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Archive for 16/05/16

A diferencia de los egipcios, los matemáticos del período babilónico antiguo fueron mucho más allá de los retos inmediatos de sus funciones oficiales de contabilidad. Por ejemplo, introdujeron un versátil sistema de numeración que, al igual que el sistema moderno, explotó la noción de valor posicional, y desarrollaron métodos de cálculo que se aprovecharon de este medio para expresar los números. También resolvieron problemas lineales y cuadráticos por métodos muy parecidos a los que ahora se utilizan en el álgebra. Su éxito con el estudio de lo que ahora se llama ternas de números pitagóricos fue una hazaña notable de la teoría de números. Los escribas que hicieron esos descubrimientos deben haber creído que la matemática es digna de estudio por derecho propio, no sólo como una herramienta práctica.

El sistema de números sumerio más antiguo siguió un principio decimal aditivo (en base 10) similar al de los egipcios. Pero el viejo sistema babilónico convertía esto en un sistema posicional con base de 60 (sexagesimal). Las razones de la elección de 60 son oscuras, pero una buena razón matemática podría haber sido la existencia de muchos divisores (2, 3, 4 y 5, y algunos múltiplos) de la base, lo que habría facilitado en gran medida la operación de división. Para los números de 1 a 59, combinaron los símbolos para 1 y para 10 en la sencilla forma aditiva. Pero para expresar valores más grandes, los babilonios aplicaron el concepto de valor posicional. De hecho, podían representar cualquier potencia de 60. El contexto determinaba cómo interpretar la  potencia. Los babilonios parecen haber desarrollado un símbolo de marcador de posición que funcionaba como un cero en el siglo III a.C., pero su significado preciso y su uso son  todavía inciertos. Por otra parte, no tenían ninguna marca para separar los números en partes enteras y fraccionarias (como el punto (o coma) decimal moderno).

Las cuatro operaciones aritméticas se realizaban de la misma manera como en el sistema decimal moderno, excepto que el acarreo se producía cada vez que una suma alcanzaba 60 en lugar de 10. La multiplicación fue facilitada por tablas; una tablilla típica muestra los múltiplos de un número por 1, 2, 3, …, 19, 20, 30, 40 y 50. Para multiplicar dos números de varios lugares de longitud, el primer escriba primero dividía el problema en varias multiplicaciones, cada una por un número de un solo lugar, y luego tomaba el valor de cada producto de las tablas correspondientes. Encontraba la respuesta al problema sumando estos resultados intermedios. Estas tablas también ayudaban en la división; pero los valores en sus encabezados eran todos recíprocos de números regulares.

Los números regulares son aquellos cuyos factores primos dividen la base. Así, los recíprocos de tales números sólo tienen un número finito de lugares (por el contrario, los recíprocos de los números no regulares producen un número infinito de repeticiones). En base 10, por ejemplo, sólo los números con factores 2 y 5 (por ejemplo, 8 o 50) son regulares, y sus recíprocos (1/8 = 0,125 y 1/50 = 0,02) tienen expresiones finitas; pero los recíprocos de otros números (por ejemplo, 3 y 7) se repiten infinitamente (0.33333…. y 0.142857142857142857…., respectivamente). En base 60, sólo los números con factores de 2, 3 y 5 son regulares. Por ejemplo, 6 y 54 son regulares, por lo que sus recíprocos (10 y 1 6 40) son finitos. Las entradas de la tabla de multiplicar por 1 6 40 son, pues, al mismo tiempo múltiplos de su recíproco 1/54. Para dividir un número por cualquier número regular se podía entonces consultar la tabla de múltiplos para su recíproco.

Una tablilla interesante de la colección de la Universidad de Yale muestra un cuadrado con sus diagonales. En un lado está escrito “30”, bajo una diagonal “42 25 35”, y a la derecha a lo largo de la misma diagonal “1 24 51 10” (es decir, 1+24/60+51/60^{2}+10/60^{3}). Este tercer número es el valor correcto de \sqrt{2} con cuatro lugares sexagesimales (equivalente en el sistema decimal a 1,414213…), mientras que el segundo número es el producto del tercer número y el primero y así da la longitud de la diagonal cuando el lado es 30. Así pues el escriba parece haber conocido un equivalente del método familiar de la búsqueda de raíces cuadradas. Un elemento adicional de sofisticación es que, debido a la elección de 30 (es decir, 1/2) para el lado, el escriba obtuvo como diagonal el recíproco del valor de \sqrt{2} (pues \sqrt{2}/2=1/\sqrt{2}), un resultado útil para los propósitos de la división.

 

 

 


Referencias bibliográficas:

  • (2011) The Britannica Guide to The History of Mathematics. Rosen Educational  Services.
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