta muy simple si la planteamos en el contexto del campo complejo, en tanto que si nos restringimos a la recta real, como sucedía en la época en que estas series comenzaron a transitar los escritos matemáticos, la relación entre $latex R$ y $f(x)$ se torna absolutamente misteriosa. Fue precisamente este halo de misterio lo que llevó a Cauchy, mientras investigaba la convergencia de las soluciones mediante series a la ecuación de Kepler que describe dónde se ubica un planeta en su órbita en cualquier instante, a avanzar varios pasos en el ámbito del análisis complejo.

Veamos entonces cuál era el misterio en cuestión. Consideremos las representaciones en series de potencias de las funciones

$g(x)=\displaystyle\frac{1}{1-x^{2}}$

y
$h(x)=\displaystyle\frac{1}{1+x^{2}}$

La familiar serie geométrica infinita que todos conocemos de nuestro curso de cálculo nos dice que

$\displaystyle\frac{1}{1-x}=\sum^{\infty}_{j=0}x^{j}$

si y sólo si $-1<x<1$ , de modo que inmediatamente deducimos que

$g(x)=\displaystyle\sum^{\infty}_{j=0}x^{2j}$

$h(x)=\displaystyle\sum^{\infty}_{j=0}(-1)^{j}x^{2j},$

donde ambas series tienen el mismo intervalo de convergencia}, $-1<x<1$ .

Resulta fácil entender el intervalo de convergencia de la serie para $g(x)$ si miramos el gráfico de la Figura 1. La serie se torna divergente en $x=\pm 1$ debido a que estos puntos son singularidades de la función, es decir, son lugares donde $\left|g(x)\right|$ se vuelve infinito.

Figura 1

Pero si miramos el gráfico de la Figura 2 correspondiente a $y=\left|h(x)\right|$ , no pareciera haber una razón para que la serie se quiebre en $x=\pm 1$ . Sin embargo lo hace.

Figura 2

Para comenzar a entender esto, desarrollemos estas funciones en series de potencias centradas en $x=k$ , en lugar de en el origen como lo hemos hecho. Es decir, buscamos series de la forma $\sum^{\infty}_{j=0}a_{j}X^{j}$ , con $X=x-k$ , que no es otra cosa que una medida del desplazamiento de $x$ a partir del centro $k$ .

Para determinar el desarrollo de la función $g(x)$ comencemos por generalizar el desarrollo de la serie geométrica, desarrollando ahora la función $x)$ alrededor de $k$ :

$\displaystyle\frac{1}{a-x}=\frac{1}{a-(X+k)}=\frac{1}{(a-k)}\frac{1}{\left(1-\left(\frac{X}{a-k}\right)\right)}$

de modo que

$\displaystyle\frac{1}{a-x}=\sum^{\infty}_{j=0}\frac{X^{j}}{(a-k)^{j+1}},$

si y sólo si $\left|\frac{X}{a-k}\right|<1$ , o lo que es lo mismo, $\left|X\right|<\left|a-k\right|$ .

Apliquemos ahora este resultado para obtener el desarrollo buscado de $g(x)$ . El truco es expresar el denominado como $x)(1+x)$ , descomponer la función en fracciones parciales y emplear el resultado anterior. Así,

$\displaystyle\frac{1}{1-x^{2}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{1}{-1-x}\right)=\frac{1}{2}\sum^{\infty}_{j=0}\left(\frac{1}{(1-k)^{j+1}}-\frac{1}{(-1-k)^{j+1}}\right)X^{j},$

$R=\min\left\{\left|1-k\right|,\left|1+k\right|\right\},$

es decir, $R$ es la distancia de $k$ a la singularidad más cercana de la función $g$ .

Es posible que el lector se vea tentado a estas alturas de replicar el método para determinar el desarrollo de la función $h(x)$ alrededor de $k$ , pero de inmediato vemos que las singularidades en este caso son números complejos (más precisamente, se trata de $\pm i$ ), de modo que automáticamente debemos intentar otra alternativa.

Dibujemos la recta real embebida en un plano, que identificaremos con el plano complejo $\mathbb{C}$ . Notemos que con la ayuda del Teorema de Pitágoras es fácil obtener la distancia $R$ de $k$ a los valores que anulan el denominador de la función $h$ : $R=\sqrt{1+k^{2}}$ (Véase la Figura 3.)

Figura 3

El misterio comienza a desentrañarse cuando miramos la función compleja $h_{1}(z)=1/(1+z^{2})$ , que coincide con $h(x)$ cuando restringimos los valores de $z$ al eje real del plano complejo. De hecho, $h_{1}(z)$ es la única función compleja que coincide con $h$ en la recta real (hecho que develaremos más adelante en este blog).

Mientras que la Figura 2 muestra que $h_{1}(z)$ presenta un buen comportamiento para valores reales de $z$ , es claro que $h_{1}(z)$ tiene dos singularidades en el plano complejo, tal como hemos observado. Estas han sido identificadas claramente en la Figura 3. La Figura 4 intenta hacer más transparente la situación describiendo el comportamiento de la superficie modular de $h_{1}(z)$ , donde las singularidades en $\pm i$ aparecen como «volcanes» en erupción arriba de estos puntos.

Figura 4

El misterio ha desaparecido por completo… en ambas funciones el radio de convergencia es la distancia a la singularidad más cercana.

Si intersectamos la superficie de la Figura 4 con un plano vertical que pase por el eje real tendremos la imagen de la Figura 2. Pero si imaginariamente comenzamos a desplazar el plano a lo largo del eje imaginario entonces llegaremos a un punto en el cual aparecerá algo similar al gráfico en la Figura 1. Esto no es ningún accidente fortuito, por el contrario, debemos notar que $g(x)$ es la restricción al eje real de la función $g_{1}(z)=1/(1-z^{2})$ . Como $g_{1}(z)=h_{1}(iz)$ , las funciones $g_{1}$ y $h_{1}$ son esencialmente las mismas: Si rotamos el plano con un ángulo igual a $\pi/2$ y a continuación aplicamos $h_{1}$ obtenemos $g_{1}$ . En particular entonces, la superficie modular de $g_{1}$ es simplemente la superficie de la Figura 3 rotada un ángulo igual a $\pi/2$ , por lo que los «volcanes» pasan de $\pm i$ a ubicarse en $\pm 1$ .