Feeds:
Entradas
Comentarios

Archive for 7 07-03:00 agosto 07-03:00 2016

Durante el periodo 1600-1800, se produjeron importantes avances en la teoría de ecuaciones, en los fundamentos de la geometría euclidiana, en la teoría de números, en la geometría proyectiva y en la teoría de la probabilidad. Estos temas, que se convirtieron en ramas maduras de la matemática en el siglo XIX, nunca rivalizaron con el análisis y la mecánica como programas de investigación.

Después de los dramáticos éxitos de Niccolò Fontana Tartaglia y Ludovico Ferrari en el siglo XVI, la teoría de las ecuaciones se desarrolló lentamente, cuando los problemas resistían una solución mediante técnicas conocidas. A finales del siglo XVIII el tema experimentó una infusión de nuevas ideas. El interés se concentró en dos problemas. El primero era establecer la existencia de una raíz de la ecuación polinómica general de grado n. El segundo era expresar las raíces como funciones algebraicas de los coeficientes o demostrar por qué, en general, no era posible hacerlo.

Tartaglia

Ferrari

La proposición de que el polinomio general con coeficientes reales tiene una raíz de la forma a+b\sqrt{-1} llegó a ser conocida más tarde como el teorema fundamental del álgebra. Por 1742 Euler había reconocido que las raíces aparecen en pares conjugados. Si a+b\sqrt{-1} es una raíz, entonces también lo es a-b\sqrt{-1}. Por lo tanto, sia+b\sqrt{-1} es una raíz de f(x)=0, entonces f(x)=(x^2-2ax-a^2-b^2)g(x). El teorema fundamental era, por tanto, equivalente a la afirmación de que un polinomio puede descomponerse en factores lineales y cuadráticos. Este resultado fue de considerable importancia para la teoría de la integración, ya que por el método de fracciones parciales se garantizaba que una función racional, el cociente de dos polinomios, siempre se podía integrar en términos de funciones algebraicas y trascendentales elementales.

Aunque D’Alembert, Euler y Lagrange trabajaron sobre el teorema fundamental, la primera prueba exitosa fue desarrollada por Carl Friedrich Gauss en su tesis doctoral de 1799. Al principio los investigadores habían investigado casos especiales o se habían concentrado en demostrar que todas las raíces posibles eran de la forma a \pm b\sqrt{-1}. Gauss abordó directamente el problema de la existencia. Expresando la incógnita en términos de las variables de coordenadas polares r y \theta, demostró que una solución del polinomio pertenecería a la intersección de dos curvas de la forma T(r, \theta)=0U(r, \theta)=0. Por una investigación cuidadosa y rigurosa demostró que las dos curvas se intersectan.

La demostración del teorema fundamental de Gauss inició un nuevo enfoque a la cuestión de la existencia matemática. En el siglo XVIII los matemáticos se interesaban por la naturaleza de procesos analíticos particulares o por la forma que las soluciones dadas deben tomar. Las entidades matemáticas eran consideradas como las cosas que eran dadas, no como cosas cuya existencia es necesario establecer. Debido a que el análisis se aplicaba a la geometría y a la mecánica, el formalismo parecía poseer una interpretación clara que evitaba cualquier necesidad de considerar cuestiones relativas a la existencia. La demostración de Gauss fue el comienzo de un cambio de actitud hacia la matemática, de un giro a un desarrollo riguroso e interno del tema.

El problema de expresar las raíces de un polinomio en función de los coeficientes fue abordado por varios matemáticos independientemente alrededor del año 1770. El matemático de Cambridge Edward Waring publicó en 1762 y en 1770 tratados sobre la teoría de ecuaciones. En 1770 Lagrange presentó una larga memoria expositiva sobre el tema a la Academia de Berlín, y en 1771 Alexandre Vandermonde presentó un artículo a la Academia de Ciencias de Francia. Aunque las ideas de los tres hombres estaban relacionadas, las memorias de Lagrange fueron las más extensas y más influyentes históricamente.

Waring

 

Lagrange presentó un análisis detallado de la solución por radicales de ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado e investigó por qué estas soluciones fallaban cuando el grado era mayor o igual a cinco. Presentó la novedosa idea de considerar funciones de las raíces y examinar los valores asumidos cuando las raíces eran permutadas. Él fue capaz de demostrar que la solución de una ecuación depende de la construcción de una segunda ecuación resolvente, pero no fue capaz de proporcionar un procedimiento general para resolver la resolvente cuando el grado de la ecuación original era superior a cuatro. Aunque su teoría deja al tema en un estado inacabado, proporcionó una base sólida para el trabajo futuro. La búsqueda de una solución general para la ecuación polinómica proporcionaría el mayor y único impulso para la transformación del álgebra en el siglo XIX.

Los esfuerzos de Lagrange, Vandermonde y Waring ilustran lo difícil que fue el desarrollo de nuevos conceptos en el álgebra. La historia de la teoría de las ecuaciones contrasta con la opinión de que la matemática es  objeto de un desarrollo casi técnico, automático. Más tarde gran parte del trabajo algebraico estaría dedicado a la elaboración de terminología, conceptos y métodos necesarios para avanzar en el tema.

Read Full Post »