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Archive for 29 mayo 2016

Los egipcios, como los romanos después de ellos, expresaron los números  de acuerdo a un esquema decimal, utilizando símbolos separados para 1, 10, 100, 1.000, y así sucesivamente. Cada símbolo aparecía en la expresión de un número tantas veces como el valor que representa aparecía en el propio número.

Se utiliza esta notación bastante engorrosa dentro de la escritura jeroglífica encontrada en inscripciones en piedra y en otros textos formales, pero en los documentos sobre papiro los escribas empleaban una escritura abreviada más conveniente, llamada  escritura hierática.

En tal sistema, para sumar y restar cantidades se contaba el número de símbolos que hay de cada tipo  en las expresiones numéricas y luego se escribía el número resultante de símbolos. Los textos que sobreviven no revelan los procedimientos especiales que los escribas utilizaban para ayudarse en estos casos. Sin embargo, para la multiplicación introdujeron un método de duplicación sucesiva.

Para dividir 308 por 28 los egipcios aplicaban el mismo procedimiento a la inversa.

En la mayoría de los casos, por supuesto, no había un resto que fuera menor que el divisor.

Para números más grandes este procedimiento puede mejorarse teniendo en cuenta los múltiplos de uno de los factores por 10, 20, ... o incluso por órdenes superiores de magnitud (100, 1000, ...), según sea necesario (en la notación decimal egipcia estas multiplicaciones son fáciles de hacer). Así, puede hallar el producto de 28 por 27 mediante los múltiplos de 28, a saber, 1, 2, 4, 8, 10, 20, se observa que los elementos 1, 2, 4 y 20 suman 27, por lo que basta sumar los múltiplos correspondientes para encontrar la respuesta.

Los cálculos con fracciones se llevaban a cabo bajo la restricción de considerar fracciones unitarias (es decir, fracciones que en notación moderna se escriben con numerador igual a 1). Expresar el resultado de dividir 4 por 7, por ejemplo, en notación moderna no es más que escribir 4/7, sin embargo el escriba escribía 1/2+1/14. El procedimiento para encontrar cocientes de esta forma se limitaba a extender el método habitual para la división de números enteros, inspeccionando ahora los  elementos en las tablas para 2/3, 1/3, 1/6, etc., y 1/2, 1/4, 1/8, etc., hasta que los múltiplos correspondientes del divisor sumaran el dividendo. (Se puede observar que los escribas incluían 2/3 como excepción a al exclusividad del uso de fracciones unitarias.) En la práctica el procedimiento a veces puede llegar a ser bastante complicado (por ejemplo, el valor de 2/29 que se da en el papiro Rhind es 1/24+1/58+1/174+1/232) y puede ser llevado a cabo de diferentes maneras (por ejemplo, la misma fracción 2/29 podría encontrarse como  1/15+1/435 o como 1/16+1/232+1/464, entre otros.). Una parte considerable de los textos en papiro está dedicada a tablas para facilitar el hallazgo de tales fracciones  unitarias.

Estas operaciones elementales son todo lo que se necesita para resolver los problemas aritméticos en los papiros. Por ejemplo, “para dividir 6 panes entre 10 hombres” (Problema 3 del papiro Rhind), simplemente se divide para obtener la respuesta 1/2+1/10. En un grupo de problemas hay un truco interesante: “Una cantidad (aha) y su séptima  parte suman 19; ¿cuál es la cantidad?” (Problema 24 del papiro Rhind). Aquí el escriba supone  primero que la cantidad es 7; dado que 1\ 1/7 de esa cantidad se convierte en 8, el resultado no es 19 como se esperaba, sino 19/8 (es decir, 2+1/4+1/8, que multiplicado  por 7 se convierte en la respuesta requerida. Este tipo de procedimiento (a veces llamado el método de “falsa posición”) es conocido en muchas otras tradiciones aritméticas (por ejemplo, en chinos, hindúes, musulmanes y renacentistas europeos), a pesar de que parecen no haber tenido una relación directa con los egipcios.

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La introducción de la escritura en Egipto en el periodo predinástico (c. 3000 a.C.) trajo consigo la formación de una clase especial de profesionales instruidos, los escribas. En virtud de sus habilidades de escritura, los escribas tomaron todas las funciones de una administración pública: mantenimiento de registros, contabilidad tributaria, gestión de obras públicas (proyectos de construcción y similares), incluso el enjuiciamiento de guerra a través de la supervisión de los suministros y nóminas militares. Los hombres jóvenes se enrolaban en las escuelas de escribas para aprender los elementos esenciales del oficio, que no sólo incluía la lectura y la escritura, sino también conceptos básicos de matemática.

Cuenta la leyenda que los escribas de las escuelas del Reino Nuevo (siglo XIII a.C.) tenían a un escriba ficticio llamado Amen-em-opet del que se mofaban en unas cartas satíricas que los estudiantes copiaban como ejercicio. Un hipotético rival llamado Hori reprende al primero por su incompetencia como asesor y gerente diciendo:

Se debe construir una rampa de 730 codos de longitud y 55 codos de anchura, conteniendo 120 compartimentos y rellena con carrizos y estacas… Los generales preguntan la cantidad de ladrillos requerida, y los escribas están reunidos, sin que ninguno de ellos sepa nada. Ellos ponen en tí su confianza, diciendo: tú, que eres el escriba hábil, amigo mío… Respóndenos, ¿cuántos ladrillos se necesitan?

Este problema y otros tres como él en la misma carta no pueden resolverse sin más datos. Pero el punto del humor es claro, ya que Hori desafía a su rival con estas tareas difíciles, pero típicas.

Lo que se sabe de la matemática egipcia concuerda bien con las pruebas planteadas por el escriba Hori. La información proviene principalmente de dos documentos de papiro que una vez sirvieron como libros de texto dentro de las escuelas de escribas. El papiro Rhind o Papiro de Ahmes (en el Museo Británico) es una copia hecha en el siglo XVII a.C. de un texto de dos siglos antes. En él se encuentra una larga tabla de partes fraccionarias como ayuda para la división, seguida de las soluciones de 84 problemas específicos de aritmética y geometría. El papiro Golenischev o Papiro de Moscú (en el Museo de Moscú de Bellas Artes), que data del siglo XIX a.C. , presenta 25 problemas de tipo similar. Estos problemas reflejan también las funciones que los escribas realizaban, por tratarse de la forma de distribuir cerveza y pan como salarios, por ejemplo, y la forma de medir las áreas de los campos, así como los volúmenes de las pirámides y otros sólidos.

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El método sexagesimal desarrollado por los babilonios tiene un potencial mucho mayor de cálculo que lo que realmente se necesita para los antiguos textos de problemas. Sin embargo, con el desarrollo de la astronomía matemática en el período seléucida se hizo indispensable. Los astrónomos trataron de predecir futuras apariciones de fenómenos importantes, como los eclipses lunares y los puntos críticos en los ciclos planetarios (conjunciones, oposiciones, puntos estacionarios y primera y última visibilidad). Idearon una técnica para el cálculo de estas posiciones (expresadas en términos de grados de latitud y longitud, medidas con relación a la trayectoria del movimiento anual aparente del Sol) por sumas sucesivas de términos apropiados en progresión aritmética. Los resultados se organizaron luego en una tabla que lista las posiciones con la antelación que el escriba elegía. (Aunque el método es puramente aritmético, se puede interpretar gráficamente: los valores tabulados forman una aproximación lineal “zig-zag” a lo que es en realidad una variación sinusoidal.) Si bien se requerían observaciones que se extienden durante siglos para encontrar los parámetros necesarios (por ejemplo, períodos, rango angular entre valores máximos y mínimos y similares), sólo el aparato computacional a su disposición hizo posible la previsión de los astrónomos.

 Dentro de un tiempo relativamente corto (quizás un siglo o menos) los elementos de este sistema llegaron a manos de los griegos. Aunque Hiparco (siglo II  a.C.) favoreció el enfoque geométrico de sus predecesores griegos, se hizo cargo de los parámetros de los mesopotámicos y adoptó su estilo de cálculo sexagesimal. A través de los griegos pasó a los científicos árabes durante la Edad Media y de allí a Europa, donde permaneció prominente en la astronomía matemática durante el Renacimiento y la Edad Moderna. Al día de hoy persiste en el uso de los minutos y los segundos para medir el tiempo y los ángulos.

Aspectos de la matemática babilónica antigua pueden haber llegado a los griegos incluso antes, tal vez en el siglo V a.C., durante el período formativo de la geometría griega. Hay una serie de paralelismos que los estudiosos han observado: por ejemplo, la técnica griega de la “aplicación de áreas” correspondía a los métodos cuadráticos de Babilonia (aunque en una forma geométrica, no aritmética). Además, la regla babilónica para calcular raíces cuadradas fue ampliamente utilizada en los cálculos geométricos griegos, y también puede haber habido algunos matices compartidos de la terminología técnica. Aunque los detalles del momento y la manera de una tal transmisión son oscuros debido a la ausencia de documentación explícita, parece que la matemática occidental, derivada fundamentalmente de los griegos, está considerablemente endeudada con la matemática mesopotámica antigua.

 

 

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