En una tablilla de Babilonia ahora en Berlín, la diagonal de un rectángulo de lados y se resuelve como . Aquí se utiliza una regla de aproximación muy eficaz (que la raíz cuadrada de la suma puede ser estimada como ), la misma regla que se encuentra con frecuencia en escritos geométricos griegos posteriores. Estos dos ejemplos ilustran cómo los babilonios se acercaron a raíces aritméticas desde la geometría. También muestran que los babilonios eran conscientes de la relación entre la hipotenusa y los dos catetos de un triángulo rectángulo (ahora comúnmente conocida como teorema de Pitágoras) más de mil años antes de que los griegos la utilizaron.
Un tipo de problema que aparece con frecuencia en las tablillas babilónicas es el de buscar la base y la altura de un rectángulo, cuando su producto y su suma son valores especificados. A partir de la información proporcionada, el escriba obtenía la diferencia, ya que . De la misma manera, si se dan el producto y la diferencia, se puede determinar la suma. Y una vez que se conocen tanto la suma como la diferencia, cada lado se puede determinar por y . Este procedimiento es equivalente a una solución de la ecuación cuadrática general en una variable. En algunos lugares, sin embargo, los escribas babilónicos resolvieron problemas cuadráticos en términos de una sola incógnita, al igual que ahora se hace por medio de la fórmula cuadrática.
Aunque estos procedimientos cuadráticos babilónicos a menudo se han descrito como la primera aparición del álgebra, hay diferencias importantes. Los escribas carecían de un simbolismo algebraico. A pesar de que sin duda deben haber comprendido que sus procedimientos de solución eran generales, siempre los presentan en términos de casos particulares, en lugar de como un trabajo mediante fórmulas generales e identidades. De este modo, carecían de los medios para presentar derivaciones generales y demostraciones de sus procedimientos de solución.
Como se mencionó, los escribas babilonios sabían que la base (), la altura () y la diagonal () de un rectángulo satisfacen la relación . Si uno selecciona los valores al azar para dos de los términos, el tercero será normalmente irracional, pero es posible encontrar casos en los que los tres términos son números enteros: por ejemplo, y . ( Este tipo de soluciones se denominan a veces ternas pitagóricas.) Una tablilla de la Colección de la Universidad de Columbia, conocida como Plimpton 322, presenta una lista de 15 de estas ternas.
Los estudiosos aún debaten sobre los matices de la construcción y el uso previsto para esta tablilla, pero nadie pone en duda el alto nivel de conocimientos implícitos en ella.
A diferencia de los egipcios, los matemáticos del período babilónico antiguo fueron mucho más allá de los retos inmediatos de sus funciones oficiales de contabilidad. Por ejemplo, introdujeron un versátil sistema de numeración que, al igual que el sistema moderno, explotó la noción de valor posicional, y desarrollaron métodos de cálculo que se aprovecharon de este medio para expresar los números. También resolvieron problemas lineales y cuadráticos por métodos muy parecidos a los que ahora se utilizan en el álgebra. Su éxito con el estudio de lo que ahora se llama ternas de números pitagóricos fue una hazaña notable de la teoría de números. Los escribas que hicieron esos descubrimientos deben haber creído que la matemática es digna de estudio por derecho propio, no sólo como una herramienta práctica.
El sistema de números sumerio más antiguo siguió un principio decimal aditivo (en base 10) similar al de los egipcios. Pero el viejo sistema babilónico convertía esto en un sistema posicional con base de 60 (sexagesimal). Las razones de la elección de 60 son oscuras, pero una buena razón matemática podría haber sido la existencia de muchos divisores (2, 3, 4 y 5, y algunos múltiplos) de la base, lo que habría facilitado en gran medida la operación de división. Para los números de 1 a 59, combinaron los símbolos para 1 y para 10 en la sencilla forma aditiva. Pero para expresar valores más grandes, los babilonios aplicaron el concepto de valor posicional. De hecho, podían representar cualquier potencia de 60. El contexto determinaba cómo interpretar la potencia. Los babilonios parecen haber desarrollado un símbolo de marcador de posición que funcionaba como un cero en el siglo III a.C., pero su significado preciso y su uso son todavía inciertos. Por otra parte, no tenían ninguna marca para separar los números en partes enteras y fraccionarias (como el punto (o coma) decimal moderno).
Las cuatro operaciones aritméticas se realizaban de la misma manera como en el sistema decimal moderno, excepto que el acarreo se producía cada vez que una suma alcanzaba 60 en lugar de 10. La multiplicación fue facilitada por tablas; una tablilla típica muestra los múltiplos de un número por 1, 2, 3, …, 19, 20, 30, 40 y 50. Para multiplicar dos números de varios lugares de longitud, el primer escriba primero dividía el problema en varias multiplicaciones, cada una por un número de un solo lugar, y luego tomaba el valor de cada producto de las tablas correspondientes. Encontraba la respuesta al problema sumando estos resultados intermedios. Estas tablas también ayudaban en la división; pero los valores en sus encabezados eran todos recíprocos de números regulares.
Los números regulares son aquellos cuyos factores primos dividen la base. Así, los recíprocos de tales números sólo tienen un número finito de lugares (por el contrario, los recíprocos de los números no regulares producen un número infinito de repeticiones). En base 10, por ejemplo, sólo los números con factores 2 y 5 (por ejemplo, 8 o 50) son regulares, y sus recíprocos (1/8 = 0,125 y 1/50 = 0,02) tienen expresiones finitas; pero los recíprocos de otros números (por ejemplo, 3 y 7) se repiten infinitamente (0.33333…. y 0.142857142857142857…., respectivamente). En base 60, sólo los números con factores de 2, 3 y 5 son regulares. Por ejemplo, 6 y 54 son regulares, por lo que sus recíprocos (10 y 1 6 40) son finitos. Las entradas de la tabla de multiplicar por 1 6 40 son, pues, al mismo tiempo múltiplos de su recíproco 1/54. Para dividir un número por cualquier número regular se podía entonces consultar la tabla de múltiplos para su recíproco.
Una tablilla interesante de la colección de la Universidad de Yale muestra un cuadrado con sus diagonales. En un lado está escrito «30», bajo una diagonal «42 25 35», y a la derecha a lo largo de la misma diagonal «1 24 51 10» (es decir, ). Este tercer número es el valor correcto de con cuatro lugares sexagesimales (equivalente en el sistema decimal a 1,414213…), mientras que el segundo número es el producto del tercer número y el primero y así da la longitud de la diagonal cuando el lado es 30. Así pues el escriba parece haber conocido un equivalente del método familiar de la búsqueda de raíces cuadradas. Un elemento adicional de sofisticación es que, debido a la elección de 30 (es decir, 1/2) para el lado, el escriba obtuvo como diagonal el recíproco del valor de (pues ), un resultado útil para los propósitos de la división.
Referencias bibliográficas:
(2011) The Britannica Guide to The History of Mathematics. Rosen Educational Services.
Hasta la década de 1920 comúnmente se suponía que la matemática tuvo su nacimiento entre los antiguos griegos. Lo que se conocía acerca de tradiciones anteriores, como la egipcia representada por el papiro Rhind (editado por primera vez recién en 1877), ofrecía en el mejor de los casos un magro precedente. Esta impresión dio paso a una visión muy diferente cuando los Orientalistas lograron descifrar e interpretar materiales técnicos de la antigua Mesopotamia.
Debido a la durabilidad de las tablillas de arcilla de los escribas de la Mesopotamia, la evidencia sobreviviente de esta cultura es sustancial. Los especímenes existentes de matemática representan todas las eras principales: los reinos sumerios del tercer milenio antes de Cristo, los regímenes acadios y babilonios (segundo milenio) y los imperios de los asirios (principios del primer milenio), persas (siglos VI a IV a.C.) y los griegos (siglo III a.C. a siglo I d.C.). El nivel de competencia ya era alto en la dinastía de la Antigua Babilonia, el tiempo del rey-legislador Hammurabi (c. siglo XVIII a.C.), pero después hubo pocos avances notables. La aplicación de la matemática a la astronomía, sin embargo, floreció durante los períodos seléucida (griego) y persa.
En la próxima entrega reseñaré brevemente la numeración y las operaciones aritméticas en esta antigua civilización.
Referencias bibliográficas:
(2011) The Britannica Guide to The History of Mathematics. Rosen Educational Services.
). Este tercer número es el valor correcto de 
con cuatro lugares sexagesimales (equivalente en el sistema decimal a 1,414213…), mientras que el segundo número es el producto del tercer número y el primero y así da la longitud de la diagonal cuando el lado es 30. Así pues el escriba parece haber conocido un equivalente del método familiar de la búsqueda de raíces cuadradas. Un elemento adicional de sofisticación es que, debido a la elección de 30 (es decir, 1/2) para el lado, el escriba obtuvo como diagonal el recíproco del valor de 
), un resultado útil para los propósitos de la división.
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