Algunas palabras sobre la demostración en matemática

Escribir demostraciones matemáticas rigurosas es una habilidad que se aprende mejor haciendo, y hay un gran trabajo de entrenamiento por delante. Como indica Hardy, hay una calidad artística en las matemáticas de este tipo, que puede o no llegar fácilmente, pero eso no quiere decir que esté sucediendo algo especialmente misterioso. Una demostración es un ensayo de cierto tipo particular. Se trata de un conjunto de instrucciones cuidadosamente elaboradas, las cuales, cuando son seguidas, debe dejar al lector absolutamente convencido de la verdad de la proposición de que se trate. Para lograr esto, los pasos de una demostración deben seguirse lógicamente de etapas anteriores o estar justificados por algún otro conjunto de hechos acordado. Además de ser válidos, estos pasos deben también ser coherentes entre sí para formar un argumento convincente. La matemática tiene un vocabulario especializado, es seguro, pero eso no exime a que una buena demostración esté escrita en el idioma de origen de manera gramaticalmente correcta.

La demostración de la irracionalidad de  que hemos esbozado en una entrada anterior utiliza una estrategia indirecta llamada Demostración por Contradicción. Esta poderosa técnica se emplea habitualmente en matemática. Sin embargo, la mayoría de las pruebas son directas. (También vale la pena mencionar que el uso de una demostración indirecta cuando una demostración directa está disponible generalmente se considera de mala educación.) Una demostración directa comienza a partir de una cierta declaración válida, a menudo tomada de la hipótesis del teorema, y luego se procede a través de una secuencia lógica rigurosa para alcanzar la demostración de la conclusión del teorema. Como vimos en el Teorema respecto de la irracionalidad de , una demostración indirecta siempre comienza negando lo que nos gustaría probar. Esto no siempre es tan fácil de hacer como puede parecer. El argumento entonces se sigue hasta que (con suerte) se descubre una contradicción lógica con algún otro hecho aceptado. Muchas veces este hecho aceptado es parte de la hipótesis del teorema. Cuando la contradicción está relacionada con la hipótesis del teorema técnicamente se habla de una demostración de la contrapositiva.

La siguiente proposición y su demostración muestran una serie de cuestiones que acabamos de discutir e introduce unas cuantas más.

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Proposición: Dos números reales y son iguales si y sólo si para todo número real se sigue que .

Dem: Hay dos frases claves en la afirmación de esta proposición que merecen una atención especial. Uno de ellas es para todo, que se abordará en un momento. La otra es si y sólo si. Decir si y sólo si en matemática es una forma económica de afirmar que la proposición es verdadera en dos direcciones. En la dirección hacia adelante tenemos que probar la afirmación:

() Si , entonces para todo número real se sigue que .

Debemos también demostrar la afirmación recíproca:

() Si para todo número real se sigue que , entonces debe ser .

Para la demostración de la primera afirmación en realidad no hay mucho que decir. Si , entonces , por lo que sin duda sin importar qué sea elegido.

Para la segunda afirmación, damos una demostración por contradicción. La conclusión de la proposición en esta dirección establece que , por lo que suponemos . El objetivo en nuestra mente de buscar una contradicción nos lleva a considerar la frase para todo número real . Algunas formas equivalentes para establecer la hipótesis sería decir que para todas las posibles elecciones de o sin importar de qué manera se elija , se cumple siempre que . Pero suponiendo (como lo estamos haciendo en este momento), la elección de

plantea un serio problema. Estamos suponiendo que es cierto para todo , por lo que esto sin duda debe ser verdad para el particular que recién hemos definido. Sin embargo, las afirmaciones

no pueden ser ambas verdaderas. Esta contradicción significa que nuestra hipótesis inicial es inaceptable. Por lo tanto , y la demostración indirecta está completa.

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Una de las habilidades más fundamentales que se requieren para la lectura y escritura de demostraciones en análisis real, y en cualquier otra área de la matemática, es la capacidad para manipular con seguridad las frases con los cuantificadores para todo y no existe. Prestaremos significativamente más atención a este problema en muchas de nuestras próximas entradas.

Son muchos los libros dedicados a cómo hacer demostraciones matemáticas. Uno que puede ser útil al lector es

Cómo entender y hacer demostraciones en matemáticas
Daniel Solow
Limusa – Noriega Editores
México

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Referencias bibliográficas:

• Abbott, Stephen (2010) Understanding Analysis. Springer.

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