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Archive for 21/08/16

La teoría de funciones de una variable compleja fue también decididamente reformulada. Al comienzo del siglo XIX, los números complejos eran discutidos desde un punto de vista cuasi-filosófico por varios escritores franceses, en particular por Jean-Robert Argand. Había consenso de que los números complejos debían ser considerados como pares de números reales, con reglas adecuadas para su adición y multiplicación, de modo que el par (0, 1) era una raíz cuadrada de -1. El significado subyacente de un tal par de números fue dado a través de su interpretación geométrica, ya sea como un punto en un plano o como un segmento dirigido uniendo el origen de coordenadas con el punto en cuestión. (Esta representación es a veces llamada diagrama de Argand.) En 1827, mientras revisaba un manuscrito antes de su publicación, Cauchy demostró cómo el problema de la integración de funciones de dos variables podía ser iluminado por la teoría de funciones de una sola variable compleja, la que entonces estaba en desarrollo. Pero la influencia decisiva en el crecimiento del tema vino del lado de la teoría de las funciones elípticas.

 El estudio de las funciones elípticas se originó en el siglo XVIII, cuando muchos autores estudiaban integrales de la forma

\int_0^x \frac{p(t) dt}{\sqrt{q(t)}},

donde p(t)q(t) son polinomios en t y q(t) es de grado 3 o 4 en t. Tales integrales surgen naturalmente, por ejemplo, como una expresión para la longitud de un arco de una elipse (de ahí el nombre). Estas integrales no pueden ser evaluadas de forma explícita. No definen una función que se pueda obtener de funciones racionales y trigonométricas, una dificultad que se añade a su interés. Las integrales elípticas fueron intensivamente  estudiadas desde hace muchos años por el matemático francés Adrien-Marie Legendre, que fue capaz de calcular tablas de valores de tales expresiones como funciones de su extremo superior, x. Pero el tema se transformó por completo a finales de 1820 por los descubrimientos independientes pero estrechamente superpuestos de dos jóvenes matemáticos, el noruego Niels Henrik Abel y el alemán Carl Jacobi. Estos hombres mostraron que, si se permitía que la variable x sea compleja y se  invertía el problema de modo que el objeto de estudio se convertía en

u=\int_0^x \frac{p(t) dt}{\sqrt{q(t)}},

considerado definiendo una función x de una variable u, entonces una notable nueva teoría se tornaba evidente. La nueva función, por ejemplo, poseía una propiedad que generaliza la propiedad básica de la periodicidad de las funciones trigonométricas seno y coseno: $latex \sin (x) = \sin (x + 2\pi)$. Cualquier función del tipo que se acaba de describir tiene dos períodos distintos, \omega_1 y \omega_2:

 x(u)=x(u+\omega_1)=x(u+\omega _2)

Estas nuevas funciones, las funciones elípticas, despertaron un considerable grado de interés. La analogía con las funciones trigonométricas caló muy profundo (de hecho las funciones trigonométricas resultaron ser casos especiales de las funciones elípticas), pero su mayor influencia fue en el creciente estudio general de las funciones de una variable compleja. La teoría de las funciones elípticas se convirtió en el paradigma de lo que podría ser descubierto al permitir que las variables sean complejas en lugar de reales. Sin embargo, su natural generalización de funciones definidas por integrandos más complicados, aunque arrojó resultados parciales, se resistió al análisis hasta la segunda mitad del siglo XIX.

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