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Archive for 25 septiembre 2014

Dada una serie compleja de potencias f(z)=\sum c_{j}z^{j}, existen varias maneras de determinar su radio de convergencia directamente a partir de sus coeficientes. Como ellas son formalmente idénticas a los métodos utilizados en las series reales, nos limitaremos aquí sólo a enunciarlas.

El test de la razón nos dice que

R=\displaystyle\lim_{j\rightarrow\infty}\left|\frac{c_{j}}{c_{j+1}}\right|

siempre que este límite exista. Esta fórmula es conocida como Fórmula de D’Alembert y su demostración puede encontrarse en el libro de Conway. Por ejemplo, si

f(z)=1+z+\displaystyle\frac{z^{2}}{2^{2}}+\frac{z^{3}}{3^{2}}+\cdots

entonces

R=\displaystyle\lim_{j\rightarrow\infty}\left|\frac{1/j^{2}}{1/(j+1)^{2}}\right|=\lim_{j\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{j}\right)^{2}=1

Si \displaystyle\left|\frac{c_{j}}{c_{j+1}}\right| tiende a infinito entonces (formalmente) R=\infty, correspondiendo a la convergencia en todo el plano complejo. Por ejemplo,

e^{z}=\displaystyle\sum^{\infty}_{j=0}\frac{z^{j}}{j!}

converge en todo el plano complejo, dado que

R=\displaystyle\lim_{j\rightarrow\infty}\left|\frac{1/j!}{1/(j+1)!}\right|=\lim_{j\rightarrow\infty}(j+1)=\infty.

Cuando no es posible aplicar el test de la razón, o resulta dificil hacerlo, podemos emplear el test de la raíz, que dice que

R=\displaystyle\lim_{j\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt[j]{\left|c_{j}\right|}}

siempre que este límite exista. Por ejemplo, si recordamos primero que la función real e^{x} se expresa como

e^{x}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}

entonces aplicando el test de la raíz a la serie

f(z)=\displaystyle\sum^{\infty}_{j=1}\left(\frac{j-3}{j}\right)^{j^{2}}z^{j}

obtenemos mediante un simple cálculo que R=e^{3}.

Existen ocasiones en las cuales tanto el test de la razón como el test de la raíz fallan, pero existe una versión ligeramente refinada de estos que funciona en todos los casos. Es conocido como el Teorema de Cauchy-Hadamard y dice que

R=\displaystyle\frac{1}{\lim\sup\sqrt[j]{\left|c_{j}\right|}}

No discutiremos esto aquí pero el lector interesado puede encontrar la demostración correspondiente en el libro de Conway.

Los ejemplos anteriores de series de potencias surgen de la nada, pero a menudo el punto de partida es una función compleja conocida f(z) que a continuación se expresa como una serie de potencias. El problema de determinar R tiene entonces una respuesta conceptualmente mucho más satisfactoria. A grandes rasgos,

Si f(z) puede expresarse como una serie de potencias centrada en k, entonces el radio de convergencia es la distancia de k a la singularidad más cercana de f(z).

La Figura 1 muestra esto; las singularidades de f(z) son representadas como pequeñas estrellas. Para entender qué funciones pueden desarrollarse en series de potencias necesitamos resultados más profundos, pero estamos en condiciones de verificar que podemos hacerlo para una función racional (cociente de dos polinomios), y que el radio de convergencia para su desarrollo está dado por la afirmación anterior.

Figura 1

Figura 1

Para empezar, reconsideremos las Figuras 1 y 2 en “Un misterio detrás de las series reales de potencias“. Recordemos que en la Figura 2 simplemente nos limitamos a afirmar que R=\sqrt{1+k^{2}} para el desarrollo en serie de h_{1}(z)=1/(1+z^{2}) centrado en el punto real k. Ahora verifiquemos esto encontrando explícitamente la serie.

Para ello, primero notemos que en la entrada citada obtuvimos que

\displaystyle\frac{1}{a-x}=\sum^{\infty}_{j=0}\frac{X^{j}}{(a-k)^{j+1}}

si y sólo si \left|X\right|<\left|a-k\right|. Generalizando tenemos que

\displaystyle\frac{1}{a-z}=\sum^{\infty}_{j=0}\frac{Z^{j}}{(a-k)^{j+1}}

si y sólo si \left|Z\right|<\left|a-k\right|, donde a y k son ahora números complejos arbitrarios, y Z=(z-k) es el número complejo que conecta el centro del desarrollo en z. La condición \left|z-k\right|<\left|a-k\right| para la convergencia significa que z pertenece al interior del círculo centrado en k y que pasa por a. La Figura 2 abajo muestra esta situación, y además los discos de convergencia cuando elegimos desarrollar 1/(a-z) alrededor de k_{1} o k_{2}. Como la función 1/(a-z) tiene sólo una singularidad en z=a hemos verificado la afirmación anterior para esta función particular.

Figura 2

Figura 2

Al principio encontramos el desarrollo de 1/(1-x^{2}) factorizando el denominador y usando fracciones simples. Ahora estamos en condiciones de usar exactamente el mismo enfoque para hallar el desarrollo de h_{1}(z)=1/(1+z^{2}) centrado en un número complejo arbitrario k:

\displaystyle\frac{1}{1+z^{2}}=\frac{1}{(z-i)(z+i)}=\frac{1}{2i}\left(\frac{1}{-i-z}-\frac{1}{i-z}\right)

Aplicando el desarrollo obtenido para \displaystyle\frac{1}{a-z} en ambos términos resulta

\displaystyle\frac{1}{1+z^{2}}=\sum^{\infty}_{j=0}\frac{1}{2i}\left(\frac{1}{(-i-k)^{j+1}}-\frac{1}{(i-k)^{j+1}}\right)Z^{j}

La serie para 1/(\pm i-z) converge dentro de las circunferencias concéntricas \left|z-k\right|=\left|\pm i-k\right| centradas en k y que pasan por los puntos \mp i, que son las singularidades de h_{1}(z)=1/(1+z^{2}). Pero el desarrollo obtenido sólo convergerá cuando ambas series converjan, es decir, en el disco \left|z-k\right|<R donde R es la distancia del centro k a la singularidad más cercana de h_{1}. Esto confirma la afirmación anterior para h_{1}(z).

En particular, si k es real entonces el desarrollo anterior converge en el disco que se muestra en la Figura 3 de “Un misterio detrás de las series reales de potencias”. Si restringimos los valores de z al eje real entonces h_{1}(z) se reduce a la función real 1/(1-x^{2}), y el desarrollo de esta función en potencias de X=x-k se deduce fácilmente del desarrollo anterior. Como k ahora es real, \left|i-k\right|=\sqrt{1+k^{2}}, y podemos escribir i-k=\sqrt{1+k^{2}}e^{i\theta} donde \theta=\arg(i-k) es el valor apropiado de \tan^{-1}(-1/k). Así,

\displaystyle\frac{1}{1+x^{2}}=\sum^{\infty}_{j=0}\left(\frac{\sin(j+1)\theta}{(\sqrt{1+k^{2}})^{j+1}}\right)X^{j}

lo que resulta de un simple cálculo que se bosqueja a continuación:

Nuevamente tenemos aquí un resultado concerniente a funciones reales que podría ser muy difícil de obtener usando sólo números reales.

El análisis anterior de 1/(1+z^{2}) puede fácilmente ser generalizado para demostrar que cualquier función racional puede ser expresada como una serie de potencias, con radio de convergencia dado por la afirmación anterior.


Fuente bibliográfica:

  • Tristan Needham (1997) Visual Complex Analysis. Oxford University Press
  • John B. Conway (1978) Functions of One Complex Variable I. Springer

 

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El vocabulario básico para el desarrollo de cualquier curso de cálculo proviene de la teoría de conjuntos y de la teoría de funciones. En esta entrada recorreremos lo básico de la Teoría de Conjuntos.

Intuitivamente hablando, por conjunto entendemos cualquier colección de objetos. Estos objetos se conocen como los elementos del conjunto. En las próximas entradas de nuestro recorrido de cálculo, los conjuntos con los que trabajaremos posiblemente serán en su mayoría conjuntos de números reales, aunque también encontraremos conjuntos de funciones y, en algunas raras ocasiones, conjuntos cuyos elementos son otros conjuntos.

Dado un conjunto A, escribimos x\in A si x (sea lo que sea) es un elemento de A. Si x no es un elemento de A, entonces escribimos x\notin A. Dados dos conjuntos A y B, la unión se escribe A\cup B y se define mediante la siguiente afirmación

x\in A\cup B siempre que x\in A o x\in B (o potencialmente en ambos).

La intersección A\cap B es el conjunto definido por la regla

x\in A\cap B siempre que x\in A y x\in B.


 Ejemplo

  • Existen varias formas aceptables para indicar el contenido de un conjunto. El conjunto de los números naturales se define, como en la entrada anterior, listando sus elementos: \mathbb{N}=\left\{1,2,3,\ldots\right\}.
  • Los conjuntos pueden ser descritos también en palabras. Por ejemplo, podemos definir el conjunto E como la colección de los números naturales pares.
  • A veces es más eficiente indicar algún tipo de regla o algoritmo para determinar los elementos de un conjunto. Como ejemplo, sea S=\left\{r\in\mathbb{Q}:r^{2}<2\right\}. Leyendo en voz alta, la definición de S dice: “Sea S el conjunto de todos los números racionales cuyos cuadrados son menores que 2.” Se deduce que 1\in S, 4/3\in S, pero 3/2\notin S porque 9/4\geq 2.
    Utilizando los conjuntos definidos previamente para ilustrar las operaciones de intersección y unión, observemos que \mathbb{N}\cup E=\mathbb{N},\quad \mathbb{N}\cap E=E,\quad \mathbb{N}\cap S=\left\{1\right\},\quad\mbox{y }E\cap S=\emptyset. El conjunto \emptyset se denomina conjunto vacío y se entiende que es el conjunto que no contiene elementos. Una afirmación equivalente sería decir que E y S son disjuntos.

Resulta útil decir algunas palabras sobre la igualdad de dos conjuntos (ya que sólo hemos utilizado la noción). La relación de inclusión A\subseteq B o B\supseteq A se utiliza para indicar que cada elemento de A es también un elemento de B. En este caso, decimos que A es un subconjunto de B, o que B contiene a A.

Afirmar que A=B significa que A\subseteq B y B\subseteq A. En otras palabras, A y B tienen exactamente los mismos elementos.

Con bastante frecuencia vamos a querer aplicar las operaciones de unión e intersección a colecciones infinitas de conjuntos.


Ejemplo  Sean

A_{1}=\mathbb{N}=\left\{1,2,3,\ldots\right\}

A_{2}=\left\{2,3,4,\ldots\right\}

A_{3}=\left\{3,4,5,\ldots\right\}

y, en general, para cada n\in\mathbb{N}, definimos el conjunto

A_{n}=\left\{n,n+1,n+2,\ldots\right\}.

El resultado es una cadena anidada de conjuntos

A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq A_{3}\supseteq\ldots\supseteq A_{4}\supseteq\ldots,

donde cada conjunto sucesivo es subconjunto de todos los anteriores. Las notaciones

\bigcup^{\infty}_{n=1}A_{n},\quad \bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_{n}\quad\mbox{o }A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup\cup\ldots

son todas las formas equivalentes de indicar el conjunto cuyos elementos están conformados por cualquier elemento que aparece en al menos un A_{n} en particular. Debido a la propiedad anidada de esta peculiar colección de conjuntos no es demasiado difícil ver que

\bigcup^{\infty}_{n=1}A_{n}=A_{1}.

La noción de intersección tiene el mismo tipo de extensión natural para las colecciones infinitas de conjuntos. En este ejemplo tenemos

\bigcap^{\infty}_{n=1}A_{n}=\emptyset.

Veamos que este es efectivamente el caso. Supongamos que tenemos un número natural m que pensamos podría satisfacer en realidad que m\in\bigcap^{\infty}_{n=1}A_{n}. Esto significa que m\in A_{n} para cada A_{n} en nuestra colección de conjuntos. Debido a que m no es un elemento de A_{m+1}, tal m no existe y la intersección es vacía.


Dado A\subseteq\mathbb{R}, el complemento de A, escrito como A^{c}, se refiere al conjunto de todos los elementos de \mathbb{R} que no están en A. Por lo tanto, para A\subseteq\mathbb{R},

A^{c}=\left\{x\in\mathbb{R}:x\notin A\right\}.

Conviene recordar aquí las Leyes de De Morgan que establecen que

(A\cap B)^{c}=A^{c}\cup B^{c}

y

(A\cup B)^{c}=A^{c}\cap B^{c}

Ciertamente la definición de conjunto presentada al comienzo de esta discusión es poco precisa. La frase que lo define comienza con “Intuitivamente hablando,” lo que podría parecer una manera extraña de embarcarse en un estudio que supuestamente tiene la intención de proporcionar una base rigurosa para la teoría de funciones de una variable real. En cierto sentido, sin embargo, esto es inevitable. Cada reparación de un nivel de los fundamentos de una temática revela algo por debajo de él que requiere cierta atención. Sin embargo, apelo a la benevolencia del lector para dejar pasar por alto este detalle.

Para recordar algunos conceptos que ya habrás estudiado puedes ver:

 


Referencias bibliográficas:

  • Abbott, Stephen (2010) Understanding Analysis. Springer.

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“La oficina Zaha Hadid Architects ha sido seleccionada para diseñar una nueva galería de matemáticas en el Museo de Ciencias de Londres. Destinada a ser la “galería más importante del mundo de las matemáticas”, según Ian Blatchford -director del museo-, la galería de £ 7,5 millones (USD 12 millones) examinará las ideas de los principales matemáticos de los últimos 400 años en un esfuerzo por ilustrar cuánto las matemáticas han ayudado a formar nuestro mundo.”

La nota completa en Plataforma Arquitectura con una interesante galería de imágenes.

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