El pre-cálculo en el Siglo XVII

El historiador Carl Boyer llama cálculo «al instrumento más eficaz para la investigación científica que la matemática haya producido jamás.» Como la matemática de la variabilidad y el cambio, el cálculo fue el producto característico de la revolución científica. El tema fue propiamente la invención de dos matemáticos, el alemán Gottfried Leibniz y el inglés Isaac Newton. Ambos publicaron sus investigaciones en la década de 1680, Leibniz en 1684 en la revista recién fundada Acta Eruditorum y Newton en 1687 en su gran tratado, los Principia. A pesar de una amarga disputa sobre la prioridad que se desarrolló más tarde entre los seguidores de los dos hombres, ahora está claro que cada uno de ellos llegó al cálculo  de manera independiente.

El cálculo se desarrolló a partir de técnicas para resolver dos tipos de problemas, la determinación de áreas y volúmenes y el cálculo de tangentes a curvas. En la geometría clásica Arquímedes había llegado bastante lejos en esta parte de la matemática, después de haber utilizado el método de agotamiento para establecer rigurosamente diferentes resultados acerca de áreas y volúmenes y de haber derivado para algunas curvas (por ejemplo, para la espiral) resultados significativos relacionados con las tangentes. A principios del siglo XVII hubo un resurgimiento sostenido del interés en ambas clases de problemas. Las décadas entre 1610 y 1670 en general son recordadas en la historia de la matemática como «el período del pre-cálculo», fueron una época de notable actividad en la que investigadores de toda Europa contribuyeron con soluciones novedosas y compitieron entre sí para llegar a importantes nuevos métodos.

El  período del  pre-cálculo

En su tratado Geometria indivisibilibus continuorum de 1635, Bonaventura Cavalieri, un profesor de matemática en la Universidad de Bolonia, formuló un método sistemático para la determinación de áreas y volúmenes.

Al igual que Arquímedes, Cavalieri consideró una figura plana compuesta de una colección de líneas indivisibles, «todas las líneas» de la figura plana. La colección fue generada por una línea fija en movimiento a través del espacio paralelo a sí mismo. Cavalieri demostró que estas colecciones podían interpretarse como magnitudes que obedecen a las reglas de la teoría de la proporción euclidiana. En la Proposición 4 del Libro II, derivó el resultado de que hoy se escribe como

Dado un paralelogramo en el que se dibuja una diagonal; entonces  «todos los cuadrados» del paralelogramo serán el triple de «todos los cuadrados» de cada uno de los triángulos determinados por la diagonal.

Cavalieri mostró que esta proposición podía interpretarse de diferentes maneras -como por ejemplo, afirma, que el volumen de un cono es un tercio del volumen del cilindro circunscrito o que el área bajo un segmento de una parábola es un tercio del área del rectángulo asociado. En un tratado posterior generalizó el resultado demostrando que

desde  hasta . Para establecer estos resultados, introdujo transformaciones entre las variables del problema, usando un resultado equivalente al teorema binomial para exponentes enteros. Las ideas en cuestión fueron más allá de lo que había aparecido en la teoría clásica de Arquímedes.

Aunque Cavalieri tuvo éxito en la formulación de un método sistemático basado en conceptos generales, sus ideas no eran fáciles de aplicar. La derivación de resultados muy simples requería consideraciones geométricas complejas, y el estilo ampuloso de la Geometria indivisibilibus era una barrera para su recepción.

John Wallis presentó un enfoque muy diferente para la teoría de cuadraturas en su Arithmetica Infinitorum  de 1655. Wallis, sucesor de Henry Briggs como profesor savilian de geometría en Oxford,era defensor de los nuevos métodos del álgebra aritmética que había aprendido de su maestro William Oughtred. Wallis expresó el área bajo una curva como la suma de una serie infinita y utilizó inteligentes y poco rigurosas inducciones para determinar su valor. Para calcular el área bajo la parábola,

él consideró las sumas sucesivas

y por «inducción» dedujo la relación general

Al permitir que el número de términos sea infinito, obtuvo como el valor límite de la expresión. Con curvas más complicadas logró resultados muy impresionantes, incluyendo la expresión infinita ahora conocida como producto de Wallis:

La investigación sobre la determinación de tangentes, el otro tema  que condujo al cálculo, procedió a lo largo de diferentes líneas. En La Géométrie Descartes había presentado un método que podía, en principio, aplicarse a cualquier curva «geométrica» o algebraica -es decir, a cualquier curva cuya ecuación era un polinomio de grado finito en dos variables. El método dependía de la búsqueda de la normal, la línea perpendicular a la tangente, con la condición algebraica de ser el único radio que intersecta la curva en un solo punto. El método de Descartes fue simplificado por Hudde, un miembro del grupo de matemáticos de Leiden, y fue publicado en 1659 en la edición de Van Schooten de La Géométrie.

Una clase de curvas de interés cada vez mayor en el siglo XVII comprendía las generadas cinemáticamente por un punto que se mueve a través del espacio. La famosa curva cicloidal, por ejemplo, era trazada por un punto en el perímetro de una rueda que rodaba sobre una línea sin deslizamiento.

Estas curvas eran no algebraicas y por lo tanto no podían ser tratadas por el método de Descartes. Gilles Personne de Roberval, profesor en el Collège Royale de París, ideó un método tomado de la dinámica para determinar sus tangentes. En su análisis del movimiento de proyectiles Galileo había demostrado que la velocidad instantánea de una partícula está compuesta por dos movimientos distintos: un movimiento horizontal constante y un movimiento vertical en aumento debido a la gravedad. Si el movimiento del punto generador de una curva cinemática es considerado igualmente como la suma de dos velocidades, entonces la tangente estará en la dirección de su suma. Roberval aplicó esta idea a varias curvas cinemáticas diferentes, obteniendo resultados que fueron a menudo ingeniosos y elegantes.

En un ensayo de 1636 que circuló entre los matemáticos franceses, Fermat presentó un método de tangentes adaptado de un procedimiento que había ideado para determinar máximos y mínimos y lo utilizó para encontrar tangentes a varias curvas algebraicas de la forma . Su relato era breve y no contenía ninguna explicación acerca de la base matemática del nuevo método. Es posible ver en su procedimiento un argumento que involucra a  los infinitesimales, y muchas veces se proclama a Fermat como el descubridor del cálculo diferencial. El estudio histórico moderno, sin embargo, sugiere que él estaba trabajando con conceptos introducidos por Viète y que su método se basaba en ideas algebraicas finitas.

Isaac Barrow, profesor lucasiano en la Universidad de Cambridge, publicó en 1670 su Geometrical Lectures, un tratado que más que cualquier otro anticipa las ideas unificadoras del cálculo. En él adoptó una forma puramente geométrica de exposición para mostrar cómo la determinación de áreas y tangentes son problemas inversos. Empezó con una curva y consideró la pendiente de su tangente correspondiente a cada valor de la abscisa. A continuación definió una curva auxiliar bajo la condición de que su ordenada sea igual a esta pendiente y mostró que el área bajo la curva auxiliar correspondiente a una abscisa dada es igual al rectángulo cuyos lados son la unidad y la ordenada de la curva original. Cuando se reformula analíticamente, este resultado expresa el carácter inverso de la diferenciación y la integración, el teorema fundamental del cálculo. Aunque la decisión de Barrow de proceder geométricamente le impidió tomar el paso final para un verdadero cálculo, sus lecturas influyeron tanto en Newton como en Leibniz.

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