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Archive for 19 agosto 2016

La otra figura crucial de la época  en Francia era Joseph, barón de Fourier. Su contribución más importante se presenta en la teoría analítica del calor (1822), es decir, la teoría de la difusión del calor en cuerpos sólidos. Propuso que cualquier función podía escribirse como una suma infinita de las funciones trigonométricas seno y coseno; por ejemplo,

f(x)=a_0+a_1\sin x+a_2\sin 2x+\ldots

Expresiones de este tipo ya habían sido escritas antes, pero el tratamiento de Fourier aportaba la novedad de prestar atención a su convergencia. Él investigó la siguiente cuestión: “Dada la función f(x), ¿para qué rango de valores de x la expresión anterior suma un número finito?” Resultó que la respuesta depende de los coeficientes a_n y Fourier dio reglas para obtenerlos de la forma

a_n=\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin (nx) dx.

El trabajo de Fourier había sido enteramente correcto, haciendo posible la solución de muchos tipos de ecuaciones diferenciales y extendiendo en gran medida la teoría de la física matemática. Sin embargo, sus argumentos eran excesivamente ingenuos: después de Cauchy no estaba claro que la función f(x) \sin (n x) fuera necesariamente integrable. Cuando las ideas de Fourier fueron finalmente publicadas, se tomaron con impaciencia, pero los matemáticos más prudentes, en particular el influyente alemán Peter Gustav Lejeune Dirichlet, querían alcanzar las conclusiones de Fourier de manera más rigurosa. La metodología de Fourier fue ampliamente aceptada, pero las preguntas sobre su validez fueron ocupando a  los matemáticos durante el resto del siglo.

Dirichlet

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Las ideas educativas de Gaspard Monge se oponían a las de Joseph-Louis Lagrange, quien estaba a favor de una visión más tradicional y teórica del cálculo avanzado y de la mecánica racional (la aplicación del cálculo al estudio del movimiento de sólidos y líquidos). Eventualmente ganó Lagrange, y la visión de la matemática que se presentó al mundo fue la de un tema autónomo, que también era aplicable a una amplia gama de fenómenos en virtud de su gran generalidad, una visión que ha persistido hasta nuestros días.

Durante la década de 1820 Augustin-Louis, Barón de Cauchy, dictó en la École Polytechnique los fundamentos del cálculo. Desde su invención había sido generalmente aceptado que el cálculo daba respuestas correctas, pero nadie había sido capaz de dar una explicación satisfactoria de por qué esto era así. Cauchy rechazó el enfoque algebraico de Lagrange y demostró que el supuesto básico de Lagrange acerca de que cada función tiene un desarrollo en serie de potencias es de hecho falso. Newton había sugerido una base geométrica o dinámica para el cálculo, pero esto corría el riesgo de introducir un círculo vicioso cuando el cálculo se aplicaba a problemas mecánicos o geométricos. Cauchy propone basar el cálculo en una interpretación sofisticada y difícil de la idea de dos puntos o números arbitrariamente próximos entre sí. A pesar de que a los alumnos de Cauchy no les gustaba el nuevo enfoque, y de que Cauchy recibió la orden de enseñar a los estudiantes material que en realidad pudieran entender y utilizar, sus métodos poco a poco se establecieron y refinaron para formar el núcleo del cálculo riguroso moderno, un tema que ahora se llama análisis matemático.

Tradicionalmente, el cálculo se había ocupado de los dos procesos de diferenciación e integración y de la relación recíproca que existe entre ellos. Cauchy proporcionó un nuevo fundamento haciendo hincapié en la importancia del concepto de continuidad. Demostró que, una vez que se definen los conceptos de función continua y límite, los conceptos de función diferenciable y  función integrable pueden ser definidos en términos de ellos. Por desgracia, ninguno de estos conceptos es fácil de entender, y el alto grado de precisión necesario que aporta a la matemática demostró ser difícil de apreciar. En términos generales, una función es continua en un punto de su dominio si pequeños cambios en la entrada alrededor del valor especificado producen sólo pequeños cambios en la salida.

Así, el familiar gráfico de una parábola y=x^2 es continuo alrededor del punto x=0; cuando x varía en pequeñas cantidades, también necesariamente lo hace y. Por otro lado, el gráfico de la función que toma el valor 0 cuando x es negativo o cero, y el valor 1 cuando x es positivo claramente tiene una gráfica discontinua en el punto x=0, y es de hecho discontinua de acuerdo a la definición. Si x varía de 0 por cualquier cantidad positiva pequeña, el valor de la función salta por la cantidad fija 1, que no es una cantidad arbitrariamente pequeña.

Cauchy decía que una función f(x) tiende a un valor límite 1 cuando x tiende al valor a cada vez que el valor de la diferencia f(x)-f(a) se hace arbitrariamente pequeña cuando la diferencia x-a misma se hace arbitrariamente pequeña. A continuación demostró que, si f(x) es continua en a, el valor límite de la función cuando x tendía a a era de hecho f(a). La característica fundamental de esta definición es que define lo que significa para una cantidad variable tender a algo sin hacer referencia alguna a las ideas del movimiento.

Cauchy dijo entonces que una función f(x) es diferenciable en el punto a si, cuando $latex x$ tiende a a (pero nunca lo alcanza), el valor del cociente [f(x)-f(a)]/(x-a) tiende a un valor límite, llamado la derivada de la función f(x) en a. Para definir la integral de una función f(x) entre los valores a y b, Cauchy volvió a la idea primitiva de la integral como la medida del área bajo la gráfica de la función. Él aproximó esta área con rectángulos y dijo que, si la suma de las áreas de los rectángulos tiende a un límite en cuanto su número aumenta indefinidamente y si este valor límite es el mismo sin importar cómo se obtienen los rectángulos, entonces la función es integrable. Su integral es el valor límite común. Después de haber definido la integral independientemente del cálculo diferencial, Cauchy tenía que demostrar que los procesos de integración y diferenciación son mutuamente inversos. Esto lo hizo, dando por primera vez una base rigurosa para todo el cálculo elemental de su época.

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La Revolución Francesa provocó un replanteamiento radical de la educación en Francia, y la matemática recibió un papel destacado. La École Polytechnique fue fundada en 1794 con la ambiciosa tarea de preparar a todos los candidatos para las escuelas especializadas de ingenieros civiles y militares de la república. Los matemáticos de más alto nivel resultaron involucrados. El resultado fue un desarrollo rápido y sostenido del tema. La inspiración para la École fue Gaspard Monge, quien creía firmemente que la matemática debía servir a las necesidades científicas y técnicas del estado. Para tal fin se diseñó un programa que promovía su propia geometría descriptiva, útil en el diseño de fortalezas, en los emplazamientos de armas y el diseño de máquinas, la cual fue utilizada con gran efecto en la epopeya napoleónica de los sitios históricos de Egipto.

Gaspard Monge

En la geometría descriptiva de Monge, los objetos tridimensionales son descritos por sus proyecciones ortogonales sobre un plano horizontal y vertical, la planta y la alzada del objeto. Un alumno de Monge, Jean-Victor Poncelet, fue tomado prisionero durante la retirada de Napoleón de Moscú y trató de mantener su espíritu en la cárcel en Saratov pensando sobre la geometría que había aprendido. Prescindió de la restricción a las proyecciones ortogonales y decidió investigar qué propiedades las figuras tienen en común con sus sombras. Existen varias de estas propiedades: una línea recta proyecta una sombra recta, y una tangente a una curva proyecta una sombra que es tangente a la sombra de la curva. Sin embargo, algunas propiedades se pierden: las longitudes y ángulos de una figura no guardan relación con las longitudes y ángulos de su sombra. Poncelet sintió que las propiedades que sobreviven eran dignas de estudio y, considerando sólo aquellas propiedades que una figura comparte con todas sus sombras, Poncelet esperaba poder presentar un razonamiento geométrico verdaderamente a la altura de la geometría algebraica.

Jean-Victor Poncelet

En 1822 Poncelet publicó el Traité des propriétés projectives des figures (“Tratado de las propiedades proyectivas de las figuras”). Desde su punto de vista cada sección cónica es equivalente a un círculo, por lo que su tratado contenía un tratamiento unificado de la teoría de las secciones cónicas. También estableció varios nuevos resultados. Los geómetras que tomaron su trabajo se dividían en dos grupos: los que aceptaban sus términos y los que, buscando los oscuros, reformulaban sus ideas en el espíritu de la geometría algebraica. Del lado algebraico estaban en Alemania el matemático August Möbius, que parece haber llegado a sus ideas de forma independiente de Poncelet, y Julius Plücker. Mostraron lo rica que era la geometría proyectiva de curvas definidas por ecuaciones algebraicas y con ello dieron un gran impulso al estudio de las curvas algebraicas, comparable con el ímpetu original proporcionado por Descartes. Alemania también produjo geómetras proyectivos sintéticos, entre los que podemos citar especialmente a Jakob Steiner (nacido en Suiza, pero educado en Alemania) y a Karl Georg Christian von Staudt, quien hizo hincapié en lo que puede ser entendido de una figura a partir de una cuidadosa consideración de todas sus transformaciones.

August Möbius

Julius Plücker

Jakob Steiner

Karl Georg Christian von Staudt

Dentro de los debates acerca de la geometría proyectiva surgió una de las pocas ideas sintéticas descubiertas desde los tiempos de Euclides, la de dualidad. Esta asocia a cada punto una línea y a cada línea  un punto, de tal manera que (1) tres puntos pertenecientes a una línea dan lugar a tres líneas que se intersectan en un punto y, recíprocamente, tres líneas que se intersectan en un punto dan lugar a tres puntos que se intersectan en una línea y (2) si se parte de un punto (o una línea) y se pasa a la línea asociada (punto) y luego se repite el proceso, se regresa al punto (línea) original. Una forma de utilizar la dualidad (presentada por Poncelet) es escoger una cónica arbitraria y luego asociar a un punto P que se encuentra fuera de la cónica la línea que une los puntos R y S en los que las tangentes a la cónica a través de P tocan a la cónica.

Se necesita un segundo método para puntos sobre o dentro de la cónica. La característica de la dualidad que la hace tan interesante es que se puede aplicar mecánicamente a toda prueba en geometría, intercambiando “punto y línea” y “colineal” y “concurrente” en todas partes, obteniendo así un nuevo resultado. A veces un resultado resulta ser equivalente al original, a veces es su recíproco, pero de un solo golpe el número de teoremas más o menos se duplicó.

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