07 | abril | 2015 | Blog de Matemática y TIC's

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Cuando reordenar trae lío

Posted in Análisis Real, Producción propia, tagged Serie geométrica, Series infinitas on 7 abril 2015| Leave a Comment »

Consideremos la serie infinita

$\displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}\frac{(-1)^{n+1}}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\cdots.$

Si ingenuamente comenzamos sumando desde el lado izquierdo, obtenemos una sucesión llamada sumas parciales. En otras palabras, sea $s_{n}$ igual a la suma de los primeros $n$ términos de la serie, de manera que $s_{1} = 1$ , $s_{2} = 1/2$ , $s_{3} = 5/6$ , $s_{4} = 7/12$ , y así sucesivamente. Una observación inmediata es que las sucesivas sumas oscilan en un espacio cada vez más estrecho. Las sumas impares decrecen ( $s_{1}> s_{3}> s_{5}>\ldots$ ), mientras que las sumas pares aumentan ( $s_{2} <s_{4} <s_{6} <\ldots$ ).

Parece razonable –y pronto lo demostraremos– que la sucesión $(s_{n})$ eventualmente se acerca a un valor, llamémoslo $S$ , en el que las sumas parciales pares e impares «se reúnen». En este momento, no podemos calcular $S$ exactamente, pero sabemos que cae en algún lugar entre $7/12$ y $5/6$ . La suma de unos pocos cientos de términos revela que $S\approx 0,69$ . Cualquiera que sea su valor, ahora hay una tentación abrumadora de escribir

$\displaystyle S=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\cdots$

lo que significa, tal vez, que si pudiéramos efectivamente sumar toda esta cantidad infinita de números, la suma sería igual a $S$ . Un ejemplo más familiar de una ecuación de este tipo podría ser

$\displaystyle 2=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\cdots,$

la única diferencia es que en la segunda ecuación tenemos un valor más reconocible para la suma.

Pero ahora llega el quid de la cuestión. Los símbolos $+$ , $-$ y $=$ en las ecuaciones anteriores son nociones engañosamente conocidas que se utilizan de una manera muy poco familiar. La pregunta crucial es si las propiedades de la suma y la igualdad que son bien comprendidas para sumas finitas siguen siendo válidas cuando se aplican a objetos infinitos, como las mostradas arriba. La respuesta, como estamos a punto de presenciar, es un tanto ambigua.

Tratando la ecuación

$\displaystyle S=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\cdots$

de manera algebraica estándar, vamos a multiplicar por $1/2$ y sumar el resultado de nuevo a la ecuación arriba):

Ahora, miremos cuidadosamente el resultado. La suma arriba consiste precisamente de los mismos términos que la ecuación de partida, sólo que en un orden diferente. Específicamente, estamos ante un reordenamiento de la serie original, donde se listan los dos primeros términos positivos $(1 + \frac{1}{3})$ seguidos por el primer término negativo $(-\frac{1}{2})$ , seguido por los próximos dos términos positivos $(\frac{1}{5}+\frac{1}{7})$ y luego el siguiente término negativo $(-\frac{1}{4})$ . Continuando con esto, es evidente que cada término en la serie resultante aparece en la serie original, y viceversa. El quiebre viene cuando nos damos cuenta de que la última ecuación asegura que la suma de este reordenamiento, y no alterado de otro modo, de números es igual a $3/2$ de su valor original. De hecho, la adición de unos pocos cientos de términos de esta ecuación produce sumas parciales en la vecindad de $1,03$ . La adición, en esta configuración infinita, no es conmutativa!!!

Echemos un vistazo a un reordenamiento similar de la serie

$\displaystyle\sum^{\infty}_{n=0}(-1/2)^{n}.$

Esta serie es geométrica con primer término $1$ y la razón común $r=-1/2$ . Utilizando la fórmula $1 / (1 - r)$ para la suma de una serie geométrica, obtenemos

$\displaystyle 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\frac{1}{16}-\frac{1}{32}+\frac{1}{64}-\frac{1}{128}+\frac{1}{256}\cdots=\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)}=\frac{2}{3}.$

Esta vez, un poco de experimentación computacional con el reordenamiento «dos positivos, uno negativo»

$\displaystyle 1+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}-\frac{1}{8}+\frac{1}{256}+\frac{1}{1024}-\frac{1}{32}\cdots$

produce sumas parciales bastante cercanas a $2/3$ . La suma de los primeros $30$ términos, por ejemplo, es igual a $0,666667$ . La adición infinita es conmutativa en algunos casos pero no en otros!!!

Una interesante caja de sorpresas, no crees?

Son las patologías lo que dan lugar a la necesidad de rigor. Una resolución satisfactoria a estas cuestiones requiere que seamos absolutamente precisos acerca de lo que entendemos cuando manipulamos estos objetos infinitos. Puede parecer que el progreso es lento al principio, pero eso es porque no queremos caer en la trampa de dejar que los prejuicios de nuestra intuición corrompan nuestros argumentos. Las pruebas rigurosas están destinadas a ser un chequeo de nuestra intuición, y al final veremos que en realidad mejoran nuestra imagen mental del infinito matemático.

Como último ejemplo, consideremos la posibilidad de algo tan fundamental como intuitivo como es la propiedad asociativa de la suma aplicada a la serie $\sum^{\infty}_{n=1}(-1)^{n}$ . La agrupación de los términos de una forma da

$(-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + \cdots = 0 + 0 + 0 + 0 + \cdots = 0,$

mientras que la agrupación de otra manera da

$-1 + (1-1) + (1-1) + (1-1) + (1-1)+\cdots = -1+0+0+0+0+\cdots = -1.$

Las manipulaciones que son legítimas en escenarios finitos no siempre se extienden a escenarios infinitos. Decidir cuándo lo hacen y por qué es uno de los temas centrales del análisis, y lo que lo torna una rama fascinante de la matemática.

Referencias bibliográficas: