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Archive for 5/08/16

El enfoque analítico de Euler del cálculo recibió el apoyo de su contemporáneo más joven Joseph-Louis Lagrange quien, tras la muerte de Euler en 1783, lo reemplazó como el líder de la matemática europea. En 1755 el joven Lagrange  con 19 años de edad le escribió a Euler para anunciarle el descubrimiento de un nuevo algoritmo en el cálculo de variaciones, un tema al que Euler había dedicado un importante tratado 11 años atrás. Euler había utilizado ideas geométricas y había hecho hincapié en la necesidad de métodos analíticos. La idea de Lagrange era introducir el nuevo símbolo \delta al cálculo y experimentar formalmente hasta idear un algoritmo para obtener las ecuaciones variacionales. Matemáticamente muy distinto del procedimiento de Euler, su método no  requería ninguna referencia a la configuración geométrica. Euler adoptó de inmediato la idea de Lagrange, y en los próximos años los dos hombres revisaron sistemáticamente el tema usando las nuevas técnicas.

En 1766 Lagrange fue invitado por el rey de Prusia, Federico el Grande, para convertirse en el director en matemática de la Academia de Berlín. Durante las próximas dos décadas escribió importantes memorias en casi todas las principales áreas de la matemática. En 1788 publicó su famoso Mécanique analytique, un tratado que utilizaba las ideas variacionales para presentar la mecánica desde un punto de vista analítico unificado. En el prefacio Lagrange escribió:

No se encontrará ninguna figura en este trabajo. Los métodos que presento no requieren ni construcciones ni razonamientos geométricos o mecánicos, sino sólo operaciones algebraicas sujetas a un curso regular y uniforme. Los admiradores del análisis, verán  con placer que la mecánica se convierte en una nueva rama de él, y estarán agradecidos conmigo por haber extendido su dominio.

Después de la muerte de Federico el Grande, Lagrange viajó a París para convertirse en un pensionnaire de la Academia de Ciencias. Con el establecimiento de la École Polytechnique en 1794, se le pidió conferencias sobre matemática. Había preocupación en la matemática europea al momento de ubicar al cálculo sobre una base sólida, y Lagrange aprovechó la ocasión para desarrollar sus ideas para una base algebraica del tema. Las conferencias fueron publicadas en 1797 bajo el título Théorie des fonctions analytiques (“Teoría de las funciones analíticas”), un tratado cuyo contenido contiene los Principios del Cálculo Diferencial desacoplados de toda consideración de infinitesimales, límites que se anulan o fluxiones y lo reduce al análisis algebraico de cantidades finitas. Lagrange publicó un segundo tratado sobre el tema en 1801, una obra que apareció en una forma revisada y ampliada en 1806.

La gama de temas presentados y la consistencia de estilo  distinguía los escritos didácticos de Lagrange de otras exposiciones contemporáneas del cálculo. Comenzó con la noción de Euler de una función como una expresión analítica compuesta de variables y constantes. Definió la “función derivada,” o derivada f '(x) de f(x), como el coeficiente de i en el desarrollo de Taylor de f(x+i). Asumiendo la posibilidad general de tales desarrollos, intentó una teoría más completa del cálculo diferencial e integral, incluyendo aplicaciones extensivas a la geometría y la mecánica. Las conferencias de Lagrange representan el desarrollo más avanzado del siglo XVIII de la concepción analítica del cálculo.

Comenzando con el Barón de Cauchy en la década de 1820, los matemáticos posteriores utilizaron el concepto de límite para establecer el cálculo sobre una base aritmética. El punto de vista algebraico de Euler y LaGrange fue rechazado. Para llegar a una apreciación histórica adecuada de su trabajo, es necesario reflexionar sobre el significado del análisis en el siglo XVIII. Desde Viète, el análisis se había referido en general a métodos matemáticos que empleaban ecuaciones, variables y constantes. Con el amplio desarrollo del cálculo de Leibniz y su escuela, el análisis se identificó con todos los temas relacionados con el cálculo. Además de esta asociación histórica, había un sentido más profundo en el que los métodos analíticos eran fundamentales para la nueva matemática. Una ecuación analítica implicaba la existencia de una relación que sigue siendo válida cuando las variables cambian continuamente en magnitud. Los algoritmos del análisis y las transformaciones presuponían una correspondencia entre el cambio local y global, la preocupación fundamental del cálculo. Es este aspecto del análisis lo que fascinó a Euler y Lagrange y les provocó ver en él la “metafísica verdadera” del cálculo.

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