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Archive for 25 febrero 2015

El término cardinalidad se utiliza en matemática para referirse al tamaño de un conjunto. Las cardinalidades de conjuntos finitos se pueden comparar simplemente conectando un número natural a cada conjunto. El conjunto de los enanos de Blancanieves es más pequeño que el conjunto de los chanchitos en el clásico cuento infantil, porque 7 es mayor que 3.

Pero ¿cómo podemos llegar a esta misma conclusión sin hacer referencia a ningún número? La idea de Georg Cantor, matemático que ya mencionamos al hablar del Principio de los Intervalos Encajados, era tratar de poner los conjuntos en una correspondencia 1 a 1 entre sí. Hay menos chanchitos que enanos ya que, si los chanchitos ocuparan todos al mismo tiempo cada uno un lugar, aún habrían cuatro lugares vacíos por llenar. Por otro lado, la cardinalidad de los chanchitos del cuento es la misma que la cardinalidad del conjunto de las estrellas que conforman la constelación conocida como “Las Tres Marías”. Esto se debe a que, cuando los chanchitos se ubican en un lugar, es posible organizarlos de manera que haya exactamente una estrella en cada posición.

La ventaja de este método de comparación del tamaño de conjuntos es que funciona igualmente bien en conjuntos que son infinitos.

Recordemos que:


Una función f:A\rightarrow B es uno a uno (1-1) si a_{1}\neq a_{2} en A implica que f(a_{1})\neq f(a_{2}) en B. La función f es sobre si, dado cualquier b\in B, es posible hallar un elemento a\in A para el cual f(a)=b.


Una función f:A\rightarrow B que es tanto 1-1 como sobre se dice una correspondencia 1-1 entre los dos conjuntos. La propiedad de ser 1-1 significa que nunca dos elementos de A se corresponden con el mismo elemento de B, y la propiedad de ser sobre asegura que todo elemento de B se corresponde con alguno de A.


Dos conjuntos A y B tienen la misma cardinalidad si existe f:A\rightarrow B que es 1-1 y sobre. En este caso, escribimos A\sim B.


La cardinalidad de conjuntos infinitos muchas veces atenta contra la intuición. Invito al lector a pensar y analizar las siguientes situaciones planteadas por el Dr. Paenza en su programa Alterados por Pi.


Referencias bibliográficas:

  • Abbott, Stephen (2010) Understanding Analysis. Springer.
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Recordemos que en Axioma de Completitud analizamos en un ejemplo la búsqueda del supremo del conjunto S=\left\{r\in\mathbb{Q}:r^{2}<2\right\}, y nos quedó algo pendiente por demostrar. Es momento que completemos la cuestión:


Existe un número real \alpha\in\mathbb{R} que satisface \alpha^{2}=2.

Dem: Consideremos el conjunto

T=\left\{t\in\mathbb{R}:t^{2}<2\right\}

y sea \alpha=\sup T. Vamos a demostrar que \alpha^{2}=2 descartando las posibilidades \alpha^{2}<2 y \alpha^{2}>2. Tengamos en cuenta que hay dos partes en la definición de \sup T, y ambas serán importantes. (Esto siempre ocurre cuando se utiliza el supremo en un argumento.) La estrategia es demostrar que \alpha^{2}<2 viola el hecho de que \alpha es una cota superior de T, y que \alpha^{2}>2 viola el hecho de que es la menor cota superior.

Primero vamos a ver qué pasa si asumimos \alpha^{2}<2. En la búsqueda de un elemento de T que sea mayor que \alpha, escribimos

Pero ahora suponer que \alpha^{2}<2 nos da un poco de espacio en el que encajar el término (2\alpha+1)/n y mantiene el total menor que 2. Específicamente, elegimos n_{0}\in\mathbb{N} suficientemente grande para que

\displaystyle\frac{1}{n_{0}}<\frac{2-\alpha^{2}}{2\alpha+1}.

Esto implica que (2\alpha+1)/n_{0}<2-\alpha^{2}, y en consecuencia

\left(\alpha+\frac{1}{n_{0}}\right)^{2}<\alpha^{2}+(2-\alpha^{2})=2.

Así, \alpha+1/n_{0}\in T, lo que contradice el hecho que \alpha es una cota superior de T. Concluimos que no puede ocurrir que \alpha^{2}<2.

Ahora, ¿qué sucede en caso de que \alpha^{2}>2?. Esta vez escribimos

El resto del argumento resulta análogo al anterior. \clubsuit


Hemos demostrado entonces la existencia de la raíz cuadrada de dos.

Una pequeña modificación de esta demostración puede emplearse para probar que \sqrt{x} existe para cualquier x\geq 0. Una fórmula para desarrollar (\alpha+1/n)^{m}, conocida como Fórmula Binomial, puede utilizarse para demostrar que \sqrt[m]{x} existe para valores arbitrarios de m\in\mathbb{N}.


Referencias bibliográficas:

  • Abbott, Stephen (2010) Understanding Analysis. Springer.

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Nuestro título de hoy es: \mathbb{Q} es denso en \mathbb{R}, y no se trata de una persona que se torna un tanto insoportable en un determinado ambiente. Veremos que la densidad es una propiedad interesante que se da entre estos dos conjuntos, y es otra de las aplicaciones del Axioma de Completitud.

Pero antes, recordemos algunos detalles y demostremos otros.

El conjunto \mathbb{Q} es una extensión de \mathbb{N}, y \mathbb{R} es una extensión de \mathbb{Q}. Los próximos resultados indican cómo \mathbb{N} y \mathbb{Q} “encajan” dentro de \mathbb{R}.


Propiedad Arquimediana: 

  • Dado cualquier número x\in\mathbb{R}, existe un n\in\mathbb{N} que satisface n>x.
  • Dado cualquier número real y>0, existe un n\in\mathbb{N} que satisface 1/n<y.

Dem. La primera parte de la propiedad establece que \mathbb{N} no está acotado superiormente. Nunca ha habido ninguna duda acerca de la verdad de esto, y se podría argumentar razonablemente que no deberíamos tener que demostrarlo en absoluto. Este es un punto de vista legítimo, especialmente a la luz del hecho de que hemos decidido asumir otras propiedades familiares de \mathbb{N}, \mathbb{Z} y \mathbb{Q} como dadas en las entradas anteriores.

El argumento en contra es que vamos a probarlo porque podemos. Un conjunto puede poseer la Propiedad Arquimediana sin ser completo —\mathbb{Q} es un buen ejemplo– pero una demostración de este hecho requiere una buena dosis de escrutinio en la construcción axiomática del cuerpo ordenado en cuestión. En el caso de \mathbb{R}, el Axioma de Completitud nos proporciona un argumento muy corto. Un gran número de profundos resultados depende en última instancia de esta relación entre \mathbb{R} y \mathbb{N}, así que tener una prueba para ello añade un poco de seguridad extra para estos próximos argumentos.

De modo que sin dilatarlo más iniciamos aquí la demostración. Supongamos, por contradicción, que \mathbb{N} está acotado superiormente. Por el Axioma de Completitud, \mathbb{N} debe entonces tener una menor cota superior, digamos \alpha=\sup\mathbb{N}. Si consideramos \alpha-1, entonces ya no tenemos una cota superior (Recordar Caracterizando un supremo), y por lo tanto existe un n\in\mathbb{N} que satisface \alpha-1<n. Pero esto es equivalente a \alpha<n+1. Como n+1\in\mathbb{N}, tenemos una contradicción con el hecho de que \alpha se supone que es una cota superior de \mathbb{N}. (Observemos que la contradicción sólo depende del Axioma de Completitud y del hecho de que \mathbb{N} es cerrado bajo la adición.)

La segunda parte se sigue de la primera tomando x=1/y. \clubsuit


Esta familiar propiedad de \mathbb{N} es la clave para un hecho extremadamente importante acerca de cómo \mathbb{Q} encaja dentro de \mathbb{R}.

De más está decir que su nombre se asocia al famoso matemático griego Arquímedes de Siracusa (aproximadamente 287 a.C. – 212 a.C.)


Densidad de \mathbb{Q} en \mathbb{R}.

Para cualesquiera dos números reales a y b con a<b, existe un número racional r que satisface a<r<b.

Dem. Por simplicidad, asumimos que 0\leq a<b. El caso en que a<0 se sigue rápidamente de este. Un número racional es un cociente de enteros, de modo que debemos producir m,n\in\mathbb{N} de modo que

a<\frac{m}{n}<b

El primer paso es elegir el denominador n suficientemente grande como para que incrementos sucesivos de tamaño 1/n estén suficientemente cerca al “pararse sobre” el intervalo (a,b).

Usando la Propiedad Arquimediana, podemos tomar n\in\mathbb{N} suficientemente grande de modo que

\frac{1}{n}<b-a

Multiplicando la desigualdad anterior por n obtenemos na<m<nb. Con el n ya elegido, la idea ahora es elegir m como el menor número natural mayor que na. En otras palabras, tomamos m\in\mathbb{N} tal que

m-1\leq na

y

na<m

Ahora, de la desigualdad anterior inmediatamente se cumple que a<m/n, que es la mitad del objetivo. Teniendo en mente que la desigualdad anterior es equivalente a a<b-1/n, podemos usar una de las desigualdades anteriores para escribir

Como m<nb implica m/n<b, tenemos a<m/n<b, como queríamos. \clubsuit


Este Teorema puede ser redactado de otra manera diciendo que \mathbb{Q} es denso en \mathbb{R}. Sin mayor esfuerzo, podemos usar este resultado para demostrar que también los números irracionales son densos en \mathbb{R}.

Pero antes de irnos hoy, los invito a pensar la relación de lo que hemos visto y el siguiente planteo del Dr. Paenza en su programa Alterados por Pi


Referencias bibliográficas:

  • Abbott, Stephen (2010) Understanding Analysis. Springer.

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