Teoría de números algebraicos

Los números más simples de entender y usar son los números enteros y los números racionales. Los números irracionales parecen plantear problemas. Famoso entre ellos es . No se puede escribir como un número decimal finito o con cifras que se repiten (porque no es racional), pero puede ser muy fácilmente manipulado de manera algebraica. Sólo es necesario reemplazar todas las apariciones de  por . De este modo expresiones de la forma , donde y son números enteros, se pueden manejar aritméticamente. Estas expresiones tienen muchas propiedades similares a las de los números enteros, y los matemáticos incluso han definido los números primos de esta forma; por lo tanto, se denominan enteros algebraicos. En este caso lo hemo obtenido al considerar sobre los números racionales una solución de la ecuación polinómica . En general un entero algebraico es cualquier solución, real o compleja, de una ecuación polinómica con coeficientes enteros en la que el coeficiente de la potencia más alta de la incógnita es .

La teoría de números enteros algebraicos de Gauss dio lugar a la cuestión de determinar cuándo un polinomio de grado con coeficientes enteros se puede resolver dada la solvencia de las ecuaciones polinómicas de grado menor pero con coeficientes que son enteros algebraicos. Por ejemplo, Gauss consideró las coordenadas de los 17 vértices de una figura regular de 17 lados como números complejos que satisfacen la ecuación y por lo tanto como números enteros algebraicos. Uno de tales enteros es . Él mostró que el resto se obtiene resolviendo una sucesión de cuatro ecuaciones cuadráticas. Debido a que la solución de una ecuación cuadrática es equivalente a realizar una construcción con regla y compás, como Descartes había mostrado mucho antes, Gauss había demostrado cómo construir el 17-ágono regular.

Inspirado por las obras de Gauss sobre la teoría de los números, una escuela cada vez mayor de matemáticos se sintió atraída por el tema. Al igual que Gauss, el matemático alemán Ernst Eduard Kummer trató de generalizar la ley de reciprocidad cuadrática (ver entrada anterior) para hacer frente a preguntas sobre las potencias tercera, cuarta y más altas de números. Él vio que su trabajo lo llevaba en una dirección inesperada, hacia una resolución parcial del último teorema de Fermat. En 1637, Fermat escribió en el margen de su ejemplar de la Aritmética de Diofanto la pretensión de tener una prueba de que no hay soluciones en números enteros positivos a la ecuación  si . Sin embargo, ninguna prueba se descubrió entre sus notas.

El enfoque de Kummer fue el desarrollo de la teoría de números enteros algebraicos. Si se podía demostrar que la ecuación no tenía solución en números enteros algebraicos adecuados, entonces, a fortiori, no podía haber una solución en números enteros ordinarios. Él fue finalmente capaz de establecer la verdad del último teorema de Fermat para una clase grande de exponentes primos (aquellos que cumplen algunas condiciones técnicas necesarias para hacer que la demostración funcione). Este fue el primer avance significativo en el estudio del teorema. Junto con el trabajo anterior de la matemática francesa Sophie Germain, permitió a los matemáticos establecer el último teorema de Fermat para cada valor de de a millones. Sin embargo, el camino de Kummer en torno a las dificultades que encontró impulsó aún más la teoría de números enteros algebraicos al reino de la abstracción. Ascendió a la sugerencia de que no debía haber incluso otros tipos de números enteros, pero muchos encontraron oscuras estas ideas.

En Alemania, Richard Dedekind pacientemente creó un nuevo enfoque, en el que se definió cada nuevo número (llamado un ideal) por medio de un conjunto adecuado de enteros algebraicos, de tal manera que era el divisor común del conjunto de los enteros algebraicos utilizado para definirlo. El trabajo de Dedekind fue lento en cuanto a la obtención de una aprobación, sin embargo, ilustra varias de las características más profundas de la matemática moderna. Estaba claro para Dedekind que los enteros algebraicos ideales eran obra de la mente humana. Su existencia no puede basarse ni deducirse de la existencia de objetos físicos, deanalogías con procesos naturales, o de algún proceso de abstracción de cosas más familiares. Una segunda característica de la obra de Dedekind fue que se basó en la idea de conjuntos de objetos, tales como conjuntos de números, incluso conjuntos de conjuntos. El trabajo de Dedekind mostró como base la concepción ingenua de lo que un conjunto podría ser. La tercera característica crucial de su trabajo fue su énfasis en los aspectos estructurales del álgebra. La presentación de la teoría de números como una teoría acerca de objetos que pueden ser manipulados (en este caso, sumados y multiplicados) de acuerdo con ciertas reglas similares a las que rigen para los números ordinarios iba a ser un paradigma de las teorías más formales del siglo XX.

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Teoría de números

Mientras que la teoría de las funciones elípticas tipifica el entusiasmo del siglo XIX por la matemática pura, algunos matemáticos contemporáneos dijeron que los acontecimientos simultáneos en teoría de números llevaron al entusiasmo a su punto máximo. No obstante, durante el siglo XIX, la teoría algebraica de números pasó de tener un interés minoritario a la actual importancia central en la matemática pura. Las investigaciones anteriores de Fermat finalmente habían llamado la atención de Euler y Lagrange. Euler demostró algunas de las afirmaciones no probadas de Fermat y descubrió muchos hechos nuevos y sorprendentes. Lagrange no sólo suministró pruebas de muchos comentarios que Euler sólo había conjeturado sino que también los transformó en algo así como una teoría coherente. Por ejemplo, Fermat sabía que los números que se pueden escribir como suma de dos cuadrados son el número , los propios cuadrados, los primos de la forma y los productos de estos números. Por lo tanto , que es , es , pero , que no es de esta forma, no se puede escribir como suma de dos cuadrados. Euler había demostrado este resultado y había considerado casos similares, como primos de la forma o . Pero quedó para Lagrange la tarea de proporcionar una teoría general que abarque todas las expresiones de la forma , las llamadas formas cuadráticas.

La teoría de las formas cuadráticas de Lagrange hacía un uso considerable de la idea de que una forma cuadrática dada a menudo podía simplificarse a otra con las mismas propiedades pero con coeficientes más pequeños. Para ello, en la práctica, a menudo era necesario considerar si un entero dado dejaba un resto que fuera un cuadrado cuando era dividido por otro número entero dado. (Por ejemplo, deja un resto en la división por , y es un cuadrado.) Legendre descubrió una notable conexión entre la pregunta «¿Deja el entero un resto cuadrado en la división por ?» y la siguiente cuestión aparentemente no relacionada «¿el número entero deja un resto cuadrado en la división por ?» Él, de hecho, dijo que cuando y son números primos, las dos preguntas tienen la misma respuesta a menos que ambos números primos sean de la forma . Debido a que esta observación conecta dos preguntas en las que los números enteros y juegan papeles opuestos entre sí, se la dio en llamar ley de reciprocidad cuadrática. Legendre también dio una manera efectiva de extender su ley a los casos en que y no son primos.

Todo este trabajo sentó las bases para el surgimiento de Carl Friedrich Gauss, cuya Disquisitiones Arithmeticae (1801) no sólo consumó lo que había pasado antes, sino que también dirigió la teoría de números hacia direcciones nuevas y más profundas. Con razón, mostró que la prueba de la ley de reciprocidad cuadrática de Legendre era fundamentalmente defectuosa y dio la primera prueba rigurosa. Su trabajo sugiere que había profundas conexiones entre la pregunta original y otras ramas de la teoría de números, un hecho que él percibió como de notable importancia para el tema. Él extendió la teoría de las formas cuadráticas de Lagrange, al mostrar cómo dos formas cuadráticas pueden ser «multiplicadas» para obtener una tercera. Los matemáticos que le siguieron volvieron a trabajar esto en un importante ejemplo de la teoría conmutativa de grupos finitos. Y en la sección final de su libro Gauss dio la teoría subyacente detrás de su primer descubrimiento como matemático: que una figura regular de lados se puede construir mediante el círculo y una regla solamente.

El descubrimiento de que el  «17-ágono» regular es construible de este modo fue el primer descubrimiento de este tipo desde los griegos -que lo conocieron solamente para  el triángulo equilátero, el cuadrado, el pentágono regular, la figura regular de 15 lados, y las figuras que pueden ser obtenidas de estos bisecando sucesivamente todos los lados. Pero lo que fue mucho más importante que el descubrimiento fue la teoría que sustenta la ahora llamada teoría de los números algebraicos, la que trataremos en la próxima entrega.

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Funciones elípticas

La teoría de funciones de una variable compleja fue también decididamente reformulada. Al comienzo del siglo XIX, los números complejos eran discutidos desde un punto de vista cuasi-filosófico por varios escritores franceses, en particular por Jean-Robert Argand. Había consenso de que los números complejos debían ser considerados como pares de números reales, con reglas adecuadas para su adición y multiplicación, de modo que el par era una raíz cuadrada de . El significado subyacente de un tal par de números fue dado a través de su interpretación geométrica, ya sea como un punto en un plano o como un segmento dirigido uniendo el origen de coordenadas con el punto en cuestión. (Esta representación es a veces llamada diagrama de Argand.) En 1827, mientras revisaba un manuscrito antes de su publicación, Cauchy demostró cómo el problema de la integración de funciones de dos variables podía ser iluminado por la teoría de funciones de una sola variable compleja, la que entonces estaba en desarrollo. Pero la influencia decisiva en el crecimiento del tema vino del lado de la teoría de las funciones elípticas.

 El estudio de las funciones elípticas se originó en el siglo XVIII, cuando muchos autores estudiaban integrales de la forma

donde y  son polinomios en y es de grado o en . Tales integrales surgen naturalmente, por ejemplo, como una expresión para la longitud de un arco de una elipse (de ahí el nombre). Estas integrales no pueden ser evaluadas de forma explícita. No definen una función que se pueda obtener de funciones racionales y trigonométricas, una dificultad que se añade a su interés. Las integrales elípticas fueron intensivamente  estudiadas desde hace muchos años por el matemático francés Adrien-Marie Legendre, que fue capaz de calcular tablas de valores de tales expresiones como funciones de su extremo superior, . Pero el tema se transformó por completo a finales de 1820 por los descubrimientos independientes pero estrechamente superpuestos de dos jóvenes matemáticos, el noruego Niels Henrik Abel y el alemán Carl Jacobi. Estos hombres mostraron que, si se permitía que la variable  sea compleja y se  invertía el problema de modo que el objeto de estudio se convertía en

considerado definiendo una función de una variable , entonces una notable nueva teoría se tornaba evidente. La nueva función, por ejemplo, poseía una propiedad que generaliza la propiedad básica de la periodicidad de las funciones trigonométricas seno y coseno: $latex \sin (x) = \sin (x + 2\pi)$. Cualquier función del tipo que se acaba de describir tiene dos períodos distintos, y :

 

Estas nuevas funciones, las funciones elípticas, despertaron un considerable grado de interés. La analogía con las funciones trigonométricas caló muy profundo (de hecho las funciones trigonométricas resultaron ser casos especiales de las funciones elípticas), pero su mayor influencia fue en el creciente estudio general de las funciones de una variable compleja. La teoría de las funciones elípticas se convirtió en el paradigma de lo que podría ser descubierto al permitir que las variables sean complejas en lugar de reales. Sin embargo, su natural generalización de funciones definidas por integrandos más complicados, aunque arrojó resultados parciales, se resistió al análisis hasta la segunda mitad del siglo XIX.

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