La existencia de raíces cuadradas y más

Feeds:: Entradas; Comentarios

La existencia de raíces cuadradas y más

12 febrero 2015 por Ana María Teresa Lucca

Recordemos que en Axioma de Completitud analizamos en un ejemplo la búsqueda del supremo del conjunto $S=\left\{r\in\mathbb{Q}:r^{2}<2\right\},$ y nos quedó algo pendiente por demostrar. Es momento que completemos la cuestión:

Existe un número real $\alpha\in\mathbb{R}$ que satisface $\alpha^{2}=2$ .

Dem: Consideremos el conjunto

$T=\left\{t\in\mathbb{R}:t^{2}<2\right\}$

y sea $\alpha=\sup T$ . Vamos a demostrar que $\alpha^{2}=2$ descartando las posibilidades $\alpha^{2}<2$ y $\alpha^{2}>2$ . Tengamos en cuenta que hay dos partes en la definición de $\sup T$ , y ambas serán importantes. (Esto siempre ocurre cuando se utiliza el supremo en un argumento.) La estrategia es demostrar que $\alpha^{2}<2$ viola el hecho de que $\alpha$ es una cota superior de $T$ , y que $\alpha^{2}>2$ viola el hecho de que es la menor cota superior.

Primero vamos a ver qué pasa si asumimos $\alpha^{2}<2$ . En la búsqueda de un elemento de $T$ que sea mayor que $\alpha$ , escribimos

Pero ahora suponer que $\alpha^{2}<2$ nos da un poco de espacio en el que encajar el término $(2\alpha+1)/n$ y mantiene el total menor que $2$ . Específicamente, elegimos $n_{0}\in\mathbb{N}$ suficientemente grande para que

$\displaystyle\frac{1}{n_{0}}<\frac{2-\alpha^{2}}{2\alpha+1}.$

Esto implica que $(2\alpha+1)/n_{0}<2-\alpha^{2}$ , y en consecuencia

$\left(\alpha+\frac{1}{n_{0}}\right)^{2}<\alpha^{2}+(2-\alpha^{2})=2.$

Así, $\alpha+1/n_{0}\in T$ , lo que contradice el hecho que $\alpha$ es una cota superior de $T$ . Concluimos que no puede ocurrir que $\alpha^{2}<2$ .

Ahora, ¿qué sucede en caso de que $\alpha^{2}>2$ ?. Esta vez escribimos

El resto del argumento resulta análogo al anterior. $\clubsuit$

Hemos demostrado entonces la existencia de la raíz cuadrada de dos.

Una pequeña modificación de esta demostración puede emplearse para probar que $\sqrt{x}$ existe para cualquier $x\geq 0$ . Una fórmula para desarrollar $(\alpha+1/n)^{m}$ , conocida como Fórmula Binomial, puede utilizarse para demostrar que $\sqrt[m]{x}$ existe para valores arbitrarios de $m\in\mathbb{N}$ .