Aproximando una serie de potencia compleja con polinomios

Implícito en la definición de convergencia está un hecho simple pero muy importante: si converge, entonces su valor puede ser aproximado por la suma parcial , y eligiendo un valor de suficientemente grande podemos hacer la aproximación tan exacta como queramos. Combinando esto con la observación de la entrada anterior:

Dada una serie de potencias compleja centrada en , existe una circunferencia centrada en tal que converge en todo punto dentro de la circunferencia, y diverge en todo punto fuera de ella.

resulta que

En cada punto en el disco de convergencia, puede expresarse con una precisión arbitrariamente alta mediante un polinomio de grado suficientemente alto.

Para simplificar, vamos a investigar esto más a fondo en el caso en que está centrada en el origen. El error en asociado a la aproximación puede definirse como la distancia entre la respuesta exacta y la aproximación. Para un valor fijo de , el error variará a medida que se mueve alrededor del disco de convergencia. Claramente, como , el error será extremadamente pequeño si está cerca del origen, pero ¿qué pasa si alcanza la circunferencia de convergencia? La respuesta depende de la serie de potencia particular, incluso puede ocurrir que el error se vuelva enorme!  Veamos un ejemplo.

Consideremos la serie geométrica de potencias , de modo que los polinomios que la aproximan serán . Recordemos que esta serie converge en el disco . Un sencillo cálculo nos conduce al error . Si consideramos un dentro del disco de convergencia, es claro que el error tiende a cero cuando tiende a infinito. Por otro lado, fijado un valor de , el error tiende a infinito cuando se aproxima al punto sobre la circunferencia de convergencia.

Esto no contradice el resultado anterior: para cualquier fijo, no importa cómo nos acerquemos a la circunferencia de convergencia, el error se tornará arbitrariamente pequeño cuando tiende a infinito.

Este problema se evita si restringimos al disco , donde , dado que esto impide que se acerque arbitrariamente a la circunferencia de convergencia . En un intento por aproximar dentro de este disco podemos hacer lo siguiente. Primero decidimos el error máximo (digamos ) que estamos dispuestos a soportar, y luego elegimos (de una vez por todas) una aproximación polinómica de grado suficientemente alto como para que el error sea menor que a lo largo del disco. Es decir, a lo largo del disco, el punto de aproximación   está a una distancia menor que del punto real . Uno describe esto diciendo que es uniformemente convergente en este disco:

Si tiene disco de convergencia , entonces es uniformemente convergente en el disco cerrado , donde .

Aunque puede que no tengamos la convergencia uniforme sobre el disco de convergencia completo, el resultado anterior muestra que esto es realmente un tecnicismo: tenemos convergencia uniforme en un disco que casi completa el disco de convergencia entero, digamos .

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Fuente bibliográfica:

• Tristan Needham (1997) Visual Complex Analysis. Oxford University Press

 

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