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Archive for 17/08/16

Las ideas educativas de Gaspard Monge se oponían a las de Joseph-Louis Lagrange, quien estaba a favor de una visión más tradicional y teórica del cálculo avanzado y de la mecánica racional (la aplicación del cálculo al estudio del movimiento de sólidos y líquidos). Eventualmente ganó Lagrange, y la visión de la matemática que se presentó al mundo fue la de un tema autónomo, que también era aplicable a una amplia gama de fenómenos en virtud de su gran generalidad, una visión que ha persistido hasta nuestros días.

Durante la década de 1820 Augustin-Louis, Barón de Cauchy, dictó en la École Polytechnique los fundamentos del cálculo. Desde su invención había sido generalmente aceptado que el cálculo daba respuestas correctas, pero nadie había sido capaz de dar una explicación satisfactoria de por qué esto era así. Cauchy rechazó el enfoque algebraico de Lagrange y demostró que el supuesto básico de Lagrange acerca de que cada función tiene un desarrollo en serie de potencias es de hecho falso. Newton había sugerido una base geométrica o dinámica para el cálculo, pero esto corría el riesgo de introducir un círculo vicioso cuando el cálculo se aplicaba a problemas mecánicos o geométricos. Cauchy propone basar el cálculo en una interpretación sofisticada y difícil de la idea de dos puntos o números arbitrariamente próximos entre sí. A pesar de que a los alumnos de Cauchy no les gustaba el nuevo enfoque, y de que Cauchy recibió la orden de enseñar a los estudiantes material que en realidad pudieran entender y utilizar, sus métodos poco a poco se establecieron y refinaron para formar el núcleo del cálculo riguroso moderno, un tema que ahora se llama análisis matemático.

Tradicionalmente, el cálculo se había ocupado de los dos procesos de diferenciación e integración y de la relación recíproca que existe entre ellos. Cauchy proporcionó un nuevo fundamento haciendo hincapié en la importancia del concepto de continuidad. Demostró que, una vez que se definen los conceptos de función continua y límite, los conceptos de función diferenciable y  función integrable pueden ser definidos en términos de ellos. Por desgracia, ninguno de estos conceptos es fácil de entender, y el alto grado de precisión necesario que aporta a la matemática demostró ser difícil de apreciar. En términos generales, una función es continua en un punto de su dominio si pequeños cambios en la entrada alrededor del valor especificado producen sólo pequeños cambios en la salida.

Así, el familiar gráfico de una parábola y=x^2 es continuo alrededor del punto x=0; cuando x varía en pequeñas cantidades, también necesariamente lo hace y. Por otro lado, el gráfico de la función que toma el valor 0 cuando x es negativo o cero, y el valor 1 cuando x es positivo claramente tiene una gráfica discontinua en el punto x=0, y es de hecho discontinua de acuerdo a la definición. Si x varía de 0 por cualquier cantidad positiva pequeña, el valor de la función salta por la cantidad fija 1, que no es una cantidad arbitrariamente pequeña.

Cauchy decía que una función f(x) tiende a un valor límite 1 cuando x tiende al valor a cada vez que el valor de la diferencia f(x)-f(a) se hace arbitrariamente pequeña cuando la diferencia x-a misma se hace arbitrariamente pequeña. A continuación demostró que, si f(x) es continua en a, el valor límite de la función cuando x tendía a a era de hecho f(a). La característica fundamental de esta definición es que define lo que significa para una cantidad variable tender a algo sin hacer referencia alguna a las ideas del movimiento.

Cauchy dijo entonces que una función f(x) es diferenciable en el punto a si, cuando $latex x$ tiende a a (pero nunca lo alcanza), el valor del cociente [f(x)-f(a)]/(x-a) tiende a un valor límite, llamado la derivada de la función f(x) en a. Para definir la integral de una función f(x) entre los valores a y b, Cauchy volvió a la idea primitiva de la integral como la medida del área bajo la gráfica de la función. Él aproximó esta área con rectángulos y dijo que, si la suma de las áreas de los rectángulos tiende a un límite en cuanto su número aumenta indefinidamente y si este valor límite es el mismo sin importar cómo se obtienen los rectángulos, entonces la función es integrable. Su integral es el valor límite común. Después de haber definido la integral independientemente del cálculo diferencial, Cauchy tenía que demostrar que los procesos de integración y diferenciación son mutuamente inversos. Esto lo hizo, dando por primera vez una base rigurosa para todo el cálculo elemental de su época.

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