Feeds:
Entradas
Comentarios

Archive for 6/02/15

Hemos enunciado aquí  el Axioma de Completitud, una caracterización del conjunto de los números reales. Este Axioma tiene varias aplicaciones, y hoy nos dedicaremos a la primera de ellas que trataremos en este blog. Se trata de  un resultado que puede verse como una forma más natural de expresar matemáticamente el sentimiento de que la recta real no contiene huecos, del que hablamos también aquí.


Principio de los Intervalos Encajados. Para cada n\in\mathbb{N}, suponemos dado un intervalo cerrado I_{n}=[a_{n},b_{n}]=\left\{x\in\mathbb{R}:a_{n}\leq x\leq b_{n}\right\}. Supongamos también que cada I_{n} contiene a I_{n+1}. Entonces, la sucesión anidada resultante de intervalos cerrados

I_{1}\supseteq I_{2}\supseteq I_{3}\supseteq I_{4}\supseteq\cdots

tiene intersección no vacía; es decir, \bigcap^{\infty}_{n=1}I_{n}\neq\emptyset.

Dem. Con el fin de demostrar que \bigcap^{\infty}_{n=1}I_{n} es no vacío vamos a usar el Axioma de Completitud para producir un único número real x que satisface x\in I_{n} para todo n\in\mathbb{N}. Ahora, el Axioma de Completitud es una afirmación acerca de conjuntos acotados, y lo que queremos considerar es el conjunto

A=\left\{a_{n}:n\in\mathbb{N}\right\}

de extremos izquierdos de los intervalos.

Debido a que los intervalos están anidados, vemos que cada b_{n} sirve como una cota superior de A. Por lo tanto, está justificado el establecimiento de

x=\sup A.

Ahora, consideremos un intervalo particular I_{n}=[a_{n},b_{n}]. Debido a que x es una cota superior de A, tenemos a\leq x. El hecho de que cada b_{n} es una cota superior de A y que x es la menor cota superior implica que x\leq b_{n}.

En resumen, tenemos entonces a\leq x\leq b_{n}, lo que significa que x\in I_{n} para cada elección de n\in\mathbb{N}. Por lo tanto, x\in\bigcap^{\infty}_{n=1}I_{n}, y la intersección es no vacía. \clubsuit


Este principio se asocia al nombre de un famoso matemático alemán: Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845 – 1918), considerado junto a Dedekind y Frege el creador de la Teoría de Conjuntos.

Georg Cantor

Como veremos más adelante, el Principio de los Intervalos Encajados sirve de soporte para importantes resultados del Análisis Real.


Referencias bibliográficas:

  • Abbott, Stephen (2010) Understanding Analysis. Springer.

Read Full Post »

Iniciando el año 2015

Estimados lectores, aquí estoy iniciando un nuevo año en este blog.

Espero que los breves artículos de este año sean de utilidad para todos, y les agradecería me hicieran llegar sus opiniones, como algunos ya lo han hecho, en los comentarios de las entradas. El objetivo, como hasta ahora, será seguir compartiendo notas de distintas áreas de la matemática. Seguramente el intercambio que podamos establecer será enriquecedor para todos.

Cordiales saludos y gracias por sus visitas…

Read Full Post »