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Archive for 11 11-03:00 marzo 11-03:00 2015

En la entrada anterior acerca de conjuntos numerables demostramos que el conjunto de los números reales es no numerable. Si bien la demostración presentada es diferente de cualquiera de los argumentos que Georg Cantor dio para este resultado, revela de manera directa la conexión entre los conceptos de numerabilidad y completitud.

Cantor publicó inicialmente su descubrimiento de que \mathbb{R} es no numerable en 1874, pero en 1891 ofreció una demostración más de este mismo hecho que es sorprendente por su sencillez. Se basa en representaciones decimales de los números reales, que aquí aceptaremos y utilizaremos sin ningún tipo de definición formal. El lector interesado en ahondar más en este tema puede recurrir a Apostol.


El intervalo abierto (0,1)=\left\{x\in\mathbb{R}:0<x<1\right\} es no numerable.

Dem. Procedemos por contradicción, suponiendo que sí existe una función f:\mathbb{N}\rightarrow(0,1) que es 1-1 y sobre. Para cada m\in\mathbb{N}, f(m) es un número real entre 0 y 1, y lo representamos usando la notación decimal

f(m)=0,a_{m1}a_{m2}a_{m3}a_{m4}a_{m5}\ldots.

Esto significa que para cada m,n\in\mathbb{N}, a_{mn} es el dígito del conjunto \left\{0,1,2,\ldots,9\right\} que representa el n-ésimo dígito del desarrollo decimal de f(m). La correspondencia 1-1 entre \mathbb{N} y (0,1) se puede resumir en la matriz doblemente indexada

El supuesto clave de esta correspondencia es que todo número real en (0,1) se supone aparecerá en algún lugar de la lista.

Ahora la perlita del argumento. Definimos un número real x\in(0, 1) con el desarrollo decimal x=0,b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}\ldots usando la regla

Con un poco de profunda reflexión el lector se podrá dar cuenta de que este número real x no se corresponde con ninguno de los que hemos listado en el rango de la función f:\mathbb{N}\rightarrow(0,1). Esta contradicción nos lleva a concluir que (0, 1) es no numerable. \clubsuit


Una imagen visual quizás ayude…

Se deja al lector demostrar que (0, 1) es no numerable si y sólo si \mathbb{R} es no numerable. Como sugerencia, válgase de la función h:(0,1)\rightarrow\mathbb{R} dada por h(x)=(2x-1)/(x-x^{2}).

Así, tenemos una nueva versión, la dada por el Proceso de Diagonalización de Cantor, que es con el nombre que se conoce la técnica que hemos descrito arriba, de la demostración de la no numerabilidad del conjunto de los números reales.

Hemos visto que demostrar que  (0,1) es no numerable lleva su tiempito. Sin embargo, quienes hemos estudiado la Teoría de la Medida de Lebesgue podemos jactarnos de demostrar este hecho en una sola línea. Ocurre que la medida Lebesgue de un intervalo coincide con su longitud, y la medida Lebesgue de todo conjunto numerable es cero. Así, si (0,1) fuera numerable resultaría:

0=m((0,1))=l((0,1))=1

lo que claramente es una contradicción. La única línea arriba nos dice que (0,1) es no numerable.

Después de haber distinguido entre la infinidad numerable de \mathbb{N} y la infinidad no numerable de \mathbb{R}, una nueva pregunta ocupó a Cantor: existe un infinito por encima de \mathbb{R}?. Esto lógicamente es un territorio traicionero. El mismo cuidado que dimos a la definición de la relación tiene la misma cardinalidad que tiene que ser dado a las relaciones que definen tiene cardinalidad mayor que o tiene cardinalidad menor o igual a. Pero esto es tema de otra entrada…


 

Referencias bibliográficas:

  • Abbott, Stephen (2010) Understanding Analysis. Springer.
  • Apostol, Tom M. (2005) Cálculus. Volumen 1. Reverte.
  • Ferrando, J. C.; Gregori, V. (1995) Matemática discreta. Reverté.
  • Royden, H (2010) Real Analysis. Mc.Millan

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