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Archive for 19 19-03:00 agosto 19-03:00 2016

La otra figura crucial de la época  en Francia era Joseph, barón de Fourier. Su contribución más importante se presenta en la teoría analítica del calor (1822), es decir, la teoría de la difusión del calor en cuerpos sólidos. Propuso que cualquier función podía escribirse como una suma infinita de las funciones trigonométricas seno y coseno; por ejemplo,

f(x)=a_0+a_1\sin x+a_2\sin 2x+\ldots

Expresiones de este tipo ya habían sido escritas antes, pero el tratamiento de Fourier aportaba la novedad de prestar atención a su convergencia. Él investigó la siguiente cuestión: «Dada la función f(x), ¿para qué rango de valores de x la expresión anterior suma un número finito?» Resultó que la respuesta depende de los coeficientes a_n y Fourier dio reglas para obtenerlos de la forma

a_n=\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin (nx) dx.

El trabajo de Fourier había sido enteramente correcto, haciendo posible la solución de muchos tipos de ecuaciones diferenciales y extendiendo en gran medida la teoría de la física matemática. Sin embargo, sus argumentos eran excesivamente ingenuos: después de Cauchy no estaba claro que la función f(x) \sin (n x) fuera necesariamente integrable. Cuando las ideas de Fourier fueron finalmente publicadas, se tomaron con impaciencia, pero los matemáticos más prudentes, en particular el influyente alemán Peter Gustav Lejeune Dirichlet, querían alcanzar las conclusiones de Fourier de manera más rigurosa. La metodología de Fourier fue ampliamente aceptada, pero las preguntas sobre su validez fueron ocupando a  los matemáticos durante el resto del siglo.

Dirichlet

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