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Archive for 29 octubre 2014

En la entrada anterior hemos definido cotas superiores e ínfimo de un conjunto de números reales, con vistas a trabajar con el Axioma de Elección. Resulta conveniente caracterizar el ínfimo o menor cota superior de un conjunto mediante una alternativa que resulta de suma utilidad en el Análisis Real (y en el análisis en general).

Recordemos que la definición de supremo tiene dos partes. La primera parte dice que \sup A debe ser una cota superior y la segunda parte establece que debe ser la menor. El siguiente lema ofrece una forma alternativa para reformular este último requisito.


Lema. Supongamos que s\in\mathbb{R} es una cota superior de un conjunto A\subseteq\mathbb{R}. Entonces, s=\sup A si y sólo si, para cada elección de \epsilon>0, existe un elemento a\in A que satisface s-\epsilon<a.

Dem. He aquí otra forma de enunciar el lema: Dado que s es una cota superior, s es la menor cota superior si y sólo si cualquier número menor que s no es una cota superior. Decirlo de esta manera casi califica como una demostración, pero vamos a ampliar lo que exactamente se está diciendo en cada dirección.

(\Rightarrow) Para la dirección de avance, asumimos que s=\sup A y consideremos s-\epsilon, donde \epsilon>0 se ha elegido arbitrariamente. Debido a que s-\epsilon<s, la segunda parte de la definición de supremo implica que s-\epsilon no es una cota superior para A. Si este es el caso, entonces debe haber algún elemento a\in A para el cual s-\epsilon<a (porque de lo contrario s-\epsilon sería una cota superior). Esto demuestra el lema en una dirección.

(\Leftarrow) Recíprocamente, asumimos que s es una cota superior con la propiedad de que no importa de qué manera se elija \epsilon>0, s-\epsilon ya no es una cota superior para A. Tengamos en cuenta que esto implica que si b es cualquier número menor que s, entonces b no es una cota superior. (Simplemente sea \epsilon=s-b.) Para demostrar que s=\sup A, debemos verificar la segunda parte de la definición de supremo. Como ya hemos argumentado que cualquier número menor que s no puede ser una cota superior, se deduce que si b es otra cota superior de A, entonces b\geq s.  \clubsuit


Algo para ampliar y pensar:

Es importante que el lector tenga presente esta propiedad de supremo, que obviamente tiene una versión análoga para ínfimo, pues resulta de suma utilidad en muchos casos.


Referencias bibliográficas:

  • Abbott, Stephen (2010) Understanding Analysis. Springer.

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¿Qué es exactamente un número real? En la entrada Raíz cuadrada de dos es irracional dijimos que el conjunto \mathbb{R} de los números reales es una extensión de los números racionales \mathbb{Q} en la que no hay agujeros o huecos. Queremos que cada longitud a lo largo de la recta numérica –tal como \sqrt{2}— corresponda a un número real y viceversa. Retomemos un poco estas ideas con el objeto de precisar cuáles serán nuestros supuestos sobre el conjunto de los números reales para iniciar nuestro estudio del Análisis Real.

En primer lugar, \mathbb{R} es un conjunto que contiene a \mathbb{Q}. Las operaciones de adición y multiplicación en \mathbb{Q} se extienden a todos los elementos de \mathbb{R} de tal manera que cada elemento de \mathbb{R} tiene un inverso aditivo y cada elemento distinto de cero de \mathbb{R} tiene un inverso multiplicativo. Recordando la discusión planteada en Raíz cuadrada de dos es irracional, se supone que \mathbb{R} es un cuerpo, lo que significa que la suma y la multiplicación de números reales es conmutativa, asociativa y cumple la propiedad distributiva. Esto nos permite realizar todas las manipulaciones algebraicas estándar que son tan naturales para nosotros. También suponemos que las propiedades conocidas del orden de \mathbb{Q} se extienden a todo \mathbb{R}. Así, por ejemplo, deducciones tales como “Si a<b y c>0, entonces ac<bc” se llevan a cabo libremente y sin muchos comentarios. Para resumir la situación en la terminología oficial del tema, suponemos que \mathbb{R} es un cuerpo ordenado, que contiene a \mathbb{Q} como un subcuerpo. (En el futuro espero tratar una definición rigurosa de “cuerpo ordenado”.)

Esto nos lleva a la final, y más distintiva, suposición sobre el sistema de números reales. Debemos encontrar la manera de articular claramente lo que queremos decir al insistir en que \mathbb{R} no contiene los vacíos que impregnan a \mathbb{Q}. Debido a que esta es la diferencia entre la definición de los números racionales y los números reales, vamos a ser excesivamente precisos acerca de la forma en que redactamos esta suposición, en lo sucesivo conocida como el Axioma de Completitud.

Axioma de Completitud: Cada conjunto no vacío de números reales que está acotado superiormente tiene una cota superior mínima.

Ahora, ¿qué significa esto exactamente?

Primero vamos a exponer las definiciones pertinentes, y luego veremos algunos ejemplos.


Un conjunto A\subseteq\mathbb{R} está acotado superiormente si existe un número b\in\mathbb{R} tal que a\leq b para todo a\in A. Al número b se lo llama una cota superior de A.

Del mismo modo,

el conjunto A está acotado inferiormente si existe una cota inferior l\in\mathbb{R} que satisface l\leq a para todo a\in A.


Un número real s es la menor cota superior de un conjunto A\subseteq\mathbb{R} si cumple los dos criterios siguientes:

  • s es una cota superior de A;
  • si b es cualquier cota superior de A, entonces s\leq b.

A la menor cota superior se la llama también frecuentemente el supremo del conjunto A. Aunque la notación s=\text{lub }A es común todavía, siempre vamos a escribir s=\sup A para la menor cota superior.

La mayor cota inferior o ínfimo de A se define de forma similar y se denota por \inf A.


 

Aunque un conjunto puede tener una serie de cotas superiores, sólo puede tener una menor cota superior o supremo. Si s_{1} y s_{2} son ambos supremos para un conjunto A, entonces por la segunda propiedad en la Definición podemos afirmar que s_{1}\leq s_{2} y que s_{2}\leq s_{1}. La conclusión es que s_{1}=s_{2} y los supremos son únicos.


Ejemplo. Sea

A=\left\{\frac{1}{n}:n\in\mathbb{N}\right\}=\left\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\ldots\ldots\right\}.

El conjunto A está acotado por arriba y por abajo. Los candidatos seleccionados para una cota superior incluyen a 3, 2 y 3/2. Para el supremo, afirmamos que \sup A=1. Para argumentar esto rigurosamente utilizando la Definición dada, tenemos que verificar que se cumplen las dos propiedades. Para la primera sólo observamos que 1\geq 1/n para todas las elecciones de n\in\mathbb{N}. Para verificar la segunda partimos del supuesto de que estamos en posesión de alguna otra cota superior b. Debido a que 1\in A y que b es una cota superior de A, debemos tener 1\leq b. Esto es precisamente lo que la propiedad nos pide demostrar.

A pesar de que no tenemos en absoluto las herramientas que necesitamos para una demostración rigurosa, debe ser algo evidente que \inf A=0. \diamondsuit


Una lección importante que nos deja el Ejemplo anterior es que \sup A e \inf A pueden o no ser elementos del conjunto A. Este problema está ligado a la comprensión de la diferencia crucial entre el máximo y el supremo (o el mínimo y el ínfimo) de un conjunto dado.


Un número real a_{0} es un máximo del conjunto A si a_{0} es un elemento de A y a_{0}\geq a para todo a\in A. Del mismo modo, un número a_{1} es un mínimo de A si a_{1}\in A y a_{1}\leq a para todo a\in A.


Ejemplo. Consideremos el intervalo abierto

(0,2)=\left\{x\in\mathbb{R}:0<x<2\right\},

y el intervalo cerrado

[0,2]=\left\{x\in\mathbb{R}:0\leq x\leq 2\right\}.

Ambos conjuntos están acotados superiormente (e inferiormente), y ambos tienen el mismo supremo: 2. Sin embargo, no es el caso que ambos conjuntos tienen un máximo. Un máximo es un tipo específico de cota superior de la que se requiere ser un elemento del conjunto en cuestión, y el intervalo abierto (0,2) no posee tal elemento. Por lo tanto, puede existir el supremo y no ser un máximo, pero cuando un máximo existe entonces también es el supremo. \diamondsuit


Vamos a dirigir ahora nuestra atención hacia el Axioma de Completitud. Aunque podemos ver ahora que no todo conjunto acotado no vacío contiene un máximo, el Axioma de Completitud afirma que todos estos conjuntos tiene una menor cota superior o supremo. No vamos a probar esto. En matemática un axioma es una suposición aceptada para ser utilizada sin demostración. Preferiblemente, un axioma debe ser una afirmación elemental sobre el sistema en cuestión que es tan fundamental que no parece necesitar ninguna justificación. Tal vez el Axioma de Completitud se ajusta a esta descripción, y tal vez no lo hace. Antes de decidir, recordemos por qué no es una afirmación válida sobre \mathbb{Q}.


Ejemplo. Consideremos nuevamente el conjunto

S=\left\{r\in\mathbb{Q}:r^{2}<2\right\},

y pretendamos por un momento que nuestro mundo se compone sólo de los números racionales. El conjunto S está sin duda acotado superiormente. Tomar b=2 funciona, al igual que b=3/2. Pero notemos lo que sucede a medida que avanzamos en busca de la menor cota superior. (Puede ser útil aquí saber que el desarrollo decimal de \sqrt{2} comienza con 1,4142\ldots.) Podríamos probar con b=142/100, que de hecho es una cota superior, pero luego descubrimos que b=1415/1000 es una cota superior que es más pequeña aún. ¿Hay una aún más pequeña?

En los números racionales no lo hay. En los números reales, sí lo hay. De vuelta en \mathbb{R}, el Axioma de Completitud afirma que podemos tomar \alpha=\sup S y estar seguros de que existe un número tal. Ya demostraremos más adelante que \alpha^{2}=2. Pero de acuerdo con el Teorema respecto de la irracionalidad de la raíz cuadrada de dos, esto implica que \alpha no es un número racional. Si restringimos nuestra atención sólo a los números racionales, entonces \alpha no es una opción admisible para \sup S, y la búsqueda de una menor cota superior continúa indefinidamente. Cualquiera sea la cota superior racional descubierta, siempre es posible encontrar una más pequeña. \diamondsuit


Las herramientas necesarias para llevar a cabo los cálculos descritos en el Ejemplo anterior dependen de algunos resultados sobre la forma en que \mathbb{Q} y \mathbb{N} caben dentro de \mathbb{R}, lo que será tema de otra entrada.

Tenemos así, o al menos eso pretendía esta entrada, una caracterización clara del Axioma de Completitud, así como una primera aproximación a nuestra definición del conjunto de los números reales como un cuerpo completo.


Referencias bibliográficas:

  • Abbott, Stephen (2010) Understanding Analysis. Springer.

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En la entrada anterior me referí en general y de manera muy escueta a la demostración en matemática (a pesar de recomendar un buen texto referido al tema), y hablé de la Demostración por Contradicción y de la Demostración Directa. Otro método bastante conocido es el de Demostración por Inducción, y este es el eje de lo que sigue.

La inducción se utiliza en conjunción con los números naturales \mathbb{N} (o a veces con el conjunto \mathbb{N}\cup\left\{0\right\}). El principio fundamental detrás de la inducción es que si S es un subconjunto de \mathbb{N} con la propiedad de que

  • S contiene al 1 y
  • siempre que S contiene a un número natural n, también contiene a n+1,

entonces debe ser que S=\mathbb{N}. Como el siguiente ejemplo ilustra, este principio se puede utilizar para definir sucesiones de objetos así como para probar hechos acerca de ellos.


Ejemplo. Sea x_{1}=1, y para cada n\in\mathbb{N} definimos

x_{n+1}=(1/2)x_{n}+1.

Usando esta regla, podemos calcular x_{2}=(1/2)(1)+1=3/2, x_{3}=7/4, y es inmediatamente evidente cómo esto lleva a una definición de x_{n} para todo n\in\mathbb{N}.

La sucesión que hemos definido parece al principio ir en aumento. Para los términos calculados, tenemos x_{1}\leq x_{2}\leq x_{3}. Vamos a usar inducción para demostrar que esta tendencia continúa; es decir, vamos a demostrar que

x_{n}\leq x_{n+1}

para todos los valores de n\in\mathbb{N}.

Para n=1, x_{1}=1 y x_{2}=3/2, de modo que es claro que x_{1}\leq x_{2}. Ahora queremos demostrar que

si tenemos que x_{n}\leq x_{n+1}, entonces se sigue que x_{n+1}\leq x_{n+2}.

Pensemos en S como el conjunto de los números naturales para los cuales la afirmación en la ecuación x_{n}\leq x_{n+1} es cierta. Hemos demostrado que 1\in S. Ahora estamos interesados en demostrar que si n\in S, entonces también n+1\in S. Partiendo de la hipótesis inductiva x_{n}\leq x_{n+1}, podemos multiplicar ambos miembros de la desigualdad por 1/2 y sumar 1 para obtener

\frac{1}{2}x_{n}+1\leq\frac{1}{2}x_{n+1}+1,

que es precisamente la conclusión deseada x_{n+1}\leq x_{n+2}. Por inducción, la afirmación se prueba para todo n\in\mathbb{N}. \diamondsuit


Cualquier discusión acerca de por qué la inducción es una técnica argumentativa válida inmediatamente abre una caja de preguntas acerca de cómo entendemos a los números naturales. Anteriormente, cuando hablamos de la irracionalidad de la raíz cuadrada de dos, evitamos este problema haciendo referencia a la famosa observación de Kronecker respecto de que los números naturales se dan de alguna manera divina. Aunque no vamos a mejorar esta explicación aquí, hay que señalar que es posible un enfoque más ateo y matemáticamente satisfactorio de \mathbb{N} desde el punto de vista de la teoría axiomática de conjuntos. Esto nos lleva de nuevo a un tema recurrente de discusión matemática. Pedagógicamente hablando, los fundamentos de la matemática se aprenden mejor y se aprecian en una especie de orden inverso. Un estudio riguroso de los números naturales y la teoría de conjuntos es sin duda recomendable, pero sólo después de tener una comprensión de las sutilezas del sistema de los números reales.

Para cerrar esta entrada es interesante observar una imagen muy intuitiva de la inducción matemática en el primer segmento del siguiente episodio del programa Alterados por Pi, conducido por el Dr. Adrian Paenza.


Referencias bibliográficas:

  • Abbott, Stephen (2010) Understanding Analysis. Springer.

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