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Archive for 23 23-03:00 julio 23-03:00 2016

La idea esencial de Newton y Leibniz era utilizar el álgebra cartesiana para sintetizar resultados anteriores y desarrollar algoritmos que pudieran ser aplicados de manera uniforme a una amplia clase de problemas. El período de formación de las investigaciones de Newton fue 1665-1670, mientras que Leibniz trabajó unos años más tarde, en la década de 1670. Sus contribuciones difieren en su origen, el desarrollo y la influencia, y es necesario tener en cuenta cada uno por separado.

Newton, hijo de un granjero inglés, se convirtió en 1669 en profesor lucasiano en la Universidad de Cambridge. Las primeras investigaciones de Newton en matemática surgieron en 1665 de su estudio de la edición de Van Schooten de La Géométrie y la Arithmetica Infinitorum de Wallis. Usando la ecuación cartesiana de la curva, reformuló los resultados de Wallis, presentando a tal efecto sumas infinitas en las potencias de una incógnita x, ahora conocidas como series infinitas. Posiblemente bajo la influencia de Barrow, usó los infinitesimales para establecer para diferentes curvas la relación inversa de tangentes y áreas. Las operaciones de diferenciación e integración surgieron en su trabajo como procesos analíticos que podían aplicarse en general para investigar curvas.

Inusualmente sensible a preguntas de rigor, Newton, en una etapa bastante temprana, trató de establecer su nuevo método en una base sólida usando ideas de la cinemática. Consideraba a una variable como una «fluidez», una magnitud que fluye con el tiempo. Llamó a su derivada o tasa de cambio con respecto al tiempo «fluxión», denotándola como la variable con un punto por encima de ella. El problema básico del cálculo era  investigar las relaciones entre los fluentes y sus fluxiones. Newton terminó un tratado sobre el método de fluxiones ya en 1671, aunque no se publicó hasta 1736. En el siglo XVIII este método se convirtió en el enfoque preferido para el cálculo entre los matemáticos británicos, especialmente después de la aparición en 1742 del influyente Treatise of Fluxions de Colin Maclaurin.

Newton publicó por primera vez el cálculo en el Libro I de su gran Philosophiae Naturalis Principia Mathematica de 1687. Originado como un tratado sobre la dinámica de partículas, los Principia presentó una física inercial que combinaba la mecánica de Galileo y la astronomía planetaria de Kepler. Fue escrito a principios de la década de 1680 en un momento en que Newton estaba reaccionando contra la ciencia y la matemática de Descartes. Dejando a un lado el método analítico de fluxiones, Newton introdujo en lemas su cálculo de primera y última razones, una teoría geométrica de límites que sirvió de base matemática para su dinámica.

El uso del cálculo en los Principia de Newton se ilustra en la Proposición 11 del Libro I: si la órbita de una partícula que se mueve bajo una fuerza centrípeta es una elipse con el centro de fuerza en un foco, entonces la fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde el centro. Debido a que por las leyes de Kepler se sabía que los planetas se movían en elipses con el Sol en un foco, este resultado apoyaba la ley del cuadrado inverso de la gravitación. Para establecer la proposición, Newton deriva una medida aproximada de la fuerza mediante el uso de pequeñas líneas definidas en función del radio (la línea del centro de la fuerza a la partícula) y la tangente a la curva en un punto. Este resultado expresaba geométricamente la proporcionalidad de la fuerza a la aceleración del vector. Usando las propiedades de la elipse conocidas a partir de la geometría clásica, Newton calculó el límite de esta medida y demostró que era igual a una constante multiplicada por 1 más el cuadrado del radio.

 Newton evitaba procesos analíticos en los Principia al expresar magnitudes y razones directamente en términos de cantidades geométricas, tanto finitas como infinitesimales. Su decisión de abstenerse constituye un rechazo notable por los métodos algebraicos que habían sido importantes incluso en sus primeras investigaciones sobre el cálculo. A pesar de que los Principia tuvo un valor inestimable para los mecánicos posteriores, sería reelaborado por los investigadores del continente y expresado en el lenguaje matemático del cálculo de Leibniz, el que trataremos en la próxima entrada.

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