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Archive for 3/08/16

La historia del análisis en el siglo XVIII se puede seguir en las memorias oficiales de las academias y en los tratados expositivos publicados de forma independiente. En las primeras décadas del siglo, el cálculo se cultivó en una atmósfera de entusiasmo intelectual con matemáticos aplicando los nuevos métodos a una serie de problemas de la geometría de las curvas. Los hermanos Johann y Jakob Bernoulli mostraron que la forma de un alambre liso largo del cual una partícula desciende en el menor tiempo es la cicloide, una curva trascendental muy estudiada en el siglo anterior.

Jacob and Johann Bernoulli

Trabajando en un espíritu de rivalidad aguda, los dos hermanos llegaron a ideas que más tarde se convertirían en el cálculo de variaciones. En su estudio de la rectificación de la lemniscata, una curva en forma de cinta descubierta por Jakob Bernoulli en 1694, Giulio Carlo Fagnano (1682-1766) introdujo ingeniosas transformaciones analíticas que sentaron las bases de la teoría de las integrales elípticas. Nikolaus I Bernoulli (1687-1759), sobrino de Johann y Jakob, demostró la igualdad de las derivadas parciales mixtas de segundo orden e hizo importantes contribuciones a las ecuaciones diferenciales mediante la construcción de trayectorias ortogonales a familias de curvas. Pierre Varignon (1654-1722), Johann Bernoulli y Jakob Hermann (1678-1733) continuaron desarrollando la dinámica analítica, al adaptar el cálculo de Leibniz a la mecánica inercial de los Principia de Newton.

Concepciones y problemas geométricos predominaron en los comienzos del cálculo. Este énfasis en la curva como objeto de estudio proporcionó coherencia a lo que fue una colección dispar de técnicas analíticas. Con su continuo desarrollo, el cálculo gradualmente abandonó sus orígenes en la geometría de las curvas, y surgió un movimiento para establecer el tema sobre una base puramente analítica. En una serie de libros de texto publicados a medidos del siglo, el matemático suizo Leonhard Euler llevó a cabo de forma sistemática la separación del cálculo de la geometría. En su Introductio in Analysin Infinitorum de 1748 hizo de la noción de función el concepto central de la organización del análisis:

Una función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta de cualquier manera por la variable y de números o cantidades constantes.

El enfoque analítico de Euler es ilustrado por su introducción de las funciones seno y coseno. Las tablas trigonométricas habían existido desde la antigüedad, y las relaciones entre senos y cosenos se utilizaban comúnmente en la astronomía matemática. A comienzos del cálculo los matemáticos habían derivado de su estudio de fenómenos mecánicos periódicos la ecuación diferencial

\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

y fueron capaces de interpretar geométricamente su solución en términos de líneas y ángulos en el círculo. Euler fue el primero en introducir las funciones seno y coseno en forma de cantidades cuya relación con otras cantidades podían ser estudiadas de forma independiente de cualquier diagrama geométrico.

El enfoque analítico de Euler para el cálculo recibió el apoyo de su contemporáneo más joven Joseph-Louis Lagrange, quien, tras la muerte de Euler en 1783, lo reemplazó como el líder de la matemática europea.

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