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Archive for 15 15-03:00 agosto 15-03:00 2016

La Revolución Francesa provocó un replanteamiento radical de la educación en Francia, y la matemática recibió un papel destacado. La École Polytechnique fue fundada en 1794 con la ambiciosa tarea de preparar a todos los candidatos para las escuelas especializadas de ingenieros civiles y militares de la república. Los matemáticos de más alto nivel resultaron involucrados. El resultado fue un desarrollo rápido y sostenido del tema. La inspiración para la École fue Gaspard Monge, quien creía firmemente que la matemática debía servir a las necesidades científicas y técnicas del estado. Para tal fin se diseñó un programa que promovía su propia geometría descriptiva, útil en el diseño de fortalezas, en los emplazamientos de armas y el diseño de máquinas, la cual fue utilizada con gran efecto en la epopeya napoleónica de los sitios históricos de Egipto.

Gaspard Monge

En la geometría descriptiva de Monge, los objetos tridimensionales son descritos por sus proyecciones ortogonales sobre un plano horizontal y vertical, la planta y la alzada del objeto. Un alumno de Monge, Jean-Victor Poncelet, fue tomado prisionero durante la retirada de Napoleón de Moscú y trató de mantener su espíritu en la cárcel en Saratov pensando sobre la geometría que había aprendido. Prescindió de la restricción a las proyecciones ortogonales y decidió investigar qué propiedades las figuras tienen en común con sus sombras. Existen varias de estas propiedades: una línea recta proyecta una sombra recta, y una tangente a una curva proyecta una sombra que es tangente a la sombra de la curva. Sin embargo, algunas propiedades se pierden: las longitudes y ángulos de una figura no guardan relación con las longitudes y ángulos de su sombra. Poncelet sintió que las propiedades que sobreviven eran dignas de estudio y, considerando sólo aquellas propiedades que una figura comparte con todas sus sombras, Poncelet esperaba poder presentar un razonamiento geométrico verdaderamente a la altura de la geometría algebraica.

Jean-Victor Poncelet

En 1822 Poncelet publicó el Traité des propriétés projectives des figures («Tratado de las propiedades proyectivas de las figuras»). Desde su punto de vista cada sección cónica es equivalente a un círculo, por lo que su tratado contenía un tratamiento unificado de la teoría de las secciones cónicas. También estableció varios nuevos resultados. Los geómetras que tomaron su trabajo se dividían en dos grupos: los que aceptaban sus términos y los que, buscando los oscuros, reformulaban sus ideas en el espíritu de la geometría algebraica. Del lado algebraico estaban en Alemania el matemático August Möbius, que parece haber llegado a sus ideas de forma independiente de Poncelet, y Julius Plücker. Mostraron lo rica que era la geometría proyectiva de curvas definidas por ecuaciones algebraicas y con ello dieron un gran impulso al estudio de las curvas algebraicas, comparable con el ímpetu original proporcionado por Descartes. Alemania también produjo geómetras proyectivos sintéticos, entre los que podemos citar especialmente a Jakob Steiner (nacido en Suiza, pero educado en Alemania) y a Karl Georg Christian von Staudt, quien hizo hincapié en lo que puede ser entendido de una figura a partir de una cuidadosa consideración de todas sus transformaciones.

August Möbius

Julius Plücker

Jakob Steiner

Karl Georg Christian von Staudt

Dentro de los debates acerca de la geometría proyectiva surgió una de las pocas ideas sintéticas descubiertas desde los tiempos de Euclides, la de dualidad. Esta asocia a cada punto una línea y a cada línea  un punto, de tal manera que (1) tres puntos pertenecientes a una línea dan lugar a tres líneas que se intersectan en un punto y, recíprocamente, tres líneas que se intersectan en un punto dan lugar a tres puntos que se intersectan en una línea y (2) si se parte de un punto (o una línea) y se pasa a la línea asociada (punto) y luego se repite el proceso, se regresa al punto (línea) original. Una forma de utilizar la dualidad (presentada por Poncelet) es escoger una cónica arbitraria y luego asociar a un punto P que se encuentra fuera de la cónica la línea que une los puntos R y S en los que las tangentes a la cónica a través de P tocan a la cónica.

Se necesita un segundo método para puntos sobre o dentro de la cónica. La característica de la dualidad que la hace tan interesante es que se puede aplicar mecánicamente a toda prueba en geometría, intercambiando «punto y línea» y «colineal» y «concurrente» en todas partes, obteniendo así un nuevo resultado. A veces un resultado resulta ser equivalente al original, a veces es su recíproco, pero de un solo golpe el número de teoremas más o menos se duplicó.

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